四川省成都市2022届高三数学（理）下学期第一次适应性考试试题（PDF版附答案）

高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．21.已知集合MyZyx2xN,xyln(x)，则MN（）A．B．{1}C．(1,1)D．[1,0)2．已知i为虚数单位，若z1+i，则z+2i=（）A．1+iB．2C．2D．103.下图是某公司2001年至2021年收益额（单位：万元）的折线图．根据该折线图判断，下列结论正确的是（）A．为预测2022年的收益额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B．为预测2022年的收益额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C．收益额与年份负相关D．收益额与年份的相关系数r0x2y104.已知实数x，y满足2xy20，则x+1的最小值是（）x2y2013A．1B．2C．D．22221025．已知命题p：(x)的展开式中，第2项的二项式系数为C10；命题q：若a,b是两x个非零向量，则abab是ab的充要条件．下列命题为真命题的是（）A．pqB．pqC．pqD．pq6.若3a4，blog2，clnc1，则实数a，b，c的大小关系为（）3A．abcB．bcaC．acbD．bac7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，A,B,C,D是该三棱锥表面上四个点，则直线AC和直线BD所成角的余弦为（）1122A．0B．C．D．333高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第1页共4页）\n8.已知x(0,)，且axsinxbx恒成立，则ba的最小值为（）2222A.1B.C.1D.19.纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（）1111A.B.C.D.412211610．如图，在边长为23的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn．当圆Dn的半3径小于时，（nN），n的最小值为（）81A．5B．6C．7D．8211.已知抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A,B两点，Q为线段AB的中点，以AB为直径的圆与x轴交于M,N两点，若C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离为3，则sinQMN的最小值为（）1111A.B.C.D.543212．如图，ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD中点，将ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体CABD，若P是该四面体表面或2内部一点，则下列说法错误的是（）1A．点P落在三棱锥EABC内部的概率为2B.若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交32线长度为243C.若PA2PD，则P的轨迹与该四面体表面的交线长度为32D.平面ABC上存在一点P，使得PA2PD第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．a513．已知等差数列an满足a4a1a2，且a10，则________．aa1322xy14.已知F是双曲线C:1a0,b0的右焦点，A，B是C上关于原点O对称的两22ab2点，若AFBF0，且△OAF的面积为4a，则双曲线C的离心率为______．515.已知函数f(x)2sin(x)(0)，若f()0，且f(x)在(,)上有最大值，33312没有最小值，则的最大值为________．高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第2页共4页）\n16.已知函数fx的定义域为R，f(2x2)为偶函数，f(x1)为奇函数，且当x0,1时，3579fxaxb．若f41，则f()f()f()f()______．2222三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共计60分．17．在某次校园科技节游园活动中，数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏．如果玩家投中1或者6可得1分，并且可以继续下一次投骰子，如果结果为2到5则游戏结束，但游戏的次数最多不超过4次，以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数，Y表示游戏结束时玩家获得的奖励.(1)求X的分布列；(2)若Y|X2|，求Y的期望.18．设ABC的内角ABC,,所对的边分别为abc,,，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．①向量mcos,1B与向量nbca,2平行.②22abbcABB③1cosA2cos22sincos242424(1)确定角A和角B之间的关系；(2)若D为线段BC上一点，且满足BDAD4,若2a3b，求b.19．如图，在圆柱OO1中，四边形ABCD是其轴截面，EF为⊙O1的直径，且EFCD，AB2，BCa(a1)．（1）求证：BEBF；6（2）若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角3ABEF平面角的余弦值．高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第3页共4页）\n20．点P为曲线C上任意一点，直线l:x4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点F(1,0)，且|PQ|2|PF|．(1)求曲线C的方程；22(2)过曲线C上的点M(x0,y0)(x01)作圆(x1)y1的两条切线，切线与y轴交于A,B，求MAB面积的取值范围.2x21．已知f(x)xea(x2lnx)(1)当ae时，求f(x)的单调性；(2)讨论f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分．