人教版八年级数学上册期中测试题一、选择题（共15题，每小题3分，共45分）1．（3分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）A．AC=BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD2．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）A．108°B．90°C．72°D．60°3．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A．12B．16C．20D．16或204．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）A．15B．30C．45D．606．（3分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．7．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形8．（3分）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（ ）A．1个B．3个C．5个D．无数个9．（3分）多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）A．7条B．8条C．9条D．10条10．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙11．（3分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）A．①②③B．①②③④C．①②D．①12．（3分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．AC=AFD．CH=HD13．（3分）下列命题正确的是（ ）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等14．（3分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（1，﹣2）15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）A．3对B．4对C．5对D．6对 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）16．（3分）若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将增加 ．17．（3分）如图，由平面上五个点A、B、C、D、E连接而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．18．（3分）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）19．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是 ．20．（3分）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 对全等三角形．21．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ．22．（3分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ．23．（3分）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 ．24．（3分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2016变换后所得的A点坐标是 ．25．（3分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 三、解答题（共7小题，满分45分）26．（6分）作图题：（不写作法，但要保留痕迹）（1）作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）．（2）在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．（3）在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小．27．（4分）已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．28．（6分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．29．（6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．30．（6分）如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．31．（6分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：△BAD≌△CAE．32．（11分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．参考答案与试题解析 一、选择题（共15题，每小题3分，共45分）．（3分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）A．AC=BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；故选：A．2．（3分）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）A．108°B．90°C．72°D．60°【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5，故这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选C．3．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A．12B．16C．20D．16或20【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 4．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】新定义．【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）A．15B．30C．45D．60【考点】角平分线的性质．【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．6．（3分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选A． 7．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B． 8．（3分）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（ ）A．1个B．3个C．5个D．无数个【考点】三角形三边关系．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值．从而确定三角形的个数．【解答】解：c的范围是：2＜c＜8，因而c的值可以是：3、4、5、6、7共5个数，因而由a、b、c为边可组成5个三角形．故选C． 9．（3分）多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）A．7条B．8条C．9条D．10条【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．【分析】多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，即可求得对角线的条数．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3=9条．故选C． 10．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选B． 11．（3分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）A．①②③B．①②③④C．①②D．①【考点】等腰三角形的判定；角平分线的性质．【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A． 12．（3分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．AC=AFD．CH=HD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据角的平分线的性质，得CE=EF，两直线平行，内错角相等，得∠AEF=∠CHE，用AAS判定△ACE≌△AEF，由全等三角形的性质，得∠CEH=∠AEF，用等角对等边判定边相等．【解答】解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选D． 13．（3分）下列命题正确的是（ ）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等【考点】命题与定理．【分析】利用全等三角形的判定定理分别对四个命题进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；B、一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等，错误；C、有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等，错误；D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，错误，故选A． 14．（3分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【考点】坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，∴点A′的坐标为（﹣1，2），∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故选：C． 