第七章平行线的证明测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（ ）A．①②③B．①②⑤C．①②④⑤D．①②④2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4，则（ ）A．只有①正确B．只有②正确C．①和③正确D．①②③都正确3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，DE∥AB，则∠DEC等于（ ）A．63°B．62°C．55°D．118°4．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）A．150°B．130°C．120°D．100°5．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）23\nA．17°B．34°C．56°D．124°6．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）A．17°B．62°C．63°D．73°7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是（ ）A．∠1+∠2﹣180°B．∠1﹣∠2C．180°+∠1﹣∠2D．180°﹣2∠1+∠28．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（ ）A．30°B．36°C．45°D．54°9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°，则∠AEF的度数为（ ）A．110°B．115°C．120°D．130°10．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（ ）23\nA．由∠1=∠2，得AB∥CDB．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CNC．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CDD．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD二、填空题（每小题3分，共24分）11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 度．12．如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4= ．13．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ．14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB= 度．15．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3= °．23\n16．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）17．如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，GH∥AE，则∠1= °．18．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，这两个角是 ．三、解答题（共66分）19．（10分）直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN． 20．（10分）如图，在△ABC中，∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，求证：∠P=∠A．23\n21．（10分）如图，已知：AB∥DE，∠1+∠3=180°，求证：BC∥EF． 22．（10分）如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．（1）探求∠F与∠B，∠D有何等量关系？（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，求x的值．23．（10分）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．24．（16分）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．23\n23\n参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（ ）A．①②③B．①②⑤C．①②④⑤D．①②④【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义对语句进行判断．【解答】解：钝角大于90°是命题；“两点之间，线段最短”是命题；“明天可能下雨”不是命题；“作AD⊥BC”不是命题；“同旁内角不互补，两直线不平行”是命题．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题，①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4，则（ ）A．只有①正确B．只有②正确C．①和③正确D．①②③都正确【考点】平行线的性质．【分析】利用两直线平行，同位角相等与垂直的定义，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：①正确，∵l1∥l2，∴∠2=∠3，∠1=∠4，∵l3⊥l4，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，23\n∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴只有①正确，故选A．【点评】本题考查了平行线的性质和垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，DE∥AB，则∠DEC等于（ ）A．63°B．62°C．55°D．118°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】由在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A的度数，又由DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣63°=62°，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠A=62°．故选B．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 4．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）A．150°B．130°C．120°D．100°【考点】多边形内角与外角．23\n【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角． 5．如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）A．17°B．34°C．56°D．124°【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠A=34°（两直线平行，同位角相等），∵∠DEC=90°，∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 6．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（ ）A．17°B．62°C．63°D．73°23\n【考点】平行线的性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠C=28°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠AEC=∠A+∠ABC．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=28°，∵∠A=45°，∴∠AEC=∠A+∠ABC=28°+45°=73°，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 7．如图，已知DE∥AB，那么表示∠3的式子是（ ）A．∠1+∠2﹣180°B．∠1﹣∠2C．180°+∠1﹣∠2D．180°﹣2∠1+∠2【考点】平行线的性质．【分析】过点C作CG∥AB，因为AB∥EF，所以CG∥EF，利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等求出∠1+∠BCG=180°，∠3=∠DCG，再利用角之间的和差关系求解．【解答】解：过点C作CG∥AB，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠1+∠BCG=180°，∠3=∠DCG，又∵∠2=∠BCG+∠GCD，∴∠3=∠DCG=∠1+∠2﹣（∠1+∠BCG）=∠1+∠2﹣180°．故选A．23\n【点评】本题主要考查作辅助线构造三条互相平行的直线，然后利用平行线的性质和角的和差关系求解． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE，那么∠A等于（ ）A．30°B．36°C．45°D．54°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析，从而求得∠A的度数．【解答】解：设∠A=x°∵AB=AC，BD=BC∴∠ABC=∠C=∠BDC=90°﹣∠DBC=∠A=x°∵AD=DE=BE∴∠A=∠AED=2∠EBD=2∠EDB∴∠EBD=∵∠ABC=∠C∴90°﹣=x°+∴x=45°即∠A等于45°．故选C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用． 9．如图，把长方形ABCD沿EF对折后，使四边形ABFE与四边形HGFE重合，若∠1=50°23\n，则∠AEF的度数为（ ）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．【解答】解：∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=（180°﹣50°）=×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 10．根据如图与已知条件，指出下列推断错误的是（ ）A．由∠1=∠2，得AB∥CDB．由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN23\nC．由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CDD．由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD【考点】平行线的判定．【分析】根据题意，结合图形，由平行线的判定方法对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、由∠1=∠2，得AB∥CD，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确；B、由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CN，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确；C、因为∠5、∠6、∠3、∠4，不是AB、CD的同位角，不能判定AB∥CD，故选项错误；D、由∠SAB=∠SCD，得AB∥CD，同位角相等两直线平行，符合平行线判定方法，故选项正确．故选C．【点评】本题考查平行线的判定方法．