湘教版九年级上册数学第二章一元二次方程单元测试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.方程x2+ax+7=0和x2−7x−a=0有一个公共根，则a的值是( )A.9B.8C.7D.62.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为【 】A.−1或2B.−1C.2D.03.方程x(x−5)=x−5的根是( )A.x=5B.x=0C.x1=5，x2=0D.x1=5，x2=14.定义新运算“Θ”如下：mΘn=−m2+4m−n，当xΘ2=1时，x的值为( )A.1B.−1C.−1或3D.1或35.若三角形三边的长均能使代数式(x−6)(x−3)的值为零，则此三角形的周长是( )A.9或18B.12或15C.9或15或18D.9或12或156.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.x2+1=0B.x2−2x+1=0C.x2+2x+4=0D.x2−x−3=07.已知关于x的方程x2+(k+3)x+k+2=0，则下列说法正确的是( )A.不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B.至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C.无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D.无论k为何值，方程有两个不相等的实数根8.已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2=0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是( )A.y1=x2+2x和y2=−x−1B.y1=x2+2x和y2=−x+1C.y1=−1x和y2=−x−1D.y1=−1x和y2=−x+1第17页共17页\n1.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程x2−2ax+c2−b2=0有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为( )A.10%B.20%C.90%D.110%3.某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程( )A.150(1−x)×2=96B.150(1−x)2=96C.150(x−1)×2=96D.150(1−x2)=964.对于一元二次方程，古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+2x=34为例，三国时期的数学家赵爽(约公元3−4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x，参考此法，则图中正方形ABCD的面积为( )A.144B.140C.137D.136第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）5.关于x的方程(m2−1)x2+(m+1)x+3=0．(1)当m= 时，是一元一次方程;(2)当m≠ 时，是一元二次方程．6.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为______．7.关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是______．8.《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步．第17页共17页\n三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.如图，在一块长为22m，宽为17m的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路.两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分种上草坪.已知草坪面积为300m2，设道路宽为xm，写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．2.若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则(a+b)200的值是多少？3.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D;以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．(1)若∠A=28∘，求∠ACD的度数．(2)设BC=a，AC=b． ①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗⋅说明理由; ②若AD=EC，求ab的值．4.解方程：(1)(2x+1)2=3(2x+1)；(2)解方程：(3x+2)2−4=0(直接开平方法)；(3)x2−6x+4=0(配方法)；(4)解方程：x2−2x−4=0；(5)阅读下面的解题过程：解方程：(4x−1)2−10(4x−1)+24=0解：把4x−1视为一个整体，设4x−1=y则原方程可化为：y2−10y+24=0解之得：y1=6，y2=4∴4x−1=6或4x−1=4∴x1=74第17页共17页\n，x2=54这种解方程的方法叫换元法．请仿照上例，用换元法解方程：(x−2)2−3(x−2)−10=0．1.阅读下列材料，并回答问题：天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：(1)已知面积是2的正方形的边长是2，且2>1，则设2=1+x(0<x<1)，画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．可列方程为：x2+2x+1=2，∵0<x<1，∴认为x2是个较为接近于0的数，令x2≈0，因此省略x2后，得到方程：2x+1=2，解得，x=______，即2=1+x≈______．(2)仿照上述方法，设5=2+y(0<y<1)，探究5的近似值(精确到0.01)；(请在备用图中标明数据，并写出求解过程．)2.已知关于x的方程x2+2x+k=0总有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)写出一个k的值，并求此时方程的根．3.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0有两个相等的实数根．(1)请判断△ABC的形状；(2)当a=5，b=3时，求一元二次方程的解．4.某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品告价为270元时，每天可售出30第17页共17页\n件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？1.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？第17页共17页\n答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用方程的解法，本题属于中等题型．根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：设该公共根为x=b，由题意可知：b2+ab+7=0，b2−7b−a=0∴(a+7)b+7+a=0∵a+7≠0，∴b=−1∴x=−1代入x2−7x−a=0，a=1+7=8故选：B． 2.