南省顶级名校2022－2022学年上期期中考试高三数学（理）试题说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分．考试时间120分钟．2.将试题卷中题目的答案填(涂)在答题卷(答题卡)的相应位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.2．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.在△中，为边的中点，若，，则（）A.B.C.D.正视图侧视图俯视图53435.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A.B.C.0D.6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（）-23-\nA．cm3B．cm3C．cm3D．cm3是开始输入输出结束是是否否否7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）A.B.C.D.436785012336896001344667889701224566678899-23-\n800244569901688．如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数的图像大致为（)9．设方程与的根分别为，则（）A．B．C．D．-23-\n10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）-23-\nA.，B.，C.，D.，12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．-23-\n13．已知等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，则.14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种.15.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是.16.如图所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，，恒成立，则实数.三.解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c，且满足-23-\nc(acosB−b)=a2−b2.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求的取值范围.18.（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是:.（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望.202530354045年龄/岁频率/组距0．070．02x0．040．01O第18题图-23-\n19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．（Ⅰ）证明：AB平面BEF；（Ⅱ）若，求二面角E-BD-C.20.（本小题满分12分）-23-\n椭圆，原点到直线的距离为，其中：点，点.（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）经过椭圆右焦点的直线和该椭圆交于两点，点在椭圆上，为原点，若，求直线的方程．21.（本小题满分12分）-23-\n已知函数，函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲第22题图已知外接圆劣弧上的点（不与点-23-\n、重合），延长至,延长交的延长线于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；-23-\n（Ⅱ）若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线被曲线截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.-23-\n河南省顶级名校2022－2022学年上期期中考试高三数学（理）试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号1234............10分所以............12分19.解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF． 又PA底面ABCD,∴平面PAD平面ABCD， ∵ABAD，故AB平面PAD,∴ABPD， -23-\n在ΔPCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF//PD，∴ ABEF． 由此得平面．............6分（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，平面的法向量为，则可取设二面角E-BD-C的大小为，则=，-23-\n所以，............12分20.解：（Ⅰ）设直线：且所以离心率.............3分（Ⅱ）椭圆方程为，设①当直线斜率为0时，其方程为，此时，，不满足，不符合题意，舍去............4分②当直线斜率不为0时设直线方程为，-23-\n由题：消得，............5分所以............7分因为，所以，因为点在椭圆上，所以所以............9分-23-\n化简得，得直线为............11分综上，直线为............12分21.解：（Ⅰ）∵，∴.∵与直线垂直，∴，∴...........2分（Ⅱ）-23-\n由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是...........6分（Ⅲ）令得由题-23-\n，则.........8分，所以令，又，所以，所以整理有，解得........10分，所以在单调递减-23-\n故的最小值是..........12分22.解析：(Ⅰ)证明：、、、四点共圆．且,,-23-\n．..........5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,所以与相似,，又, ，根据割线定理得，．..........10分23.(1)∵曲线的参数方程为(α为参数)-23-\n∴曲线的普通方程为将代入并化简得：即曲线c的极坐标方程为..........5分(2)∵的直角坐标方程为∴圆心到直线的距离为d==∴弦长为2=2..........10分24.(1)∵∴∵的解集为∴∴a=2.......5分-23-\n(2)∵又恒成立∴m≤5...............10分-23-
