第二章一元二次方程2.6应用一元二次方程（第1课时行程(或动点)问题及平均变化率问题）\n1.掌握列一元二次方程解决数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．学习目标\n1.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3.勾股定理的内容是什么？本节课，我们根据刚才所复习的公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题.导入新课复习引入\nx8m10m(8-x)m6m【解析】由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m；如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m；根据题意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝1026x＋61.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？10m数学化x讲授新课利用一元二次方程解决行程（动点）问题知识点1\n解：设梯子顶端下滑xm，那么滑动后梯子底端距墙（x+6）m.根据题意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝102解得x1=0,x2=2.∵x＞0，∴x=2.答：梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.\nx12m13m(12-x)m【解析】由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m；如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m；根据题意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝1325x＋52.如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？13m数学化x5m\n解：设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙（x+5）m；根据题意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝132解得：x1=0,x2=7.∵x＞0，∴x=7.答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的距离和它相等.\n解题步骤（1）分析题意，找出等量关系，用字母表示问题里的未知数.（2）用字母的代表式表示有关的量.（3）根据等量关系列出方程.（4）解方程，求出未知数的值.（5）检查求得的值是否正确和符合实际情况，并写出答案.归纳总结\n例1：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile处有一目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.东北ABCDF\n(1)小岛D与小岛F相距多少海里?东北ABCDF解：连接DF.∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF=AB，∵AB⊥BC,AB=BC=200nmile,∴DF⊥BC,DF=100nmile.\n东北ABCDF(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？E解:设相遇是补给船航行了xnmile,那么DE=xnmile,AE+BE=2xnmile,EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2.整理得：3x2-1200x+100000=0,解方程得(舍去)\n如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ABCDQP解:设所需时间为ts,根据题意,得2t(6-t)÷2=6×12-64.整理得t2-6t+8=0.解方程,得t1=2,t2=4.答:在第2秒和第4秒是五边形面积是64cm2.(6-t)2t针对练习\n填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤.(1)此时的利润w=_____;(2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=_____.(3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____.100元290180元380240元利用一元二次方程解决平均变化率问题合作探究知识点2\n(4)若售价涨了3元，每斤利润为____元，同时少买了30斤，销售量为____斤，利润w=______.(5)若售价涨了4元，每斤利润为____元，同时少买了40斤，销售量为____斤，利润w=_______.(6)若售价涨了x元，每斤利润为____元，同时少买了____斤，销售量为_______斤，利润w=__________________.451+x7060100-10x10x280元300元(1+x)×(100-10x)元\n涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每涨一元少卖十斤\n涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每涨一元少卖十斤总利润（售价-进价）×销售量=总利润单件利润×销售量=\n填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量\n2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2\n例2前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.注意下降率不可为负，且不大于1.\n练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.\n解后反思答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．问题1药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？\n答：不能.能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．问题2从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?\n问题3你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).\n变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得答：每次降价的百分率为29.3%.\n变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为a元，每次升价的百分率为x，根据题意，得解这个方程，得由于升价的百分率不可能是负数，所以(不合题意，舍去)答：每次升价的百分率为9.5%.\n例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意增长率不可为负，但可以超过1.\n1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B2（1+x)+2(1+x)2=8随堂练习\n3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200（1+x)2=8712（1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,\n能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;\n(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.\n利用一元二次方程解决行程问题列方程步骤：应用类型行程问题平均变化率问题面积问题动点问题审设列解检答课堂小结
