第14章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，则下列各式中不正确的是( )A．a2＋b2＝c2B．c2－a2＝b2C．a2－b2＝c2D．c2－b2＝a22．用反证法证明“若在△ABC中，∠C＝90°，则∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )A．∠A>45°，∠B>45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A<45°，∠B<45°D．∠A≤45°，∠B≤45°3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点上，则线段AB的长度为( )A．5B．6C．7D．254．下列各组数为勾股数的是( )A．6，12，13B．3，4，7C．8，15，17D．0.9，1.2，1.55．已知一个直角三角形的面积为96，两直角边长的比为34，则该直角三角形的斜边长为( )A．10B．20C．5D．156．如图，在一块平地上，张大爷的房子前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处朝张大爷的房子方向折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？( )A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上都不对7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D9
落在对角线AC上的点D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )A．B．3C．1D．8．若一个直角三角形的三边长分别是5，12，x，则x2等于( )A．169B．119C．169或119D．139．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( )A．10mB．12mC．15mD．20m10．如图是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h(cm)的取值范围为( )A．3<h<4B．3≤h≤4C．2≤h≤4D．h＝4(第10题)二、填空题(每题3分，共30分)11．若用反证法证明“有两个内角不相等的三角形不是等边三角形”，可先假设这个三角形是________．12．在△ABC中，AC2－AB2＝BC2，则∠B的度数为________．13．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________．14．若一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，且周长为24cm，则它的面积为________cm2.15．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4000m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，则飞机平均每小时飞行__________km.9
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为____________．17．如图，每个小方格的边长为1.若一束光线从点A出发，经过直线MN上一点反射后经过点B，则光线从点A到点B经过的路线长是________．18．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________(结果精确到0.01)．19．如图，圆柱形无盖容器高为18cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm. 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为一直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__________．三、解答题(21题6分，22～24题每题8分，25，26题每题9分，27题12分，共60分)21．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．9
22．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．23．我们把满足x2＋y2＝z2的正整数x，y，z称为一组勾股数，如3，4，5就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：________，________；(2)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．24．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAC与∠ADC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为：AD＝8cm，AC＝10cm，CD＝6cm，AB＝24cm，BC＝26cm，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由．9
25．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.求AB的长(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)．26．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．(1)在图①中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；(2)在图②中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；(3)在图③中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，.27．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯子的底端B到墙壁OC的距离为OB＝0.7米，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到点A′时，点B沿水平地面向外滑动到B′点．9
(1)当AA′＝0.4米时，线段AA′的长度与线段BB′的长度相等吗？请说明理由．(2)是否存在一个点A′，使AA′＝BB′？若存在，求出点A′的位置；若不存在，说明理由．9
答案一、1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A7．A 8．C 9．C 10．B二、11．等边三角形 12．90° 13．10 14．24 15．108016．等腰直角三角形 点拨：由题意知c2－a2－b2＝0，且a－b＝0，∴a2＋b2＝c2，且a＝b.∴△ABC为等腰直角三角形．17．518．2.12 点拨：在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2－1－1－＝；用勾股定理计算出BC的长为，因此BC边上的高约为2.12.19．2020．PA2＋PB2＝2PC2三、21．证明：假设三角形ABC的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立，∴一个三角形中不能有两个角是直角．22．解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5.∵a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．点拨：本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．23．(1)6，8，10；9，12，15(答案不唯一)(2)证明：∵x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，∴以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形．9
24．解：这个零件符合要求．理由：在△ACD中，∵AD2＋CD2＝82＋62＝64＋36＝100，AC2＝102＝100，∴AD2＋CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°.在△ABC中，∵AC2＋AB2＝102＋242＝100＋576＝676，BC2＝262＝676，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°.因此，这个零件符合要求．25．解：∵BF＝CF＝8，∠C＝30°，∴∠FBC＝∠C＝30°，∴∠DFB＝60°.由题易知BE与BC关于直线BF对称，∴∠DBF＝∠FBC＝30°，∴∠BDC＝90°.∴DF＝BF＝4，∴BD2＝BF2－DF2＝64－16＝48.∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝BD，∴AB2＝BD2－AD2＝BD2－＝BD2＝×48＝36.∴AB＝6(负值舍去)．26．解：(1)三边长分别为3，4，5的三角形如图①.(2)面积为5的正方形如图②.(3)三边长分别为2，，的三角形如图③.9
27．解：(1)不相等．理由如下：在Rt△AOB中，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，解得OA＝2.4米(负值舍去)，∴OA′＝OA－AA′＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△A′OB′中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝2.52－22＝2.25，解得OB′＝1.5米(负值舍去)，∴BB′＝OB′－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．∵AA′＝0.4米，∴AA′≠BB′.(2)存在．设AA′＝BB′＝x米，则OA′＝OA－AA′＝(2.4－x)米，OB′＝OB＋BB′＝(0.7＋x)米．在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得OA′2＋OB′2＝A′B′2，即(2.4－x)2＋(x＋0.7)2＝2.52，整理，得x2－1.7x＝0.∵x≠0，∴x＝1.7，即AA′＝1.7米时，AA′＝BB′.9
