数学活动一、活动导入1.导入课题：老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”.(板书课题)2.活动目标：(1)通过观察点阵(数学模型)，了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.3.活动重、难点：重点：探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.二、活动过程活动1三角形点阵1.活动指导(1)活动内容：三角形点阵.(2)活动时间：10分钟.(3)活动方法：完成活动参考提纲.(4)活动参考提纲：图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个……观察图形，完成下面各题.①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整.②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.由①知前n行的点数和为=300，解得n1=24，n2=-25(舍去)，即行数n为24.③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.前n行的点数和=600,解得n1=,n2=,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？前n行的点数和为=n(n+1)⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.依题意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2=-25(舍去).即n的值为24.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.(2)生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：(1)三角点阵中前n行的点数和的计算公式.(2)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.活动2正六边形点阵1.活动指导(1)活动内容：正六边形点阵.(2)活动时间：8分钟.(3)活动方法：完成活动参考提纲.(4)活动参考提纲：如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推.①填写下表：②写出第n层所对应的点数(n≥2)；6(n-1)③写出n层正六边形点阵的总点数(n≥2)；1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6··(n-1)=1+3n(n-1)④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？1+3n(n-1)=331解得：n1=11，n2=-10(舍去)，它共有11层.⑤点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：A.每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.B.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.C.优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学:(1)师助生:①明了学情：明了学生是否会归纳n层正六边形点阵的总点数.②差异指导：对困难学生在归纳n层正六边形点阵的总点数方面进行指导.(2)生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：(1)n层正六边形点阵总点数的计算公式.(2)运用一元二次方程的知识和n层正六边形点阵总点数的计算公式解决问题的一般过程.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：从学生回答问题、课堂的注意力等方面进行评价.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：本课时是规律探究类问题的学习，解决问题的方法是列一元二次方程，也体现了一元二次方程用途的广泛性.教学思路是以学生自主探究为主，教师引导为辅，让学生成为获取知识的主动者，从而达到让学生在掌握知识技能的同时并会运用的目的.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(50分)1.(30分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.(1)下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；①1=1；②1+2=3；③1+2+3=6；④1+2+3+4=10.(2)通过猜想，写出(1)中与第九个点阵相对应的等式：1+2+3+…+9=45.(3)2015是“三角形数”吗？为什么？解：不是.“三角形数”都可以写成的形式，令2015=，因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形数”.(4)从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.①1=12；②1+3=22；③3+6=32；④6+10=42；⑤10+15=52.(5)通过猜想，写出(4)中与第n个点阵相对应的等式：+=n2.(6)判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？解：是.∵152=225.∴225是“正方形数”.由(5)，+=152，∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.2.(20分)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？解：第n个图形由1+3n(n-1)个圆组成.令1+3n(n-1)=217,解得n1=9,n2=-8(舍去).∴第9个图形由217个圆组成.二、综合应用(20分)3.(20分)如图是一个正五边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.解：前n层共有1+个点.由1+=331,解得n1=12，n2=-11(舍去).令1+=1261,解得n1=n2=.∵n为正整数，∴方程的两根均不合题意.即这个五边形点阵不会存在前n层共有1261个点的情形.三、拓展延伸(30分)4.(30分)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第n个图中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)；(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?解：(2)第n个图共有(n++5n+6)块瓷砖.由n2+5n+6=506.解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20.(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.86×4+420×3=1604(元).共需1604元钱购买瓷砖.(4)不存在.理由如下.在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)化简得n2-3n-6=0.解得n1=,n2=.∵n为正整数，方程的两根均不合题意.∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
