专题突破练24 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2022浙江卷,2)双曲线-y2=1的焦点坐标是( ) A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.23.(2022北京卷,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( )A.1B.2C.3D.44.已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )A.(2,1)B.(-2,1)C.D.5.(2022河北唐山三模,理5)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,若E的一个焦点F关于l1的对称点F'在l2上,则E的离心率为( )A.B.2C.D.6.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是( )A.B.C.2D.27.(2022山东济宁一模,文12)已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若直线y=x与双曲线C在第一象限交于点P,过P向x轴作垂线,垂足为D,且D为OF2(O为坐标原点)的中点,则该双曲线离心率为( )A.B.C.+1D.+18.已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48,则p的值为( )A.2B.2C.4D.410\n9.已知椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B,C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是( )A.B.C.D.二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 . 11.(2022辽宁抚顺一模,文15)已知焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F,右顶点为A,若线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是 . 12.(2022江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0,则点A的横坐标为 . 三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2022河南郑州一模,文20)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程.14.(2022河北石家庄一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.10\n(1)求椭圆C的方程;(2)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2为定值.15.(2022山东烟台二模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0),点3,在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A(-2,0)作两条相交直线l1,l2,l1与椭圆交于P,Q两点(点P在点Q的上方),l2与椭圆交于M,N两点(点M在点N的上方),若直线l1的斜率为-,S△MAP=S△NAQ,求直线l2的斜率.参考答案专题突破练24 7.1~7.3组合练1.B 解析∵a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=3+1=4.∴c=2.又焦点在x轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).10\n2.A 解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.C 解析设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+.当m=0时,dmax=3.4.D 解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.5.B 解析不妨设右焦点F(c,0)关于l1:y=x的对称点在l2:y=-x上,设对称点F'的坐标为m,-m,则10\n即解得b2=3a2,所以c2=4a2,e=2.6.C 解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D 解析由题意得,连接PF1,PF2,则△POF2为等边三角形,所以OP=OF1=OF2,则△PF1F2为直角三角形,且PF2=c,PF1=c,又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以c-c=2a,所以e=+1,故选D.8.A 解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),10\n∴|OB|==4p,∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.9.D 解析由题意得A(a,0),F(-c,0),∵抛物线y2=(a+c)x与椭圆交于B,C两点,∴B,C两点关于x轴对称,可设B(m,n),C(m,-n),∵四边形ABFC是菱形,∴m=(a-c),将B(m,n)代入抛物线方程,得n2=(a+c)(a-c)=b2,∴B(a-c),b,再代入椭圆方程,得=1,化简整理,得4e2-8e+3=0,解得e=e=>1不合题意,舍去,故答案为.10.2-1 解析设P点坐标为m2,m,圆(x-4)2+y2=1的圆心为A(4,0),|PA|2=m2-42+m2=(m2-8)2+12≥12,则|PQ|min=|PA|min-1=2-1.11.(1,3) 解析∵F(-c,0),A(a,0),∴线段FA的垂直平分线为x=,∵线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点,∴-a<<0,即c<3a,∴e=<3,又e>1,∴1<e<3.10\n12.3 解析设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB的中点得C,☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x联立解得xD=1,D(1,2).因为=(5-a,-2a),=0,所以(5-a)·+(-2a)(2-a)=0,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.因为a>0,所以a=3.13.解(1)圆C的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为C(-1,1).∵F,0,∴|CF|=,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l的方程为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线方程联立可得y2-12my-12t=0,∴y1+y2=12m,y1·y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.当CP⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.kMP=kCP==-,∴m=,此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.14.解(1)设|MF1|=r1,|MF2|=r2,由题知解得a=,c=1,则b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.10\n(2)设A(x0,y0)(x0·y0≠0),B(x1,y1),C(x2,y2),当直线AF1的斜率不存在时,设A-1,,则B-1,-,直线AF2的方程为y=-(x-1),代入+y2=1,可得5x2-2x-7=0.∴x2=,y2=-,则D,-.∴直线BD的斜率为k1=,直线OA的斜率为k2=-,∴k1·k2=×-=-.当直线AF2的斜率不存在时,同理可得k1·k2=-.当直线AF1,AF2的斜率存在时,x0≠±1,设直线AF1的方程为y=(x+1),则由消去x可得[(x0+1)2+2]x2+4x+2-2(x0+1)2=0,又=1,则2=2-,代入上述方程可得(3+2x0)x2+2(2-)x-3-4x0=0,∴x1·x0=,∴x1=,则y1=+1=-,10\n∴B-,-,设直线AF2的方程为y=(x-1),同理可得D,∴直线BD的斜率为k1=,∵直线OA的斜率为k2=,∴k1·k2==-.所以,直线BD与OA的斜率之积为定值-,即k1·k2=-.15.解(1)由已知得解得故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题设可知:l1的直线方程为x=-7y-2.联立方程组整理,得85y2+28y-32=0.yP=,yQ=-.10\n∴.∵S△MAP=S△NAQ,∴|AM||AP|sinθ=|AN||AQ|sinθ,即.设l2的直线方程为x=my-2(m≠0).将x=my-2代入+y2=1得(m2+36)y2-4my-32=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.又∵y1=-y2,∴-y2+y2=,-=-.∴y2=-.∴-2=.解得m2=4,∴m=±2.故直线l2的斜率为±.10
