期末达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2．一元二次方程x(x－3)＝4的解是( )A．x＝1B．x＝4C．x1＝－1，x2＝4D．x1＝1，x2＝－43．抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )A．B．C．D．4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( )A．(x＋2)2＝(x－4)2＋x2B．(x＋4)2＝x2＋(x－2)2C．x2＝(x－4)2＋(x－2)2D．(x＋4)2＝(x＋2)2＋x25．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是( )A．36°B．33°C．30°D．27°6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋子中有白球( )A．18个B．28个C．36个D．42个7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( )A．15°B．20°C．25°D．30°13
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )A．5B.C．5D．510．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c＞0；(4)若点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2，其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共30分)11．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．12．在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于原点对称的点的坐标是________．13
13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．14．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝________．15．如图，五一期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从C或D出口离开的概率是________．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶.将△BOC绕C点沿顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝________．17．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的叶状阴影图案的面积为________． 18．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，若这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是________cm.19．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为________．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，点P的坐标为________．13
三、解答题(21题8分，22，23题每题6分，26题10分，27题12分，其余每题9分，共60分)21．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－2x－143＝0;(2)5x＋2＝3x2.22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.(1)求证：2a＋b＝0；(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．13
24．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个三位数为“伞数”．现从1，2，3，4这4个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数．(1)请用画树状图的方法求所有可能得到的三位数；(2)甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏规则公平吗？试说明理由．25．如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD.(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；13
(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成圆锥的底面圆的半径r.26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：A方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；B方案：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P13
的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．13
答案一、1．C 2．C 3．B 4．C 5．A 点拨：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°.∴∠BDC＝90°－∠BCD＝90°－54°＝36°.∴∠A＝∠BDC＝36°.6．B7．C 点拨：∵正方形ODEF是由正方形OABC绕点O逆时针旋转40°得到的，∴∠AOC＝90°，∠COF＝40°，OA＝OF，∴∠AOF＝90°＋40°＝130°，∴∠OFA＝＝25°.8．A 9．D10．B 点拨：∵－＝2，∴4a＋b＝0.故(1)正确．∵当x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b.故(2)错误．由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，∴解得∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0.故(3)正确．∵点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，且－2＝，2－＝，＜，∴点C离对称轴的距离近．∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－＜2，∴y1＜y2.∴y1＜y2＜y3.故(4)错误．∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－＞0，即(x＋1)(x－5)＞0，故x＜－1或x＞5，故(5)正确．∴正确的结论有3个，故选B.二、11．0 12．(3，－2) 13．2016 14．50° 15． 16．105°17．2π－4 点拨：标注字母如图所示，连接AB，由题意得，阴影部分的面积＝2(S扇形OAB－S△AOB)＝2×(－×2×2)＝2π－4.18．3 点拨：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为rcm，13
则×πr＝2π×1，解得r＝3.19．2r 点拨：连接OD，OE.易知BD＝BE＝OD＝OE＝r.∵MN与⊙O相切于点P，且⊙O是△ABC的内切圆，∴MD＝MP，NP＝NE.∴△MBN的周长＝BM＋MP＋PN＋BN＝BM＋MD＋NE＋BN＝BD＋BE＝2r.20．或点拨：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，此时EF最短．在Rt△AOC中，易知OC＝OA＝4，∴当D是AC的中点时，OD⊥AC.易得DF∥OC，DF＝OC＝2，∴点P的纵坐标是2.∵A的坐标为(4，0)，且OA＝4OB，∴点B的坐标为(－1，0)．设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，由点C的坐标为(0，4)，得－4a＝4，解得a＝－1，因此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4，当y＝2时，x2－3x－2＝0，解得x＝.∴当线段EF的长度最短时，点P的坐标为或.三、21．解：(1)原方程可化为x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144，∴x－1＝±12，∴x1＝13，x2＝－11.(2)原方程可化为3x2－5x－2＝0，(3x＋1)(x－2)＝0，得3x＋1＝0或x－2＝0，∴x1＝－，x2＝2.22．(1)证明：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1，∴－＝1，即2a＝－b，移项，得2a＋b＝0.(2)解：把x＝4代入方程ax2＋bx－8＝0，得16a＋4b－8＝0 ①.由(1)可知，2a＋b＝0 ②，①②联立，解得∴原方程为x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2.13
即方程的另一个根是x＝－2.23．解：(1)如图．点A1的坐标为(2，－4)．(2)如图．(3)BC＝＝，所以C点旋转到C2点所经过的路径长＝＝.24．解：(1)根据题意画树状图如图：由树状图可得，所有可能得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.(2)这个游戏规则不公平．理由如下：组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，∴甲胜的概率为＝，乙胜的概率为＝.∵≠，∴这个游戏规则不公平．13
25．解：(1)猜想：AC与⊙O相切．证明如下：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°.∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝90°.∴OC⊥AC.又OC是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．(2)四边形BOCD为菱形．证明如下：连接OD，∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD.∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，∴∠OCD＝60°.又OC＝OD，∴△OCD为等边三角形．∴CD＝OD＝OB.∵CD∥OB，∴四边形BOCD为平行四边形．又OB＝OC，∴四边形BOCD为菱形．(3)在Rt△AOC中，AC＝6，∠A＝30°， ∴OA＝2OC.∴OC2＋62＝(2OC)2.解得OC＝2(负值舍去)．由(2)得∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°.根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，得＝2πr.解得r＝.26．解：(1)由题意得，销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500，则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000.13
(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.∵－10＜0，∴当x＝35时，w最大＝2250.故当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．(3)A方案的最大利润更高，理由如下：A方案中：20＜x≤30，∵函数w＝－10(x－35)2＋2250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，∴当x＝30时，w有最大值，此时wA最大＝2000.B方案中：故x的取值范围为45≤x≤49.∵函数w＝－10(x－35)2＋2250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，此时wB最大＝1250.∵wA最大＞wB最大，∴A方案的最大利润更高．27．解：(1)∵函数的图象与x轴相交于点O，∴0＝k＋1.∴k＝－1.∴y＝x2－3x.(2)设B点的坐标为(x0，y0)．∵△AOB的面积等于6，∴AO·|y0|＝6.当x2－3x＝0时，即x(x－3)＝0，解得x＝0或x＝3.∴AO＝3.∴|y0|＝4，即|x20－3x0|＝4.∴＝或＝－(舍去)．解得x0＝4或x0＝－1(舍去)．当x0＝4时，y0＝x20－3x0＝4，∴点B的坐标为(4，4)．(3)假设存在点P.设符合条件的点P的坐标为(x1，x21－3x1)．∵点B的坐标为(4，4)，13
∴∠BOA＝45°，BO＝＝4.当∠POB＝90°时，易得点P在直线y＝－x上，∴x21－3x1＝－x1.解得x1＝2或x1＝0(舍去)．∴x21－3x1＝－2.∴在抛物线上存在点P，使∠POB＝90°，且点P的坐标为(2，－2)．∴OP＝＝2.∴△POB的面积为PO·BO＝2×4＝8.13