考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】x2mt22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极y3mt点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为m24，设C1与C2的2交点为M，当m变化时，M的轨迹为曲线C．(1)写出C的普通方程；(2)曲线C3的极坐标方程为：=，当曲线C3与曲线C有交点Q时，求OQ最小值.【选修4-5：不等式选讲】23．已知fxx4xm.(1)若m2，求fxm的解集；222222(2)若实数abc,,满足abc2，xR，使abacbcfx成立，求实数m的取值范围.高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第4页共4页）\n高2022届高考适应考试一理科答案一、选择题：BCBABAADCADD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1；14．3；15．17；16．01217．【详解】(1)在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2到5的概率为......2分33由题得X的可能取值为0，1，2，…，41k214依题意得P(Xk)()(k)3,2,1,0,p(X)4().............................................5分333∴X的分布列为：X0123421212213214P()()()33333333.......................6分(2)因为Y|X|2，所以Y0，1，2.........................8分Y0121221213214P()+()2+()33333333...................................10分12212132214130所以E(Y)0()1(())2(()).....................12分333333338118．【详解】（1）若选①：因为向量mcos,1B与向量nbca,2平行，所以2cosaBbc，由正弦定理，可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,，B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA，即2=BA.................................6分222222acbbbccbbc若选②：cosB，2ac2ac2a所以2cosaBbc，由正弦定理，可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,，B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA，即2=BA...............................6分ABB若选③：1cosA2cos22sincos2424242AAA1(12sin)2cos2sin2sinB2222AAAAA2sin2cos2sin2cosB，A0,，0,sin0222222高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第1页共4页）\nAAAA所以上式化为2sin2cos2sin2cosBcoscosB.............4分2222AA0,，B0,，B,即2=BA................................6分222（2）如图，作出ABC示意图如下：32a3b，由正弦定理2sinA3sinB2sin2B22sincosBB，可得cosB，....8分43BH过D向AB作垂线，垂足为H，cosBBH3。因为BD=AD，所以H是AB4BD中点，ABc6。因为BD=AD，所以B=BAD，因为BAC=2BBADCAD，所以BADCAD，AD是BAC的角平分线，ABAC6bb24即有4a43b，解得b.....................12分BDCD45219．【详解】（1）证明：连接BO1，在圆柱中OO1中，BC平面CEDF，EF平面CEDF，EFBC，EFCD，BCCDC，EF平面ABCD，....................3分又BO1平面ABCD，EFBO1，在BEF中，O1为EF的中点，BEBF....5分（2）连接OO1，则OO1与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB,OO1所在直线分别为y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，....................6分则A0,1,0,B0,1,0,E1,0,a,F1,0,a，AE1,1,a，BE1,1,a，BF1,1,a，设平面BEF的法向量分别是nx,,yz，1111nBE10x1y1az10由，得，取z11，得n10,,1a，....................7分nBF10x1y1az10设直线AE与平面BEF所成角为，2a622由sincosAEn,，化简得a2a10，a22a213高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第2页共4页）\nQa1，解得a2，n10,2,1，....................9分设平面ABE的法向量分别是nxyz,,，AB0,2,0，2222n2AB02y20uur由，得，取z21，得n22,0,1，n2AE0x2y22z20nn112cosnn1,2，....................11分nn3121由图象可知，二面角ABEF为锐角，因此，二面角ABEF的余弦值为........12分320．