15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】直角三角形全等的判定．【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵AC=AB，∵∠CAE=∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE=BD，∵AC=AB，∴∠CBE=∠BCD，∵∠BEC=∠CDB=90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE=CD，∴AD=AE，∵AO=AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC=∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB=OC，∵AB=AC，∴CF=BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．共6对，故选D． 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）16．（3分）若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将增加 n×180° ．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，将n边形的边数增加一倍就变成2n边形，2n边形的内角和是（2n﹣2）•180°，据此即可求得增加的度数．【解答】解：∵n边形的内角和是（n﹣2）•180°，∴2n边形的内角和是（2n﹣2）•180°，∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=n×180°．故答案为n×180°． 17．（3分）如图，由平面上五个点A、B、C、D、E连接而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180° ．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】延长CE交AB于F，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BFC=∠A+∠C，∠D+∠DEG=∠EGB，再根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：延长CE交AB于F，∵∠BFC是△ACF的外角，∴∠BFC=∠A+∠C，∵∠EGB是△EDG的外角，∴∠EGB=∠D+∠DEG，∵∠B+∠BFC+∠EGB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 18．（3分）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】要得到△ABC≌△FED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案．【解答】解：AD=FC⇒AC=FD，又AB=EF，加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED；加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED．故答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF． 19．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是 6 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先由线段的比求得CD=6，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离是．【解答】解：∵BC=15，BD：DC=3：2∴CD=6∵∠C=90°AD平分∠BAC∴D到边AB的距离=CD=6．故答案为：6． 20．（3分）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和Rt△AOP≌Rt△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在Rt△AEP与Rt△BFP中，，∴Rt△AEP≌Rt△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3． 21．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= 6或12 ．【考点】全等三角形的性质．【专题】动点型．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．【解答】解：①当AP=CB时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=6；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=12，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，AP=6或12．故答案为：6或12．22．（3分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 9：30 ．【考点】镜面对称．【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【解答】解：由图中可以看出，此时的时间为9：30．故答案为：9：30． 23．（3分）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于 8 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出．【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD=BD，AE=CE∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．△ADE的周长等于8．故填8． 24．（3分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2016变换后所得的A点坐标是 （a，b） ．【考点】坐标与图形变化-对称．【专题】规律型．【分析】观察不难发现，4次变换为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据正好整除可知点A与原来的位置重合，从而得解．【解答】解：由图可知，4次变换为一个循环组依次循环，∵2016÷4=504，∴第2016变换后为第504循环组的第四次变换，变换后点A与原来的点A重合，∵原来点A坐标是（a，b），∴经过第2016变换后所得的A点坐标是（a，b）．故答案为：（a，b）． 25．（3分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 4 个．【考点】轴对称图形．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4． 三、解答题（共7小题，满分45分）26．（6分）作图题：（不写作法，但要保留痕迹）（1）作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）．（2）在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．（3）在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小．【考点】作图-轴对称变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）找出四边形的四个顶点关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出∠HOF的平分线和MN的垂直平分线，交点即为A；（3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线的交点即为点M．【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示；；（2）点A如图2所示；；（3）点M如图3所示．． 27．（4分）已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可．【解答】证明：∵A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b）关于x轴对称，∴，①+②得，3a=﹣3，解得a=﹣1，将a=﹣1代入①得，﹣1+b=﹣2，解得b=﹣1，所以，方程组的解是． 28．（6分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【专题】证明题．【分析】连接AC，AD证得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得∠B=∠E．【解答】证明：连接AC，AD，∵AF是CD的垂直平分线，∴AC=AD．又AB=AE，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS）．∴∠B=∠E． 29．（6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【专题】探究型．【分析】首先根据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质有目的地证明相关的角相等，从而证明直线平行．【解答】解：AB∥CF．证明如下：∵∠AED与∠CEF是对顶角，∴∠AED=∠CEF，在△ADE和△CFE中，∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠A=∠FCE．∴AB∥CF． 30．（6分）如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．【解答】解：PC与PD相等．理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF=90°，∴∠EPC+∠CPF=90°，又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°，∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC=PD． 