数学活动——旋转与坐标一、活动导入1.导入课题:我们能用坐标表示轴对称变换、平移变换，也能用坐标表示中心对称，那么能不能用坐标表示旋转变换呢？这节课我们探索用坐标表示旋转角为90°的旋转变换.（板书课题）2.学习目标:(1)运用坐标探索中心对称与轴对称的关系.(2)探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.(3)通过活动，培养学生的数形结合和动手操作实践能力.3.学习重、难点:重点：运用坐标探索中心对称与轴对称的关系，探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.难点：探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.二、活动过程活动11.活动指导：（1）自学内容：教材第74页活动1.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成活动参考提纲.（4）自学参考提纲：①在下图中完成课本中的活动1.a.如果A(-3,2)，则B点坐标为(-3,-2)，C点坐标为(3,-2).A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.b.猜想：对于任意点A(x,y)，则B点坐标为(x,-y)，C点坐标为(-x,-y).A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.c.对于任意点A(x,y)，先作A关于y轴的对称点B，再作B点关于x,轴的对称点C，则A，C两点的坐标关系是坐标互为相反数，位置关系是关于原点中心对称.②对于任意点A(x,y)，先以x轴为对称轴作点A关于x轴的对称轴点A1，再以y轴为对称轴作A1于y轴的对称点A2，然后再以x轴为对称轴作A2关于x轴的对称点A3，以y轴为对称轴作A3关于y轴的对称点A4，…，如此继续，得到一系列点A1，A2，…，An，若An与A重合，则n的最小值是多少？能从坐标的角度给予解释吗？n的最小值为4.因为A1与A关于x轴对称，A2与A1关于y轴对称，所以A2与A关于原点对称，同理A4与A2关于原点对称，所以A4与A重合，同理，A8与A重合，A12与A重合，…，所以，当n=4k(k为正整数)时，An与A重合，所以n的最小值为4.③如图，直线l1与l2相交，∠α=60°，点P在∠α内（不在l1、l2上）.小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称轴点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续，得到一系列点P1，P2，…，Pn，若Pn与P重合，则n的最小值是多少？能运用旋转的知识给予解释吗？如图，若Pn与P重合，n的最小值为6，因为P1是由P绕O点逆时针旋转2β得到，P2是由P1绕O点顺时针旋转120°+2β得到，P3是由P2绕O点顺时针旋转120°-2β得到，P4是由P3绕O点顺时针旋转2β得到，P5是由P4绕O点逆时针旋转120°+2β得到，P6是由P5绕O点逆时针旋转120°-2β得到，所以P6最终回到P，n的最小值为6.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会根据点与点的坐标的关系解释点与点的位置关系.②差异指导：对困难学生在用点与点的坐标的关系解释点与点的位置关系方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：作任意点P关于x轴(y轴)的对称点P1，再作所得对称点P1关于y轴(x,轴)的对称点P2，则P与P2关于原点对称.活动21.活动指导:（1）自学范围：教材第74页活动2.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：完成活动参考提纲.（4）自学参考提纲：①探索把点P(x，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标.a.把点P(5，0)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(0，-5)，(-5，0)，(0，5)，(5，0).b.把点P(0，5)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(5，0)，(0，-5)，(-5，0)，(0，5).c.把点P(4，5)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(5，-4)，(-4，-5)，(-5，4)，(4，5).d.猜想：把点P(x，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(y，-x)，(-x，-y)，(-y，x)，(x，y).②仿照上述过程探索把点P(x，y)绕原点分别逆时针旋转90°，180°，270°，360°后的对应点的坐标依次是(-y，x)，(-x，-y)，(y，-x)，(x，y).③已知△ABC中，A(1，2),B(3，1),C(2,5)，请画出把△ABC绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°后的图形.2.自学:学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会画旋转图形.②差异指导：对困难学生在画旋转图形方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：对旋转图形的三要素的认识，会画旋转图形.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.,（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：通过让学生自主探究这两个活动，可开拓学生的思维，加深对本章知识的理解和运用，教学时，可根据实际情况对学生给予适当的指导，重点是培养学生分析问题解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.（20分）在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（A）A.（-4，3）B.（-3，4）C.（3，-4）D.（4，-3）2.（20分）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为(A)A.B.C.D.3.（20分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1，-1)，B(-4，-3),C(-4，-1)．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作的图形.（2）如图，A1(-1，1).二、综合应用（20分）4.（20分）△ABC在方格中的位置如图所示.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为A(2，-1)、B(1，-4),并求出C点的坐标；(2)作出△ABC关于横轴对称的△A1B1C1，再作出△ABC以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△A2B2C2，并写出C1，C2两点的坐标．,解：（1）如图，C（3，-3）.（2）如图，C1(3，3)，C2(-3，3).三、拓展延伸（20分）5.（20分）如图，直线l1与l2相交，α=40°，点P在∠α内（不在l1、l2上）.小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称轴点P1，再以l2为对称轴作P1于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…,如此继续，得到一系列点P1,P2，…，Pn，若Pn与P重合，则n的最小值是多少？能运用旋转的知识给予解释吗？解：根据题意，可作出示意图如图所示：设两直线交点为O，根据旋转的知识可得，作出的一系列点P1，P2，P3，…，Pn都在以O为圆心，OP为半径的圆上.点P1可看成点P绕圆心O逆时针旋转2β得到的.P2可看成P1绕圆心O顺时针旋转2（α+β）即80°+2β得到，此时，点共绕O顺时针旋转80°，P3可看成P2绕圆心O顺时针旋转2（2α+β）即160°+2β得到，此时，点共绕O逆时针旋转80°+2β，P4可看成P3绕圆心O顺时针旋转（240°+2β）得到，此时点共绕O顺时针旋转160°，P5可看成P4绕圆心O逆时针旋转（320°+2β）得到，此时点共绕O逆时针旋转160°+2β，…，依次类推，到P9时，共逆时针旋转320°+2β≠360°，没有回到原来的点P处，所以继续旋转，一直到P18，共顺时针旋转720°，此时回到原来的点P处，则n的最小值为18.
