泰兴市2022-2022年春学期高一数学期末测试试题一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．若点P(m，n)(m，n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．2．根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为．x－101230.3712.727.3920.09123453．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为．4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则PQ的最小值为________．5．执行下图所示的程序框图，若输入的值为2，否是输出输入结束开始则输出的值是．6．将一骰子连续向上抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为.（结果用最简分数表示）7．已知函数的图像过点，则此函数的最小值是_．8．定义：关于x的两个不等式f(x)＜0和g(x)＜0的解集分别为(a，b)和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2－4xcos2q+2＜0与不等式2x2－4xsin2q+1＜0为对偶不等式，且q∈(，p)，则q＝．9．对于数列{}，定义数列{}为数列{}的“差数列”，若，{}的“差数列”的通项为，则数列{}的前项和=．10．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ-9-\n)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．11．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是______．12．设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数：，取函数（＞1），当时，函数值域是______．13．已知△ABC所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过△ABC的心．14．若不等式a＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[90,100)后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）；（3）从物理成绩不及格的学生中任选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．分数0.0050.0150.0250.03506070809010016．(本小题满分14分)-9-\n已知向量,，，设函数（1）求函数的最大值及相应的自变量x的取值集合；（2）当且时，求的值．17．(本小题满分14分)已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是．（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．18．(本小题满分16分)已知函数且．（1）求函数的定义域、值域；（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．-9-\n19．(本小题满分16分)如图，某市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方向解放路上选取A点，在A、B间修建南徐新路．（1）如果在A点处看市中心O和B点视角的正弦值为，求在B点处看市中心O和A点视角的余弦值；（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为km2，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定A、B两点的位置．20．(本小题满分16分)定义数列：，当时，其中，为常数．（1）当时，．①求：；②求证：数列中任意三项均不能够成等差数列；（2）求证：对一切及，不等式恒成立．-9-\n参考答案一、填空题：1．答案：解析：，∴=．2．答案：解析：令，∴．3．答案：解析：由图即求．4．答案：3解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，则PQ的最小值即两平行线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0间的距离d，又d＝＝3，所以PQ的最小值为3．5．答案：4解析：，此时P=4．6．答案：解析古典概型，穷举法，分公差为0，±1，±2五种情形，成等差数列时共18种．7．答案：解析：，∴．8．答案：解析：由韦达定理，∴，又q∈(，p)，∴∴．9．答案：解析：，由叠加法可得，∴=．10．答案：解析：两图象的对称轴完全相同，则两函数的周期相同，∴，∵x∈，∴f(x)＝3sin．11．答案：解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y＝kx＋只需要经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为(，)，代入即可解得k的值为．12．答案：解析：＞1时，，当时，若，则；若，则．-9-\n13．答案：外解析：，∴，∴，∴，∴，∴M在BC的垂直平分线上，∴M点的轨迹过△ABC的外心．14．答案：a≥1解析：不等式即为a≥＋，在x∈(，2)上恒成立．而函数＝＋＝，则在(，2)上的最大值为1，所以a≥1．二、解答题：15．解：（1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：f1＝1－(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10＝0.1，∴低于50分的人数为60×0.1＝6（人）．（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10＝0.75．即抽样学生成绩的合格率是75%．答：估计这次考试物理学科及格率约为75﹪．（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6，9．所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为P＝1－＝．答：至少有一个不低于50分的概率为．16．解：（1），，∴=∴函数取得最大值为，相应的自变量x的取值集合为{x|（Z）}．（2）由得，即-9-\n因为,所以，从而，于是．17．解：（1）l2即2x-y-=0，∴l1与l2的距离d===，∴||=，由a＞0解得a=3．（2）设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线：2x-y+c=0上．且=×，解得c=或c=，∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=·，即||=||，∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由P在第一象限，显然3x0+2=0不可能，联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，解得(舍去)，联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，解得，∴点P(，)即为能同时满足三个条件的点．18．解：（1）由4－ax≥0,得ax≤4．当a＞1时，x≤loga4；当0＜a＜1时，x≥loga4．即当a＞1时，f(x)的定义域为（－∞，loga4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[loga4，＋∞）．令t＝，则0≤t＜2，且ax＝4－t2，∴f(x)＝g(t)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4，-9-\n当t≥0时，g(x)是t的单调减函数，∴g(2)＜g(t)≤g(0)，即－5＜f(x)≤3，∴函数f(x)的值域是．（2）若存在实数a，使得对于任意，都有f(x)≤0，则区间是定义域的子集．由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且loga4≤-1，即．令t＝，由（1）知，f(x)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4，由，解得（舍）或，即有解得，由题意知对任意，有恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意，都有．所以有，解得，即．∴存在，对任意，都有f(x)≤0．19．解：（1）由题可得∠AOB＝π，∠BAO为锐角，sin∠BAO＝⇒cos∠BAO＝，cos∠OBA＝cos(－∠BAO)＝·＋·＝.（2）OA＝3，S＝OB·OAsin∠AOB＝OB·3·sinπ＝，解得OB＝5.由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝9＋25＋15＝49，∴AB＝7(km)．（3）∵AB·4＝OA·OB·sin∠AOB，∴OA·OB＝AB，∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcosπ＝OA2＋OB2＋OA·OB≥2OA·OB＋OA·OB＝3OA·OB＝3·AB，∴AB2≥8AB，∴AB≥8(等号成立OA＝OB＝8)．20．解：（1）当时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8.从而猜出数列、均为等比数列．∵，∴数列、均为等比数列，∴．-9-\n①∴，，∴②证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，即成立．因均为偶数，设，，，（），∴即∴，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾．（2）∵，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，∴．又∵，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，∴．∴，∴．∵，∴．∴．-9-