31．（6分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：△BAD≌△CAE．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定．【分析】直接利用已知得出∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）． 32．（11分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根据∠FCH=60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．人教版八年级数学上册期末测试题（二）一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）A．（x+a）（x+a）B．x2+a2+2axC．（x﹣a）（x﹣a）D．（x+a）a+（x+a）x2．（4分）下列式子变形是因式分解的是（ ）A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）3．（4分）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）A．a=0B．a=1C．a≠﹣1D．a≠04．（4分）化简的结果是（ ）A．x+1B．x﹣1C．﹣xD．x5．（4分）下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（ ）A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤6．（4分）将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）A．2，5，8B．3，4，5C．2，2，4D．1，2，37．（4分）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（ ）A．1B．2C．3D．48．（4分）下列运算中，正确的是（ ）A．（a2）3=a5B．a2•a4=a6C．3a2÷2a=aD．（2a）2=2a29．（4分）若分式的值是零，则x的值是（ ）A．x=﹣2B．x=±3C．2D．x=310．（4分）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（ ）A．x﹣2yB．x+2yC．x﹣2y﹣1D．x﹣2y+1 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分11．（5分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为 ．12．（5分）因式分解：x2﹣4y2= ．13．（5分）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是 ．14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，则a2+b2= ．15．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于 度．16．（5分）如图，把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面积是 （用含m的式子表示） 三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3．18．（4分）解方程：．19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x=3．20．（8分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE．21．（8分）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE．22．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？23．（12分）探究题：（1） 都相等， 都相等的多边形叫做正多边形；（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；（3）正六边形有 条对角线，它的外角和为 度．24．（12分）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）【例】已知实数x满足x+=4，求分式的值．解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值，因为=x+3+=x++3=4+3=7所以=【活学活用】（1）已知实数a满足a+=﹣5，求分式的值；（2）已知实数x满足x+=9，求分式的值．25．（14分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G．求证：BE=CG．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）A．（x+a）（x+a）B．x2+a2+2axC．（x﹣a）（x﹣a）D．（x+a）a+（x+a）x【考点】整式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式．【解答】解：根据图可知，S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2=（x+a）a+（x+a）x故选C． 2．（4分）下列式子变形是因式分解的是（ ）A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）【考点】因式分解的意义．【专题】因式分解．【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．【解答】解：A、x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；C、（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；D、x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故本选项错误．故选B．3．（4分）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）A．a=0B．a=1C．a≠﹣1D．a≠0【考点】分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式有意义的条件进行解答．【解答】解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠﹣1．故选C．4．（4分）化简的结果是（ ）A．x+1B．x﹣1C．﹣xD．x【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．【解答】解：=﹣===x，故选：D． 5．（4分）下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（ ）A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤【考点】负整数指数幂；有理数的混合运算；合并同类项；同底数幂的乘法；零指数幂．【专题】计算题．【分析】分别根据0指数幂、同底数幂的乘法、负整数指数幂、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则对各小题进行逐一计算即可．【解答】解：①当a=0时不成立，故本小题错误；②符合同底数幂的乘法法则，故本小题正确；③2﹣2=，根据负整数指数幂的定义a﹣p=（a≠0，p为正整数），故本小题错误；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0符合有理数混合运算的法则，故本小题正确；⑤x2+x2=2x2，符合合并同类项的法则，本小题正确．故选D． 6．（4分）将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）A．2，5，8B．3，4，5C．2，2，4D．1，2，3【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．【解答】解：A、2+5＜8，不能组成三角形，故此选项错误；B、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确；C、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；故选：B． 7．（4分）下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图，则它们是轴对称图形的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：第一个图形是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形；所以一共有三个轴对称图形．故选C．8．（4分）下列运算中，正确的是（ ）A．（a2）3=a5B．a2•a4=a6C．3a2÷2a=aD．（2a）2=2a2【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题；整式．【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a6，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a，错误；D、原式=4a2，错误，故选B 9．（4分）若分式的值是零，则x的值是（ ）A．x=﹣2B．x=±3C．2D．x=3【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值是零，∴x+2=0，解得：x=﹣2．故选：A． 10．（4分）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（ ）A．x﹣2yB．x+2yC．x﹣2y﹣1D．x﹣2y+1【考点】整式的除法．【专题】计算题；整式．【分析】根据面积除以一边长得到另一边长即可．【解答】解：根据题意得：（x2﹣2xy+x）÷x=x﹣2y+1，故选D 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分11．