华东师大版·八年级上册第14章勾股定理1.直角三角形三边的关系\n新课导入你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.\n思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？PQRACBSP+SQ=SR直角三角形ABC三边有什么关系？AC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？\n试一试观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：PQRABC正方形P的面积=______平方厘米；正方形Q的面积=______平方厘米；正方形R的面积=______平方厘米.91625\nPQRABC我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是____________________________.SP+SQ=SR由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是：AC2+BC2=AB2\n做一做画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.5cm12cm13cm\n探究新知概括由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，abc这种关系我们称为勾股定理.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.\n读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.勾股abc股勾弦\n思考：怎样证明勾股定理？左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积=c2.四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和=.即a2+b2=c2.\n做一做用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.\n证明：大正方形的面积=(a+b)2.四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和=.由题可知(a+b)2=2ab+c2，化简可得a2+b2=c2.我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.\ncbac2bbaa＝ccccc2b2a2c2＝a2＋b2\n例1在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC.解：根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2.所以应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.\n（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________.试一试131510或\n例2如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm.求AC的长.解：由已知AB=AC-2，BC=6cm，根据勾股定理可得AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，ABC解得AC=10(cm).\n如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？例3\n解：如图所示，在Rt△ABC中，AC=160米，BC=128米，根据勾股定理，可得答：从点A穿过湖到点B有96米.\n随堂练习1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=24，c=25，求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得.(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得.\n2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到0.1厘米)解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是=5，周长是3+4+5=12(厘米)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为(厘米)，周长是(厘米)，所以此三角形的周长是12厘米或9.6厘米.\n3.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面积与周长.(精确到0.1)解：S大正方形=5×5=25，四个直角三角形的面积之和=1×2×+2×4×+3×3×+2×3×=12.5所以S四边形ABCD=25-12.5=12.5.\n3.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面积与周长.(精确到0.1)C四边形ABCD=AD+DC+BC+AB答：四边形ABCD的面积是12.5，周长约是14.6.\n4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游.按照探宝图(如图)，他们在点A处登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？\nC解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，所以AB==10(千米).答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10千米.\n课堂小结勾股定理定理验证1.求边长、面积，证明线段之间的平方关系2.勾股定理的实际应用应用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方用拼图法验证勾股定理\n课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