【解析】(1)设Pxy(,)，由|PQ||2PF|，得22|x|42(x)1y，两边平方得2222xyxy1，所以曲线C的方程为1；.................................4分4343(2)设点M(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0)(斜率必存在），圆心为F()0,1，r=1|kykx|00所以F()0,1到yy0k(xx0)的距离为：d1....................6分21k222平方化为(x02x0)k(2x0)1y0ky010，设PA,PB的斜率分别为k1，k22(2x)1yy1000则k1k22,k1k22.........................................................................8分x2xx2x0000因为PA:yy0k1(xx0)，令x=0有yAy0k1x0，同理yBy0k2x02222(4x)1y(4x2x)(y)1200000所以|AB||yy|x|kk|x(kk)4kkAB01201212x2022x06又因为4y123x代入上式化简为|AB|............................................10分00x203211x61x6x000x所以SMABx0|AB|x0，0]2,1[22x22x20032x6x21令f(x),x]2,1[，求导知f(x)在x]2,1[为增函数,所以S[,]2.12分x262x21．【解析】(1)因为ae，x0，f(x)xee(x2lnx)2x2xe(x)2xe所以f(x)(x2x)ee1()x(x)2e(x2)(xe)，f)1(0xxxxexe令g(x)xe，g(x)(x)1e0，所以g(x)在,0()单增，且g)1(0，2xxxexe当x)1,0(时g(x)xe0，当x1(，)时g(x)xe0，所以当x)1,0(时xxf(x)0，当x1(，)时f(x)0，所以f(x)在)1,0(单减，在1(，)单增...................5分2(2)因为()lnxx(2ln)x2lnx(2ln)0fxeeaxxeaxx令tx2lnx，易知tx2lnx在,0()是单增的，且tR，故f(x)的零点转化为x2lnxttf(x)ea(x2lnx)eat0即eat，tR...........................................8分当a0时无解高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第3页共4页）\n1ttt当a0时，令h(t)，tR，易知h(t)的大致图象如下：tttaeee11①当即0ae，0个ae111②当或0即ae或a0，1个aea11③当0即ae，2个ae综上：当0ae，0个；当ae或a0，1个；ae，2个..........................................12分其他解法酌情给分22222．【详解】(1)曲线C1的普通方程为yxm，曲线C2的普通方程为xym4，....................2分222xym42联立消参可得C的普通方程为xy2，即y..................5分yxmx224（2）C的极坐标方程为sincos2，....................6分sin22442联立sin2，可得，sin22当sin2122k，即k(kZ)时，最小为4，所以OQ最小24值为2.....................10分23．【详解】(1)∵m2，fxx4x22，∴当x2，x4x22时，无解；当4x2时，x42x2，∴4x0；当x4时，x42x62，成立.综上所述：fxm的解集为xx0...................4分222(2)∵22ab2ab，2(ab)≥ab，222222同理可得2(ac)≥ac,2(bc)≥bc，所以222222222222abacbc2(ab)2(ac)2(bc)4(abc)8当且仅当abc时，等号成立...................6分222∵xR，使abacbcfx成立，由fxx4xm≤4m，当且仅当x4≥xm，x4xm≥0时等号成立，.................8分∴4m8，即m,124,................10分高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第4页共4页）\n高2022届高考适应考试一理科答案一、选择题：BCBABAADCADD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1；14．3；15．17；16．01217．【详解】(1)在单次投骰子中，投中1或者6的概率为，投中2到5的概率为......2分33由题得X的可能取值为0，1，2，…，41k214依题意得P(Xk)()(k)3,2,1,0,p(X)4().............................................5分333∴X的分布列为：X0123421212213214P()()()33333333.......................6分(2)因为Y|X|2，所以Y0，1，2.........................8分Y0121221213214P()+()2+()33333333...................................10分12212132214130所以E(Y)0()1(())2(()).....................12分333333338118．【详解】（1）若选①：因为向量mcos,1B与向量nbca,2平行，所以2cosaBbc，由正弦定理，可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,，B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA，即2=BA.................................6分222222acbbbccbbc若选②：cosB，2ac2ac2a所以2cosaBbc，由正弦定理，可得2sinAcosBsinBsinCsinBsin(AB)2sincosABsinBsincosABcossinABsincosABcossinABsinBsin(AB).................................4分AB,0,,AB,，B(AB)或BAB=A(舍)或2=BA，即2=BA...............................6分ABB若选③：1cosA2cos22sincos2424242AAA1(12sin)2cos2sin2sinB2222AAAAA2sin2cos2sin2cosB，A0,，0,sin0222222高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第1页共4页）\nAAAA所以上式化为2sin2cos2sin2cosBcoscosB.............4分2222AA0,，B0,，B,即2=BA................................6分222（2）如图，作出ABC示意图如下：32a3b，由正弦定理2sinA3sinB2sin2B22sincosBB，可得cosB，....8分43BH过D向AB作垂线，垂足为H，cosBBH3。