第51讲 空间距离及计算、展开与折叠问题 1.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为( )A.B.C.a3D.a3 2.若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为( )A.B.C.D. 3.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO＝2，则P到这三个平面的距离分别是( )A．1，2，3B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，9 4.平面α，β，γ两两互相垂直，且交于点A，点B到α，β，γ的距离均为1，则A、B两点之间的距离|AB|＝( )A．1B.C.D．2 5.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是________． 6.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝__________．5\n 7.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长． 1.如图，现有一块边长为2的正方形铁皮，其中E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，做成一个垃圾铲，则它的体积为( )A.B.C．1D．2 2.在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，DF，EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P－DEF中DF与平面PEF所成的角的余弦值为____________． 3.如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC＝CD，AB＝2，F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图(乙)．5\n(1)求证：平面FHG∥平面ABE；(2)记BC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求V(x)的最大值．第51讲巩固练习1．D 2.C 3.B4．C 解析：由题意构造如图所示的棱长为1的正方体，则|AB|＝＝.故选C.5.6．1＋7．解析：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：＝，5\n＝，＝，因为a＞b＞c＞0，所以ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为.提升能力1．A 解析：所得的垃圾铲如图所示，取CD的中点O，连接OE、OP，则OE＝2，OC＝1，PC＝PD＝2，所以OP＝＝，又PE＝1，则∠OPE＝90°， 所以S△OPE＝PE·OP＝，所以VP－CDE＝S△OPE·OC＋S△OPE·OD＝S△OPE·CD＝.2.3．解析：(1)证明：由图(甲)结合已知条件知四边形CBED为正方形．如图(乙)因为F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，所以FH∥CD，HG∥AE.因为CD∥BE，所以FH∥BE.因为BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，所以FH∥平面ABE，同理可得HG∥平面ABE，又因为FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.(2)因为平面ACD⊥平面CBED且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，所以V(x)＝VA－BCE＝S△BCE·AC，因为BC＝x，所以AC＝2－x(0<x<2)，所以V(x)＝×x2(2－x)＝x2(2－x)5\n＝x·x·(4－2x)．解法1：因为x·x·(4－2x)≤()3＝，所以V(x)≤×＝，当且仅当x＝4－2x，即x＝时取“＝”，所以V(x)的最大值为.解法2：因为V′(x)＝(4x－3x2)，令V′(x)＝0得x＝0(不合，舍去)或x＝，当x>时V′(x)<0，当0<x<时V′(x)>0，所以当x＝时V(x)有最大值，V(x)max＝V()＝.5