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．首先把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0解方程可得m1=2，m2=−1，再结合一元二次方程定义可得m的值．【解答】解：把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0得：m−2+4−m2=0，−m2+m+2=0，解得：m1=2，m2=−1，∵(m−2)x2+4x−m2=0是一元二次方程，∴m−2≠0，∴m≠2，∴m=−1，故选B． 第17页共17页\n3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x(x−5)−(x−5)=0，∴(x−5)(x−1)=0，则x−5=0或x−1=0，解得x=5或x=1，故选：D． 4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义有关知识，利用新定义的运算法则得出方程，然后再解答即可．【解答】解：由题意可得：xΘ2=−x2+4x−2=1，∴x2−4x+3=0(x−3)(x−1)=0解得：x1=3，x2=1．故选D 5.【答案】C 【解析】【分析】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的三边关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．令已知的代数式为0列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，然后分两种情况考虑：当三角形为等腰三角形时，6只能为腰长，求出此时周长；当三角形为等边三角形时，边长可以为3或6，分别求出三角形周长，综上，得到所有满足题意的三角形周长．第17页共17页\n【解答】解：令(x−6)(x−3)=0，可化为：x−6=0或x−3=0，解得：x1=6，x2=3，(i)当三角形为等腰三角形时，三边分别为3，3，6时，不能构成三角形，舍去；三边分别为6，6，3时，三角形的周长为6+6+3=15；(ii)当三角形为等边三角形时，边长为3或6，此时三角形周长为9或18，综上，三角形的周长为9或15或18．故选：C． 6.【答案】D 【解析】解：A.x2+1=0中△=02−4×1×1=−4<0，没有实数根；B.x2−2x+1=0中△=(−2)2−4×1×1=0，有两个相等实数根；C.x2+2x+4=0中△=22−4×1×4=−12<0，没有实数根；D.x2−x−3=0中△=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，有两个不相等的实数根；故选：D．分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．7.【答案】C 【解析】解：关于x的方程x2+(k+3)x+k+2=0，Δ=(k+3)2−4×1×(k+2)=k2+2k+1=(k+1)2≥0，A、当k=−1时，Δ=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1=−1，x2=−k−2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根−1，故此选项正确；D、当k≠−1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．本题考查了根的判别式，计算Δ的值判断方程根的情况是解题的关键．8.【答案】A 第17页共17页\n【解析】解：A.令y1+y2=0，则x2+2x−x−1=0，解得x=−1+52或x=−1−52，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B.令y1+y2=0，则x2+2x−x+1=0，整理得，x2+x+1=0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；C.令y1+y2=0，则−1x−x−1=0，整理得，x2+x+1=0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；D.令y1+y2=0，则−1x−x+1=0，整理得，x2−x+1=0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；故选：A．根据题干信息可知，直接令y1+y2=0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．9.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0，方程有两个不相等的实数根；(2)△=0，方程有两个相等的实数根；(3)△<0，方程没有实数根．由跟的判别式△=(−2b)2−4(a+c)(a−c)=0，整理得b2+c2=a2，由勾股定理逆定理得出△ABC的形状即可．【解答】解：根据题意，得Δ=(−2a)2−4(c2−b2)=0，所以a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形．故选C． 10.【答案】A 【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，则有：70(1−x)2=56.7∴(1−x)2=0.81∴1−x=±0.9∴x1=10%，x2=190%(舍)故选：A．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．第17页共17页\n本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．11.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元二次方程应用的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．设平均每次降价的百分率为x，(1−x)2为两次降价的百分率，150降至96就是方程的平衡条件，列出方程即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则150×(1−x)2=96，故选B． 12.【答案】B 【解析】解：由x2+2x=34得到：(x+1)2=35．所以正方形ABCD的面积=(x+x+2)2=[2(x+1)]2=4×35=140，故选：B．通过解方程求得x的值；然后利用正方形的面积公式得到(x+x+2)2，代入求值即可．本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．13.【答案】1±1 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是一元二次方程，二次项系数等于0且一次项系数不等于0是一元一次方程是解题关键．(1)根据二次项系数等于0且一次项系数不等于0是一元一次方程，可得答案；(2)根据二次项系数不等于0是一元二次方程，可得答案．【解答】解：(1)当m2−1=0且m+1≠0时，即m=1，关于x的方程(m2−1)x2+(m+1)x+3=0为一元一次方程；(2)当m2−1≠0第17页共17页\n时，即m≠±1，关于x的方程(m2−1)x2+(m+1)x+3=0为一元二次方程；故答案为：(1)1；(2)±1． 14.【答案】−3 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，因为k≠0，所以k的值为−3．故答案为−3． 15.【答案】k≥−94且k≠0 【解析】【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．