（5分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为 （﹣3，﹣2） ．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）． 12．（5分）因式分解：x2﹣4y2= （x+2y）（x﹣2y） ．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）． 13．（5分）等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是 10 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为等腰三角形的两边分别为4和2，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当4为底时，其它两边都为2，2、2、4不可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和2，4、4、2可以构成三角形，周长为10，故答案为：10． 14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，则a2+b2= 31 ．【考点】完全平方公式．【专题】计算题；整式．【分析】把a﹣b=5两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=3代入即可求出所求式子的值．【解答】解：把a﹣b=5两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=25，将ab=3代入得：a2+b2=31，故答案为：31 15．（5分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于 90或60 度．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据“特征角”的定义，结合直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：①“特征角”α为90°；②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”，由题意得，x+2x=90°，解得：x=30°，所以，“特征角”是60°，综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°．故答案为：90或60． 16．（5分）如图，把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面积是 3m2+3m+1 （用含m的式子表示）【考点】等边三角形的性质．【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．【解答】解：如图，连接AA1，B1C2，BC1，如图所示：∵把面积为1的等边△ABC的三边分别向外延长m倍，∴△A1AB的面积=△BC2C1的面积=△AB1C2的面积=m×1=m，同理：△A1B1A的面积=△B1C1C2的面积=△A1BC1的面积=m×m=m2，∴△A1B1C1的面积=3m2+3m+1；故答案为：3m2+3m+1． 三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式y，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：4xy2+4x2y+y3=y（4xy+4x2+y2）=y（y+2x）2．18．（4分）解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3，解得x=1，检验：x=1时，x﹣2≠0，∴x=1是原分式方程的解．19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x=3．【考点】分式的化简求值．【分析】先约分化简，再计算括号，最后代入化简即可．【解答】解：原式=[﹣}×=（）×=×=﹣，当x=3时，原式=﹣1 20．（8分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结论．【解答】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，又∵CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD∴△BDE≌△CFD，∴CF=BE． 21．（8分）一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE．【考点】全等三角形的应用．【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，DC=BE，进而可得CE的长，然后可得DC的长度，从而求出BE长．【解答】解：由题意得：∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，AC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∵AD=80cm，∴CE=80cm，∵DE=140cm，∴DC=60cm，∴BE=60cm． 22．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．【分析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数，由等量关系可得方程，再求解即可；（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=800，再求出整数解即可得出答案．【解答】解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：=，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解，则x+40=100，答：篮球和足球的单价各是100元，60元；（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，由题意得：100m+60n=800，整理得：m=8﹣n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=5，②n=10时，m=2；∴有两种方案：①购买篮球5个，购买足球5个；②购买篮球2个，购买足球10个． 23．（12分）探究题：（1） 各个角 都相等， 各条边 都相等的多边形叫做正多边形；（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；（3）正六边形有 9 条对角线，它的外角和为 360 度．【考点】正多边形和圆．【分析】（1）直接用正多边形的定义得出结论即可；（2）用网格线的特征和正六边形的性质，画出图形即可；（3）根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可．【解答】解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；故答案为：各个角；各条边；（2）如图，∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，FA=2，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∵网格是等边三角形的网格，∴∠FAB=2×60°=120°，同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，∴六边形ABCDEFA是正六边形．最大面积为24；（3）正六边形的对角线条数为=9，∵多边形的外角和是360°，∴正六边形的外角和为360°，故答案为：9；360°． 24．（12分）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）【例】已知实数x满足x+=4，求分式的值．解：观察所求式子的特征，因为x≠0，我们可以先求出的倒数的值，因为=x+3+=x++3=4+3=7所以=【活学活用】（1）已知实数a满足a+=﹣5，求分式的值；（2）已知实数x满足x+=9，求分式的值．【考点】分式的值．【专题】阅读型；分式．【分析】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+=﹣5，∴=3a+5+=3（a+）+5=﹣15+5=﹣10；（2）∵x+=9，∴x+1≠0，即x≠﹣1，∴x+1+=10，∵==x+1++3=10+3=13，∴=． 25．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G．求证：BE=CG．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】过点A作AP⊥BC于点P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据ASA证出△BFE≌△GFC即可．【解答】证明：过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°，∵AB=AC，∴∠BAP=∠PAC，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=180°﹣∠CDB=90°，∵∠B+∠BAP=180°﹣∠APB=90°，∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠ECD，∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，∴∠BCE=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°∴∠FEC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=45°，∴∠FEC=∠ECF，∴EF=FC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=∠APC=90°，∴EF∥AP，∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，∵EF⊥BC，∴∠BFE=∠EFC=90°，∵在△BFE和△GFC中，，∴△BFE≌△GFC（ASA），∴BE=CG．
