第2章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)1．若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为( )A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A．70°B．60°C．50°D．30°3．如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( )A．5B．7C．9D．114．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径r的取值范围是( )A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜85．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )A．45°B．50°C．55°D．60°13
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为( )A.B.C.D．π7．若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．180°8．如图，点A、B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )A.＋1B.＋C．2＋1D．2－二、填空题(每题2分，共20分)9．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A、∠B、∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________．10．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为________．11．如图，⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为________．12．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________．13．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________．13
14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.15．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板(部分)测得其高度的尺寸如图所示(单位：cm)，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.16．据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的周长为________尺．(结果用最简根式表示)17．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC长为直径作半圆，圆心为点O.以点C为圆心，BC长为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是________．18．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径是7，则GE＋FH的最大值是________．三、解答题(19～22题每题6分，其余每题8分，共56分)19．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，求⊙O的周长．20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D13
作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC.(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．21．已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D.(1)如图①，求证：AC＝CD；(2)如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．22．“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．23．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，恰有AB＝AC.13
(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若PC＝2，OA＝5，求⊙O的半径．24．如图，AB与⊙O相切于点C，OA、OB分别交⊙O于点D、E，CD＝CE.(1)求证：OA＝OB；(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．13
25．如图，一座拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径．(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．26．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA.(1)当直线CD与半圆O相切时，如图①，连接OC，求∠DOC的度数．(2)当直线CD与半圆O相交时，如图②，设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC.①试猜想AE与OD的数量关系，并说明理由；②求∠ODC的度数．13
答案一、1.C 2.B 3.A 4.B 5.B6．B 【点拨】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，∴AC＝AB＝1.∴BC＝＝＝.∴点B转过的路径长为＝.7．C8．B 【点拨】如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在以B为圆心，半径为1的圆上，取OD＝OA＝2，连接CD，又∵AM＝CM，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，CD最大，而当D，B，C三点共线，且C在DB的延长线上时，CD最大，即OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2＋1，∴OM＝CD＝＋，即OM的最大值为＋.二、9.120° 10.π 11.65° 12.35°13．3 【点拨】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，则CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD与AB之间的距离是3.14．215 【点拨】∵A，B，C，D四点共圆，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵A，C，D，E四点共圆，∴∠E＋∠ACD＝180°.∴∠ACD＋∠ADC＋∠B＋∠E＝360°.∵∠ACD＋∠ADC＝180°－35°＝145°，∴∠B＋∠E＝360°－145°＝215°. 15．15π16．4 【点拨】如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE为直径，∠ECD＝45°，由题意得AB＝2.5，∴CE＝2.5－0.25×2＝2，∴CD＝＝，13
∴正方形CDEF的周长为4尺．17.π－2 【点拨】如图，连接CE.∵AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为点O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4.又∵OE∥AC，∴∠COE＝90°.∵OC＝2，CE＝4，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝2.∴S阴影＝S扇形CBE－S扇形OBD－S△OCE＝－π×22－×2×2＝－2.18．10.5 【点拨】当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值．易知当GH为直径时，E点与O点重合，∴AC也是直径，AC＝14.∵∠ABC是直径上的圆周角，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝30°，∴AB＝AC＝7.∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF＝AB＝3.5，∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5.三、19.解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△CBD中，∵CD＝4，BD＝3，∴BC＝＝＝5.设AD＝x，则42＋x2＝(x＋3)2－52，解得x＝.∴AB＝＋3＝，∴⊙O的周长是π，13
20．(1)证明：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)解：由(1)知AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∠ADB＝90°，∴△ABC是等边三角形，∠BAD＝30°.∴∠C＝60°.在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，∴DC＝4.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝DC＝2.∴DE＝＝2.21．(1)证明：∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，即∠OAB＋∠CAB＝90°.∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∴∠B＋∠ODB＝90°.而∠ODB＝∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠ADC＝∠CAB，∴AC＝CD.(2)解：∵∠BOC＝90°，OB＝OE，13
∴△OBE为等腰直角三角形，∴∠OEB＝45°.∵BE∥OA，∴∠AOC＝∠OEB＝45°，∴△OAC为等腰直角三角形，∴AC＝OA＝1，OC＝OA＝，而CD＝CA＝1，∴OD＝OC－CD＝－1.22．解：设经过A，B两点的直线对应的函数关系式为y＝kx＋b.∵A(2，3)，B(－3，－7)，∴解得∴经过A，B两点的直线对应的函数关系式为y＝2x－1.当x＝5时，y＝2×5－1＝9≠11，∴点C(5，11)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．∴平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)可以确定一个圆．23．(1)证明：如图，连接OB.∵OA⊥l，∴∠PAC＝90°，∴∠APC＋∠ACP＝90°.∵AB＝AC，OB＝OP，∴∠ABC＝∠ACB，∠OBP＝∠OPB.∵∠BPO＝∠APC，∴∠ABC＋∠OBP＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线．13
(2)解：设⊙O的半径为r，则AP＝5－r，OB＝r.在Rt△OBA中，AB2＝OA2－OB2＝52－r2，在Rt△APC中，AC2＝PC2－AP2＝(2)2－(5－r)2.∵AB＝AC，∴52－r2＝(2)2－(5－r)2，解得r＝3，即⊙O的半径为3.24．(1)证明：连接OC.∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.∴∠ACO＝∠BCO＝90°.∵CD＝CE，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC，∴OA＝OB.(2)解：∵△AOC≌△BOC，∴AC＝BC＝AB＝2.∵OB＝OA＝4，且△OCB是直角三角形，∴根据勾股定理，得OC＝＝2，∴OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠BOC＝60°.∴S阴影＝S△BOC－S扇形OCE＝×2×2－＝2－π.25．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点C，连接AE，则CF＝20米．由垂径定理知，F是AB的中点，13
∴AF＝FB＝AB＝40米．设圆E的半径是r米，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，设MN＝60米，MN∥AB，EC与MN的交点为D，连接EM，易知DE⊥MN，∴MD＝30米，∴DE＝＝＝40(米)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(米)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米>9米，∴这艘轮船能顺利通过．26．解：(1)∵直线CD与半圆O相切，∴∠OCD＝90°.∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD，∴∠DOC＝∠ODC＝45°，即∠DOC的度数是45°.(2)①AE＝OD.理由如下：如图，连接OE.∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD，∴∠COD＝∠CDO.13
∴∠OCE＝2∠CDO，∵AE∥OC，∴∠EAD＝∠COD，∴∠EAD＝∠CDO，∴AE＝DE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠DOE＝2∠EAD，∴∠DOE＝∠OCE.∵OC＝OE，∴∠DEO＝∠OCE，∴∠DOE＝∠DEO，∴OD＝DE，∴AE＝OD.②由①得，∠DOE＝∠DEO＝2∠ODC.∵∠DOE＋∠DEO＋∠ODC＝180°，∴2∠ODC＋2∠ODC＋∠ODC＝180°，∴∠ODC＝36°.13
