第13章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题是假命题的是( )A．两点确定一条直线B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D．角的边越长，角就越大2．如图，已知AC＝DB，AB＝DC，你认为证明△ABC≌△DCB应该用( )A．“边边边”B．“边角边”C．“角边角”D．“角角边”3．如图，已知△ABC的六个元素，图①②③中的三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有②B．只有③C．①和②D．②和③4．已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形时用到的基本作图是( )A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线B．作已知角的平分线C．过直线外一点作已知直线的垂线D．作一个角等于已知角5．已知△ABC≌△A′B′C′，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A′C′等于( )A．5B．6C．7D．812
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若AB＝10cm，AC＝6cm，则BE的长度为( )A．8cmB．6cmC．4cmD．2cm7．如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．55°8．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F.画直线EF，分别交OA于点D，交OB于点G.那么△ODG一定是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为( )A．11B．5.5C．7D．3.510．如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，使点B的对应点D落在BC边上，连结EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题(每题3分，共30分)12
11．把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为_____________________________________________________________．12．如图，两个三角形全等，根据图中所给的条件可知∠α＝________．13．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是：__________．14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AC于点E，△ABC和△BEC的周长分别是30cm和20cm，则AB＝________cm.15．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．16．已知等腰三角形ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′的腰长等于__________．17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝70°，∠ABD＝40°，AB＝DC，则∠BAC＝________．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为________．12
19．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m．点P从点B开始以1m/min的速度向点A运动；点Q从点B开始以2m/min的速度向点D运动．P，Q两点同时出发，运动________________后，△CAP≌△PBQ.20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠BAC＝90°.其中正确的有____________．(填序号)三、解答题(21，22题每题6分，23，24题每题8分，25，26题每题10分，27题12分，共60分)21．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出(不写作法但保留作图痕迹)．22．如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连结EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.12
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连结EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.25．如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发在河岸上画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使E，C，A12
三点在同一直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请你说明道理．26．如图①，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD，连结BD交EF于点G.(1)求证：BD平分EF；(2)若将△DEC沿AC方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．27．如图a，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，连结CF.(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图b，线段CF，BD12
所在直线的位置关系为________，线段CF，BD的数量关系为__________；②当点D在线段BC的延长线上时，如图c，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C，F不重合)？并说明理由．12
答案一、1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C7．A 点拨：在Rt△DBC中，∠C＝90°，∠1＝35°，∴∠DBC＝55°.由折叠的性质可知△DBC≌△DBC′，∴∠DBC′＝∠DBC＝55°.∵DC∥AB，∴∠DBA＝∠1＝35°.∴∠2＝∠DBC′－∠DBA＝20°.8．C 9．B 10．B二、11．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等12．51°13．∠B＝∠C(答案不唯一)14．10 15．55° 16．8cm或5cm17．80° 18．4 19．4min20．①②③三、21．解：如图．22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.12
23．解：(1)∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°.(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵∠ECD＝36°，∴∠ECB＝72°－36°＝36°.∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝180°－72°－36°＝72°.∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5.24．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE.在Rt△CDF和Rt△EDB中，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.)，∴CF＝EB.(2)由(1)可知DC＝DE，在Rt△ADC和Rt△ADE中，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(H.L.)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.点拨：(1)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DC＝DE.进而证得Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.(2)利用H.L.证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得AC＝AE，再将线段AB进行转化．25．解：∵E，C，A三点在同一直线上，B，C，D三点在同一直线上，∴∠ACB＝∠ECD.12
∵DE∥AB，∴∠A＝∠E.在△ABC与△EDC中，∴△ABC≌△EDC(A.A.S.)．∴AB＝DE.26．(1)证明：∵ED⊥AC，FB⊥AC，∴∠DEG＝∠BFG＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H.L.)．∴BF＝DE.在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG(A.A.S.)．∴FG＝EG，即BD平分EF.(2)解：BD平分EF的结论仍然成立．理由：∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.∵FB⊥AC，ED⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H.L.)．∴BF＝DE.在△BFG和△DEG中，12
∴△BFG≌△DEG(A.A.S.)．∴GF＝GE，即BD平分EF.点拨：本题综合考查了三角形全等的判定方法．(1)先利用H.L.判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用A.A.S.判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF.(2)中结论仍然成立，证明过程同(1)类似．27．解：(1)①CF⊥BD；CF＝BD②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论仍然成立．理由如下：∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°.又∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC.又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，即CF⊥BD.(2)当∠ACB＝45°时，CF⊥BC.理由：如图，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°.12
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°－∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠AGC，∴AG＝AC.∵∠DAG＋∠DAC＝∠FAC＋∠DAC＝90°，∴∠DAG＝∠FAC.又∵AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BC.12