同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行． 二、填空题（每小题3分，共24分）11．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 360 度．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】先根据AB∥CD求出∠BAC+∠ACD的度数，再由CD∥EF求出∠CEF+∠ECD的度数，把两式相加即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°…①，∵CD∥EF，∴∠CEF+∠ECD=180°…②，①+②得，∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°，23\n即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．【点评】此题比较简单，考查的是平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补． 12．如图，a∥b，∠1+∠2=75°，则∠3+∠4= 105° ．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据平行线的性质和等量代换可以求得∠3+∠4=∠5+∠4，所以根据三角形内角和是180°进行解答即可．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠3=∠5．又∠1+∠2=75°，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠5+∠4=105°，∴∠3+∠4=∠5+∠4=105°．故答案是：105°．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理．解题的技巧性在于把求（∠3+∠4）的值转化为求同一三角形内的（∠5+∠4）的值． 13．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= 121° ．【考点】平行线的判定与性质．23\n【专题】计算题．【分析】由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠3，∴AB∥CD，∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，∴∠4=180°﹣59°=121°．故答案为：121°【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 14．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB= 40 度．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可．【解答】解：∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC∵∠ACD=110°∴∠ACB=∠BAC=70°∴∠B=∠40°，∵AE∥BD，23\n∴∠EAB=40°，故答案为40．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题． 15．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3= 65 °．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】由l1∥l2，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由∠1的度数求出∠4的度数，再由对顶角相等，由∠2的度数求出∠5的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠3的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∠1=40°，∴∠1=∠4=40°，又∠2=∠5=75°，∴∠3=180°﹣（∠4+∠5）=65°．故答案为：65【点评】此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 16．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．23\n其中真命题的是 ①②④ ．（填写所有真命题的序号）【考点】命题与定理；平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中． 17．如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，GH∥AE，则∠1= 145 °．【考点】平行线的性质．【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠DFE=∠A=60°，由三角形的外角性质求出∠E，再由平行线的性质得出∠GHC=∠E=35°，由平角的定义即可求出∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE=∠A=60°，∴∠E=∠DFE﹣∠C=60°﹣25°=35°，∵GH∥AE，∴∠GHC=∠E=35°，∴∠1=180°﹣35°=145°；故答案为：145°．23\n【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、平角的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 18．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，这两个角是 42°，138°或10°，10° ．【考点】平行线的性质．【分析】设另一个角为α，则这个角是4α﹣30°，然后根据两边分别平行的两个角相等或互补列式计算即可得解．【解答】解：设另一个角为α，则这个角是4α﹣30°，∵两个角的两边分别平行，∴α+4α﹣30°=180°或α=4α﹣30°，解得α=42°或α=10°，∴4α﹣30°=138°或4α﹣30°=10°，这两个角是42°，138°或10°，10°．故答案为：42°，138°或10°，10°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两边分别平行的两个角相等或互补是解本题的关键． 三、解答题（共66分）19．（10分）直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．【考点】平行线的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据角平分线定义可得∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，再根据∠BEF=∠DFH可得∠MEF=∠NFH，然后根据同位角相等，两直线平行可得EM∥FN．23\n【解答】证明：∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∴∠BEF=2∠MEF，∠DFH=2∠NFH，∵∠BEF=∠DFH，∴∠MEF=∠NFH，∴EM∥FN．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是证明出∠MEF=∠NFH． 20．（10分）如图，在△ABC中，∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，求证：∠P=∠A．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】首先证明∠DCP=∠P+∠CBP，进而证明∠P=β﹣α，β﹣α=，问题即可解决．【解答】解：∵∠B平分线和∠C的外角平分线相交于点P，∴∠ABP=∠CBP（设为α），∠ACP=∠DCP（设为β）∵∠DCP=∠P+∠CBP，∴∠P=β﹣α，而2β=2α+∠A，∴2（β﹣α）=∠A，∴β﹣α=，∴∠P=．【点评】该题以三角形为载体，以三角形的内角和定理、三角形外角的性质为考查的核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 21．（10分）如图，已知：AB∥DE，∠1+∠3=180°，23\n求证：BC∥EF．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由AB与DE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，由已知两个角互补，等量代换得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到BC与EF平行．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BC∥EF．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 22．（10分）如图，BE，CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．（1）探求∠F与∠B，∠D有何等量关系？（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，求x的值．【考点】三角形内角和定理．【分析】（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．（2）设∠B=2α，则∠D=4α．利用（1）中的结论和已知条件来求x的值．23\n【解答】解：（1）∠F=（∠B+∠D）；理由如下：∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，∴∠D+∠1=∠3+∠F①同理，∠2+∠F=∠B+∠4②又∵∠DEA，∠BCA的平分线相交于F∴∠1=∠2，∠3=∠4∴①﹣②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴设∠B=2α，则∠D=4α，∴∠F=（∠B+∠D）=3α，又∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴x=3．【点评】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 23．（10分）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足为D，F，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．【考点】平行线的判定与性质；垂线．【专题】证明题．23\n【分析】先根据垂直的定义得∠ADF=∠EFC=90°，则可判断AD∥EF，根据平行线的性质得∠2=∠DAC，再根据平行线的判定方法，由∠4=∠C可得DG∥AC，则利用平行线的性质得∠1=∠DAC，然后根据等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADF=∠EFC=90°，∴AD∥EF，∴∠2=∠DAC，又∵∠4=∠C，∴DG∥AC，∴∠1=∠DAC，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．也考查了垂线的定义． 24．（16分）已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】探究型．【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【解答】解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，即∠ABE=45°+∠CAB，23\n又∵∠ABE=∠C+∠CAB，∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．23