利用判别式，根据不等式即可解决问题；【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥−94，且k≠0，故答案为k≥−94且k≠0． 16.【答案】12 【解析】解：设长为x步，宽为(60−x)步，根据题意，得x(60−x)=864，解得x1=36，x2=24(舍去)．∴当x=36时，60−x=24，∴第17页共17页\n长比宽多：36−24=12(步)，故答案为：12．设长为x步，宽为(60−x)步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．17.【答案】解：根据题意可得(22−x)(17−x)=300，是一元二次方程，374−17x−22x+x2=300，整理可得x2−39x+74=0． 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的定义及一般形式．先根据所设未知数，利用草坪面积可得方程，整理方程，从而得出一般形式．18.【答案】解：设公共根为x0，则x02+ax0+b=0①x02+bx0+a=0②．①−②，得(a−b)(x0−1)=0，当a=b时，两方程完全一样，不合题意；当x0=1时，a+b=−1，则(a+b)200=1．答：(a+b)200的值是1． 【解析】设出公共根x0构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根．本题利用两个方程有公共根建立了方程组来求a，b的关系．19.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°−∠BCD=31°；(2)①由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，∴AD=a2+b2−a，解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=(12b+a)2，整理得，ab=34第17页共17页\n． 【解析】 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．(1)根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；(2)①根据勾股定理求出AD的长，利用求根公式解方程得到方程的根，两者比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可．20.【答案】解：(1)(2x+1)2=3(2x+1)，(2x+1)2−3(2x+1)=0，(2x+1)(2x+1−3)=0，2x+1=0或2x+1−3=0，解得：x1=−12，x2=1；(2)(3x+2)2−4=0，(3x+2)2=4，开方，得3x+2=±2，解得：x1=0，x2=−43；(3)x2−6x+4=0，x2−6x=−4，配方得：x2−6x+9=−4+9，(x−3)2=5，开方得：x−3=±5，解得：x1=3+5，x2=3−5；(4)x2−2x−4=0，x2−2x=4，配方得：x2−2x+1=4+1，(x−1)2=5，开方得：x−1=±5，解得：x1=1+5，x2=1−5；(5)(x−2)2−3(x−2)−10=0，把x−2视为一个整体，设x−2=y，则原方程可化为：y2−3y−10=0，解之得：y1=5，y2=−2，第17页共17页\n∴x−2=5或x−2=−2，∴x1=7，x2=0． 【解析】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用一元二次方程的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等．(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(3)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(4)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(5)设x−2=y，则原方程可化为y2−3y−10=0，求出方程的解，再求出x即可．21.【答案】0.5 1.5 【解析】解：(1)可列方程为：x2+2x+1=2，∵0<x<1，∴认为x2是个较为接近于0的数，令x2≈0，因此省略x2后，得到方程：2x+1=2，解得，x=12=0.5，即2=1+x≈1.5，故答案为：0.5，1.5；(2)如图1所示：设5=2+y(0<y<1)，第17页共17页\n两边平方得：5=4+4y+y2，∵0<y<1，∴认为y2是个较为接近于0的数，令y2≈0，因此省略y2后，得到方程：4y+4=5，解得，y=14=0.25，即5=2+y≈2.25，所以5的近似值是2.25．(1)设方程为x2+2x+1=2，再根据x2接近为0得出2x+1=2，再求出x即可；(2)根据题意画出图形，方程为5=4+4y+y2，根据y2是个较为接近于0的数得出4y+4=5，再求出y即可．本题考查了解一元二次方程，估算一元二次方程的近似值，解一元一次方程，估算无理数的大小等知识点，能得出关于x后关于y的方程是解此题的关键．22.【答案】解：(1)∵方程总有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4k>0，解得k<1，∴k的取值范围是 k<1；(2)当k=0时，方程化为 x2+2x=0，x(x+2)=0，∴x1=0，x2=−2． 【解析】(1)根据根的判别式的意义得到22−4k>0，解不等式即可；(2)当k取0时，方程化为 x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．23.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；(2)∵a=5，b=3，∴c=52−32=4，∴第17页共17页\n方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0可整理为9x2+6x+1=0，解得：x1=x2=13． 【解析】(1)根据方程有两个相等的实数根得出Δ=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；(2)把a=5，b=3代入方程化简，即可求出方程的解．此题考查了根的判别式，勾股定理，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．24.【答案】解：(1)(270−210)×30=1800 (元)．∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．(2)设每件商品应降价x元，由题意，得(270−x−210)(30+3x)=1800×2，解得x1=20，x2=30．∵要更有利于减少库存，∴x=30．答：每件商品应降价30元． 【解析】(1)根据总利润=单件利润×销售数量解答；(2)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120−0.5(x−60)]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x=220时，120−0.5×(220−60)=40<100，∴x=220(不合题意，舍去)；当x=80时，120−0.5×(80−60)=110>100，∴x=80．答：该校共购买了80棵树苗． 第17页共17页\n【解析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120−0.5(x−60)]=8800，进而得出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键第17页共17页
