课时提升练(五十八) 相似三角形的判定及有关性质一、选择题1．在△ABC中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短边为12，则它的最长边的长度为( )A．16 B．18 C．27 D．24【解析】 因为△ABC∽△A′B′C′，AC＝6，BC＝4，BA＝9，所以△A′B′C′的最短边是B′C′，最长边是A′B′，＝，即＝，所以A′B′＝27.【答案】 C2．如图15所示，已知AB∶BD＝2∶3，且BC∥DE，则S△ABC∶S梯形BDEC等于( )图15A．4∶21B．4∶25C．2∶5D．2∶3【解析】 ∵AB∶BD＝2∶3且BC∥DE，∴AB∶AD＝2∶5，∴＝，∴＝.【答案】 A3．一个直角三角形两条直角边的比为1∶，则它们在斜边上的射影比为( )A．1∶2B．1∶3C．1∶D．1∶5【解析】 如图，在Rt△ABC中，BC∶AC＝1∶，作CD⊥AB于D.∴BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD，∴＝，∴＝.因此它们在斜边上的射影比为1∶5.【答案】 D7\n4．如图16所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF等于( )图16A．4B．5C．2D．3【解析】 由DE∥BC得＝＝，因为DE＝6，所以BC＝10.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE为平行四边形，所以CF＝DE＝6，即BF＝10－6＝4.故选A.【答案】 A5．Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝3∶2，则△ACD与△CBD的相似比为( )A．2∶3B．3∶2C．9∶4D.∶3【解析】 如图Rt△ABC中，由CD⊥AB及射影定理知，CD2＝AD·BD，即＝，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.∵BD∶AD＝3∶2∴令BD＝3t，AD＝2t，即CD2＝6t2，即CD＝t，∴＝＝.故△ACD与△CBD的相似比为∶3.【答案】 D6．如图17，ED∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积分为相等的三部分，若BC＝15，则FG的长为( )7\n图17A．5B．10C．4D．7.5【解析】 ∵DE、FG把△ABC的面积分为相等的三部分∴＝.∵DE∥FG∥BC，∴△AFG∽△ABC.∴＝＝.∴＝，又BC＝15，∴FG＝5.【答案】 A二、填空题7．(2022·广东高考)如图18，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.图18【解析】 根据EB＝2AE求出两个相似三角形的对应边所成的比例，再利用相似三角形的性质求解．在平行四边形ABCD中，因为EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.因为AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝2＝9.【答案】 98．(2022·陕西高考)如图19，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD7\n的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.7\n图19【解析】 因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.【答案】 9．如图20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝________.图20【解析】 在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，CD＝＝3，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.∴BD＝AB－AD＝－4＝，由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.【答案】 3 三、解答题10．如图21所示，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.图21【证明】 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC，7\n又AB∥CG，所以△GCF∽△ABF.因为AD∥CF，所以△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA，所以＝，即AF·AD＝AG·BF.11．如图22，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.图22(1)求证：△ABF∽△EAD.(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．【解】 (1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，∴＝sin60°，由(1)知＝，∴BF＝·AD＝.12．如图23所示，AD与BE是△ABC的两条高，DF⊥AB于F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.图23【证明】 在△AFH与△GFB中，因为∠H＋∠BAC＝90°，7\n∠GBF＋∠BAC＝90°，所以∠H＝∠GBF.因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB，所以＝，故AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，由射影定理，得DF2＝AF·BF，故DF2＝GF·HF.7
