第一章勾股定理一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，122．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的面积为( )．A．84B．24C．24或84D．84或243．如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB∶BC＝5∶3，则AC的长为( )．A．6B．8C．10D．124．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．35．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )．A．11B．10C．9D．86．若三角形三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形7．一直角三角形两直角边分别为5,12，则这个直角三角形斜边上的高为( )．A．6B．8.5C．D．8．底边上的高为3，且底边长为8的等腰三角形腰长为( )．A．3B．4C．5D．69.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从7\nA处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A．B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于( )．A．2πB．3πC．4πD．8π二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则其底边长为________．12．观察图形后填空．图(1)中正方形A的面积为__________；图(2)中斜边x＝________.13．四根小木棒的长分别为5cm,8cm,12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有________个直角三角形．14．东东想把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm,40cm,50cm的木箱中，他能放进去吗？答：______.(填“能”或“不能”)三、解答题(本大题共6小题，共54分)15．(8分)如图，已知等边△ABC的边长为6cm.(1)求AD的长度；(2)求△ABC的面积．16．(8分)如图，在一块由边长为20cm的方砖铺设的广场上，一只飞来的喜鹊落在A点处，该喜鹊吃完小朋友洒在B，C处的鸟食，最少需要走多远？7\n17．(9分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数)18．(9分)图(1)所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．(2)试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．19．(10分)如图，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m.(1)这个梯子底端离墙有多少米？(2)如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？20．(10分)有一块直角三角形状的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．7\n参考答案1答案：A 点拨：A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．2答案：C 点拨：△ABC为锐角三角形时，S△ABC＝×14×12＝84；△ABC为钝角三角形时，S△ABC＝×4×12＝24.3答案：B 点拨：设AB＝5x，则BC＝3x，由勾股定理可得AC＝4x，所以5x＋3x＋4x＝24，解得x＝2，所以AC＝8.4答案：D 点拨：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．5答案：B 点拨：因为在Rt△ABD中，AD＝＝8，所以在Rt△ACD中，AC＝＝10.6答案：D 点拨：由(a＋b)2－c2＝2ab，得a2＋2ab＋b2－c2＝2ab，即a2＋b2＝c2.因此△ABC为直角三角形．7答案：D 点拨：由勾股定理得斜边长为13，所以5×12＝13h，得h＝.8答案：C 点拨：由等腰三角形的“三线合一”及勾股定理可得腰长为5.9答案：C 点拨：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝1.5π，所以AC＝，故选：C．7\n10答案：A 点拨：因为S1＝，S2＝BC2，所以S1＋S2＝(AC2＋BC2)＝×16＝2π.11答案：6或或 点拨：当底边上的高为4时，底边的长为6；当腰上的高为4，且三角形为锐角三角形时，底边长为；当腰上的高为4，且三角形为钝角三角形时，底边的长为.12答案：36 13 点拨：由勾股定理易得．13答案：1 点拨：边长为5cm,12cm,13cm时，可组成直角三角形．14答案：能 点拨：因为木箱的对角线长为＝cm＞70cm，所以能放进木棒去．15解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴BD＝3(cm)．在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝(cm)．(2)S△ABC＝×BC×AD＝×6×＝(cm2)．16解：AB是4×3方格的对角线．由勾股定理得：AB＝20×＝20×5＝100(cm)．BC是5×12方格的对角线，由勾股定理得BC＝20×＝20×13＝260(cm)．因此最短距离为100＋260＝360(cm)．17解：把半圆柱体展开后，可得下图．由题意可知AD＝πr＝4π(cm)，DE＝20－2＝18(cm)．在Rt△ADE中，AE＝＝≈22(m)．18解：(1)由勾股定理可得最长线段的长为.能画4条，如图所示．7\n(2)∠ABC与∠A′B′C′相等．∵在立体图中，易得∠ABC＝90°，又在平面展开图中，对于△A′B′D和△B′C′E有∴△A′B′D≌△B′C′E(SAS)．∴∠DA′B′＝∠EB′C′.∵∠DA′B′＋∠A′B′E＝90°，∴∠A′B′D＋∠EB′C′＝90°，即∠A′B′C′＝90°.∴∠ABC＝∠A′B′C′.19解：(1)由题意，设云梯为AB，墙根为C，则AB＝25m，AC＝24m，于是BC＝＝7m.故梯子底端离墙有7m.(2)设下滑后云梯为A′B′，则A′C＝24－4＝20(m)．在Rt△A′CB′中，B′C＝＝＝15(m)．∵15－7＝8m，∴梯子不是向后滑动4m，而是向后滑动了8m.20解：依题意，设在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝＝10(m)．(1)如图①，当AD＝AB＝10m时，CD＝＝6(m)．图①7\n∴C△ABD＝10＋10＋12＝32(m)．(2)当AB＝BD＝10m时，CD＝10－6＝4(m)，图②∴AD＝＝(m)．∴C△ABD＝＋10＋10＝(20＋)(m)．(3)当AD＝BD时，设AD＝BD＝xm，CD＝(6－x)m，在Rt△ACD中，CD2＋AC2＝AD2，即(6－x)2＋82＝x2，解得x＝.此时C△ABD＝×2＋10＝(m)．7
