第七章平行线的证明7.4平行线的性质\n1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）学习目标\n两直线平行1.同位角相等2.内错角相等3.同旁内角互补问题平行线的判定方法是什么？思考反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?回顾与思考导入新课\n合作探究问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ABCDEFMN12讲授新课平行线的性质知识点1\n问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.文字语言符号语言ABCDEFMN12\n问题3：你能说说证明的思路吗？ABCDEFMNGH12证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？\n一般地，平行线具有如下性质：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.b12ac∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）∵a∥b（已知）应用格式:总结归纳\n议一议利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.尝试来证明一下\n定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2.证明：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠2(等量代换)\n定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补12bc3a已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.证明：∵a∥b(已知)∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∵∠1+∠3=180°(平角等于180°)∴∠1+∠2=180°(等量代换).\n证明：∵a∥b，∴∠1=∠2，同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c.定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且a∥b,c∥b.求证：a∥c.\n平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b,∴∠1+∠2=1800.abc21abc12abc12这里的结论,以后可以直接运用.总结归纳\n归纳总结证明一个命题的一般步骤：(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知,求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.\n典例精析ADCB例1：如图所示，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由：∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵AD∥BC（已知）∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B=∠D（同角的补角相等）同理∠A=∠C.\nADCB例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.证法一：∵AB∥DC（已知）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=∠D（已知）∴∠D+∠C=180°（等量代换）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）\nADCB证法二：如图，延长BA（构造一组同位角）∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠B=∠D（已知）∴∠1=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）1例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.\nADCB证法三：如图，连接BD（构造一组内错角）∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）∵∠B=∠D（已知）∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）∴∠2=∠3∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）1234例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.\n两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质线的关系角的关系性质角的关系线的关系判定讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）平行线的判定与性质\n1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是()B随堂练习\n解:∠A=∠D.理由：∵AB∥DE()∴∠A=_______()∵AC∥DF()∴∠D=______()∴∠A=∠D()2.如图1,若AB∥DE,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.PFCEBAD图１已知∠CPE两直线平行,同位角相等已知∠CPE两直线平行,同位角相等等量代换\n解:∠A+∠D=180o.理由：∵AB∥DE()∴∠A=______()∵AC∥DF()∴∠D+_______=180o()∴∠A+∠D=180o（）如图2,若AB∥DE,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.图2FCEBADP已知∠CPD两直线平行,同位角相等已知∠CPD两直线平行,同旁内角互补等量代换\n3.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)从∠1=110o可以知道∠2是多少度,为什么？(2)从∠1=110o可以知道∠3是多少度,为什么？(3)从∠1=110o可以知道∠4是多少度,为什么？23E14ABDC解：(1)∠2=110o∵两直线行，内错角相等；（2）∠3=110o∵两直线平行,同位角相等；（3）∠4=70o∵两直线平行,同旁内角互补.\n4.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？为什么？解：∠C=142o∵两直线平行,内错角相等.BC\n5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ABCD解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°∠C=180°-∠B=180°-115°=65°\n6.如图，在∆ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.解：因为CE⊥AB，DF⊥AB所以DF//EC所以∠BDF=∠1，∠EDF=∠3因为ED//AC，所以∠3=∠2所以∠EDF=∠2又CE平分∠ACB所以∠1=∠2所以∠BDF=∠EDF.\n同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行判定性质已知得到得到已知课堂小结
