2.4线段、角的轴对称性（2）\n探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动2(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等.\n同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PE，PF，并度量所画PE，PF是否等长？CC\n角平分线上的点到角两边的距离相等．议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？\n已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°.又∵OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).AOCB12PDE你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角两边的距离相等.\n定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言文字语言数学符号语言AOCB12PDE\n∵如图，AD平分∠BAC（已知），∴=，()角平分线上的点到角两边的距离相等.BDCD（×）例题：判断1.ABCD\n∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知），∴=.（）DBDC角平分线上的点到角两边的距离相等不必再证全等2.ABCD\n反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？（前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．思考AOCB12PDE\n已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).∴点P在∠AOB的角平分线上．AOCB12PDE\n判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE这样，我们又可以得到一个结论：\n梦想成真AB思考：要在S区建一个集贸市场.（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺1：20000）SO公路铁路\n例1已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEF证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30.在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10，∴DE=½AD=½×10=5.\n例2已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:BE=CF.ABEDCF证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF(角平分线的性质).在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF（已证），BD=CD（已知），∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF（全等三角形对应边相等）.\n例3已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF.求证:AD是∠BAC的角平分线.ABEDCF证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠CFD=90°.在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,BE=CF（已证），BD=CD（已知），∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE＝DF(全等三角形对应边相等).又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠A的角平分线上，即AD是它的角平分线.\n例4已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求:AD与EF关系.ABEDCF证明:∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF(角平分线的性质)，∠DAE=∠DAF.∵∠DEB=∠CFD=90°，∴∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线.∵DE＝DF,AD是∠EDF的角平分线，∴AD垂直平分EF(三线合一）.\n如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为cm.练习：解:如图,作PF⊥BC于点F.∵PE⊥BA于点E,BD平分∠ABC,∴PF=PE=4cm.\n如图,已知△ABC中,BD=CD,∠1=∠2,求证:AD平分∠BAC.证明:过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,如图.在△BDE和△CDF中,∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.\n1.用尺规作角平分线.2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.本节课你学到了什么？课堂小结
