专题突破练17 5.1~5.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2022河北衡水中学考前仿真,文3)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )2.(2022宁夏银川一中一模,理4)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为( ) A.a2B.a2C.a2D.a23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )A.B.C.D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )9\nA.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示,记A为此几何体所有棱的长度构成的集合,则( )A.3∈AB.5∈AC.2∈AD.4∈A6.(2022河北唐山三模,理7)某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为( )A.4B.8C.D.7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )A.3B.C.1D.8.(2022河南濮阳一模,理7)已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.B.5πC.6πD.9.(2022山西吕梁一模,文12)已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,若四面体ABCD的体积为,球心O恰好在棱DA上,则这个球的表面积为( )A.B.4πC.8πD.16π9\n二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2022江苏卷,10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.(2022天津卷,文11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 . 12.已知三棱锥A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,则该三棱锥外接球的表面积为 . 三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2022江苏南京、盐城一模,15)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证:BN∥平面A1MC;(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.14.(2022河南六市联考一,文19)如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,SA=SD=,SB=,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.(1)求实数λ的值;(2)求三棱锥F-EBC的体积.9\n15.如图1,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点.将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A',连接EF,A'B,如图2.(1)求异面直线A'D与EF所成角的大小;(2)求三棱锥D-A'EF的体积.参考答案专题突破练17 5.1~5.3组合练1.A 解析四棱锥的正视图和俯视图可知几何体的直观图如图所示,其侧视图为选项A.9\n2.D 解析如图①②所示的平面图形和直观图.由②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于D',则C'D'=O'C'=a.∴S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.3.B 解析由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×,故选B.4.C 解析由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3),原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3).故所求比值为.5.D 解析根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥,如图所示,四边形ABCD是一个边长为4的正方形,且AF⊥面ABCD,DE∥AF,DE=4,AF=2,∴AF⊥AB,DE⊥DC,DE⊥BD,∴EC==4,EF=FB==2,BE=9\n=4.∵A为此几何体所有棱的长度构成的集合,∴A={2,4,4,4,2}.6.C 解析由三棱锥的三视图得其直观图如下:几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥A-BCD,BC=CD=2,三棱锥的高为2,所以三棱锥的体积为V=×2×2×2=.7.C 解析∵D是等边三角形ABC的边BC的中点,∴AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C.∵四边形BB1C1C为矩形,∴×2×.又AD=2×,∴·AD==1.故选C.8.D 解析如图所示.△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C为直二面角,设F,E分别为△ABD和△BCD的中心,则球心O为△ABD和△BCD的过中心的垂线的交点,所以OF=OE=FG=×2=.ED=×2=,则球半径r=,则S=4π×.9.D 解析如图所示,设AC的中点为M,由已知得AB⊥BC,所以底面三角形ABC9\n外接圆的圆心为M,所以OM⊥平面ABC,又OM∥DC,所以DC⊥平面ABC,由四面体的体积为,得DC=2.所以DA=4,球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选D.10. 解析由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为,所以该多面体的体积为2××()2×1=.11. 解析∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,∴=V正方体-=1-×1×1×1-×1×1×1=.12. 解析由题意,得△BCD为等腰直角三角形,E是外接圆的圆心.∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,∴BF=,∴AF=.设球心O到平面BCD的距离为h,则1+h2=,解得h=,r=,故该三棱锥外接球的表面积为4π×.9\n13.证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,又点M,N分别是AB,A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥面A1MC.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M,MC⊂平面A1MC,且A1M∩MC=M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB1⊥A1C.14.解(1)连接AC,设AC∩BE=G,则平面SAC∩平面EFB=FG,∵△GEA∽△GBC,∴.∴.∴SF=SC,∴λ=.(2)连接SE,∵SA=SD=,∴SE⊥AD,SE=2.∵AB=AD=2,∠BAD=60°,∴BE=.∵SE2+BE2=SB2,∴SE⊥BE.∴SE⊥平面ABCD.所以VF-BCE=VS-EBC=VS-ABCD=×2×2sin60°×2=.15.解(1)在正方形ABCD中,∵AD⊥AE,CD⊥CF,∴A'D⊥A'E,A'D⊥A'F.∵A'E∩A'F=A',A'E,A'F⊂平面A'EF,∴A'D⊥平面A'EF.而EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF,∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°.(2)∵正方形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,点F是BC的中点,∴在Rt△BEF中,BE=BF=1,得EF=,而A'E=A'F=1,∴A'E2+A'F2=EF2,∴A'E⊥A'F,∴S△A'EF=×1×1=.9\n由(1)得A'D⊥平面A'EF,且A'D=2,∴VD-A'EF=S△A'EF·A'D=×2=.9
