课时提升作业(五十七)相似三角形的判定及有关性质一、选择题(每小题6分,共18分)1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则tan2=( )【解析】选A.设半径为R,则,由射影定理得:CD2=AD·BD,则,故tan2.2.在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=( )A.4∶10∶25B.4∶9∶25C.2∶3∶5D.2∶5∶25【解析】选A.由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25.而△BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5,故S△BED∶S△BEA=2∶5,即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5,由比例的性质可得:S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.故选A.3.如图,在正方形ABCD中,E是AB中点,F是AD上一点,且AF=AD,EG⊥CF于G,则下列式子中不成立的是( )-7-\nA.EF·EC=EG·FCB.EC2=CG·GFC.AE2+AF2=FG·FCD.EG2=GF·GC【解析】选B.由题意,正方形ABCD中,E是AB中点,F是AD上一点,且AF=AD,所以△AEF∽△BCE,所以∠AEF=∠BCE,所以∠FEC=90°.因为EG⊥CF,所以EF·EC=EG·FC,AE2+AF2=EF2=FG·FC,EG2=GF·GC,即A,C,D正确,故选B.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2022·韶关模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为1cm2,则平行四边形ABCD的面积为 cm2.【解析】因为AE∥CD,所以△AEF∽△CDF,所以AE∶CD=AF∶CF,因为AE∶EB=1∶2,所以AE∶AB=AE∶CD=1∶3,所以AF∶CF=1∶3,所以AF∶AC=1∶4,所以△AEF与△ABC的高的比为1∶4,所以△AEF与△ABC的面积的比为1∶12,所以△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1∶24.因为△AEF的面积等于1cm2,所以平行四边形ABCD的面积等于24cm2.答案:245.(2022·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥-7-\nBC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .【解析】设AE=x,因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.又AE⊥EB,所以AB=2x,BE=x,所以.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,所以△AEF∽△BEC,所以,所以AF=4×.答案:6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P点,若AD∶BC=1∶2,则BD∶AC的值是 .【解析】因为AD∥BC,AD∶BC=1∶2,所以.令PA=t,那么PC=2t.因为∠ABC=90°,AC⊥BD,所以PB2=PA·PC=2t2,-7-\n所以PB=t,PD=t,答案:∶2三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2022·银川模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于F.(1)求的值.(2)若△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值.【解析】(1)过点D作DG∥BC,并交AF于G点,因为E是BD的中点,所以BE=DE.又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,所以△BEF≌△DEG,则BF=DG,所以BF∶FC=DG∶FC.又因为D是AC的中点,则DG∶FC=1∶2,则BF∶FC=1∶2,即.(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,则由(1)知BF∶BC=1∶3,又由BE∶BD=1∶2可知h1∶h2=1∶2,其中h1,h2分别为△BEF和△BDC的高,-7-\n8.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M.(1)求证:△EDM∽△FBM.(2)若DB=9,求BM.【解析】(1)因为E是AB的中点,所以AB=2EB,因为AB=2CD,所以CD=EB.又AB∥CD,所以四边形CBED是平行四边形.所以CB∥DE,所以所以△EDM∽△FBM.(2)由(1)知,因为F是BC的中点,所以DE=2BF,所以DM=2BM.所以BM=DB=3.9.如图,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,交BE于点G,交AC的延长线于H,求证:DF2=GF·HF.【证明】在△AFH与△GFB中,因为∠H+∠BAC=90°,∠GBF+∠BAC=90°,所以∠H=∠GBF.因为∠AFH=∠BFG=90°,所以△AFH∽△GFB,-7-\n所以,所以AF·BF=GF·HF.因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,所以DF2=AF·BF.所以DF2=GF·HF.10.(2022·郑州模拟)如图,在锐角三角形ABC中,D为C在AB上的射影,E为D在BC上的射影,F为DE上一点,且满足,(1)证明:CF⊥AE.(2)若AD=2,CD=3,DB=4,求tan∠BAE的值.【解析】(1)设CF与AE交于点G,连接DG,如图.又因为∠CDF=∠ABE,所以△CDF∽△ABE,所以∠DCG=∠DAG,所以A,D,G,C四点共圆.从而有∠AGC=∠ADC=90°,所以CF⊥AE.(2)在Rt△CEF中,因为CF⊥AE,所以∠ECF=∠AED,因为CD=3,DB=4,CD⊥AB,所以BC=5,DE=,-7-\n-7-