因为BD=AD，所以H是AB4BD中点，ABc6。因为BD=AD，所以B=BAD，因为BAC=2BBADCAD，所以BADCAD，AD是BAC的角平分线，ABAC6bb24即有4a43b，解得b.....................12分BDCD45219．【详解】（1）证明：连接BO1，在圆柱中OO1中，BC平面CEDF，EF平面CEDF，EFBC，EFCD，BCCDC，EF平面ABCD，....................3分又BO1平面ABCD，EFBO1，在BEF中，O1为EF的中点，BEBF....5分（2）连接OO1，则OO1与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB,OO1所在直线分别为y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，....................6分则A0,1,0,B0,1,0,E1,0,a,F1,0,a，AE1,1,a，BE1,1,a，BF1,1,a，设平面BEF的法向量分别是nx,,yz，1111nBE10x1y1az10由，得，取z11，得n10,,1a，....................7分nBF10x1y1az10设直线AE与平面BEF所成角为，2a622由sincosAEn,，化简得a2a10，a22a213高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第2页共4页）\nQa1，解得a2，n10,2,1，....................9分设平面ABE的法向量分别是nxyz,,，AB0,2,0，2222n2AB02y20uur由，得，取z21，得n22,0,1，n2AE0x2y22z20nn112cosnn1,2，....................11分nn3121由图象可知，二面角ABEF为锐角，因此，二面角ABEF的余弦值为........12分320．【解析】(1)设Pxy(,)，由|PQ||2PF|，得22|x|42(x)1y，两边平方得2222xyxy1，所以曲线C的方程为1；.................................4分4343(2)设点M(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0)(斜率必存在），圆心为F()0,1，r=1|kykx|00所以F()0,1到yy0k(xx0)的距离为：d1....................6分21k222平方化为(x02x0)k(2x0)1y0ky010，设PA,PB的斜率分别为k1，k22(2x)1yy1000则k1k22,k1k22.........................................................................8分x2xx2x0000因为PA:yy0k1(xx0)，令x=0有yAy0k1x0，同理yBy0k2x02222(4x)1y(4x2x)(y)1200000所以|AB||yy|x|kk|x(kk)4kkAB01201212x2022x06又因为4y123x代入上式化简为|AB|............................................10分00x203211x61x6x000x所以SMABx0|AB|x0，0]2,1[22x22x20032x6x21令f(x),x]2,1[，求导知f(x)在x]2,1[为增函数,所以S[,]2.12分x262x21．【解析】(1)因为ae，x0，f(x)xee(x2lnx)2x2xe(x)2xe所以f(x)(x2x)ee1()x(x)2e(x2)(xe)，f)1(0xxxxexe令g(x)xe，g(x)(x)1e0，所以g(x)在,0()单增，且g)1(0，2xxxexe当x)1,0(时g(x)xe0，当x1(，)时g(x)xe0，所以当x)1,0(时xxf(x)0，当x1(，)时f(x)0，所以f(x)在)1,0(单减，在1(，)单增...................5分2(2)因为()lnxx(2ln)x2lnx(2ln)0fxeeaxxeaxx令tx2lnx，易知tx2lnx在,0()是单增的，且tR，故f(x)的零点转化为x2lnxttf(x)ea(x2lnx)eat0即eat，tR...........................................8分当a0时无解高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第3页共4页）\n1ttt当a0时，令h(t)，tR，易知h(t)的大致图象如下：tttaeee11①当即0ae，0个ae111②当或0即ae或a0，1个aea11③当0即ae，2个ae综上：当0ae，0个；当ae或a0，1个；ae，2个..........................................12分其他解法酌情给分22222．【详解】(1)曲线C1的普通方程为yxm，曲线C2的普通方程为xym4，....................2分222xym42联立消参可得C的普通方程为xy2，即y..................5分yxmx224（2）C的极坐标方程为sincos2，....................6分sin22442联立sin2，可得，sin22当sin2122k，即k(kZ)时，最小为4，所以OQ最小24值为2.....................10分23．【详解】(1)∵m2，fxx4x22，∴当x2，x4x22时，无解；当4x2时，x42x2，∴4x0；当x4时，x42x62，成立.综上所述：fxm的解集为xx0...................4分222(2)∵22ab2ab，2(ab)≥ab，222222同理可得2(ac)≥ac,2(bc)≥bc，所以222222222222abacbc2(ab)2(ac)2(bc)4(abc)8当且仅当abc时，等号成立...................6分222∵xR，使abacbcfx成立，由fxx4xm≤4m，当且仅当x4≥xm，x4xm≥0时等号成立，.................8分∴4m8，即m,124,................10分高2022届高考适应考试一数学（理科）试卷（第4页共4页）