4.单 摆\n一、单摆的简谐运动1.单摆的定义:忽略悬挂小球细线长度的_________和_____,且线长比球的直径_______的装置.微小变化质量大得多\n2.单摆的回复力:(1)回复力的来源:摆球的重力沿_________方向的分力.(2)回复力的特点:在偏角很小时,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成_____,方向总指向_________,即F=_____.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动.圆弧切线正比平衡位置\n3.摆动特点:单摆的运动是_________.4.单摆的理想化条件:(1)细线的质量和小球相比_________.(2)小球的直径与线的长度相比_________.简谐运动可以忽略可以忽略\n【判一判】(1)制作单摆的细线伸缩性越大越好.()(2)制作单摆的细线不能太长也不能太短,1m左右为宜.()(3)制作单摆的摆球越大越好.()\n提示:(1)×.单摆摆动中摆线长应保持不变,所以制作单摆的细线伸缩性越小越好.(2)√.制作单摆的摆线越长,运动中空气阻力越大;摆线越短,小球直径的影响越大.所以,摆线不宜太长,也不宜太短,1m左右较为合适.(3)×.为减小空气阻力的影响,摆球尽量选质量大、体积小的球.\n二、单摆做简谐运动的周期1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响:(1)探究方法:_________法.(2)实验结论.①单摆振动的周期与摆球的质量_____.②振幅较小时,周期与振幅_____.③摆长越长,周期_____;摆长越短,周期_____.控制变量无关无关越长越短\n2.定量探究单摆的周期与摆长的关系:(1)周期的测量:用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t,利用T=__计算它的周期.(2)摆长的测量:用_______测出细线长度l0,用_________测出小球直径D,利用l=_____求出摆长.(3)数据处理:改变_____,测量不同_____及对应周期,作出T-l、T-l2或T-图像,得出结论.刻度尺游标卡尺摆长摆长\n3.周期公式:(1)公式的提出:周期公式是荷兰物理学家_______首先提出的.(2)公式:T=_____.惠更斯\n【想一想】摆钟的结构如图所示,发现它走时不准时,为什么要调整摆锤下面的螺母?\n提示:调整摆锤下面的螺母,以改变摆钟的摆长,从而改变摆钟的周期,以调整摆钟的走时快慢.\n知识点一 对单摆做简谐运动的理解思考探究:如图是一单摆模型示意图.(1)摆球所受的重力按力的作用效果怎样分解?(2)哪个力提供了摆球做往复运动的回复力?\n提示:(1)可分解为沿径向方向的G2和沿圆弧切线方向的G1两个分力.(2)重力沿圆弧切线方向的分力提供了回复力.\n【归纳总结】1.单摆做简谐运动:如图所示:\n(1)O点为单摆的最低点,即平衡位置.在任意位置P,有向线段为此时的位移x,重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力.\n(2)在摆角很小时,sinθ≈θ≈,mgsinθ=,mgsinθ方向与摆球位移方向相反,所以回复力表示为F=-mgsinθ=-x.令k=,则F=-kx.因此,在摆角θ很小时,单摆做简谐运动.(摆角一般不超过5°)\n2.单摆做简谐运动的规律:(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线.(2)回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化,其变化规律与弹簧振子相同.例如,当摆球到达最低点(平衡位置)时,位移、回复力、水平加速度都等于零,而速度、动能都最大,而到达最高点(最大位移处)时,位移、回复力都最大,速度、动能都等于零.\n【特别提醒】(1)单摆的摆动不一定都是简谐运动,只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才可认为是简谐运动.(2)单摆摆动的回复力不是摆球所受的合外力,而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力.\n【典例示范】图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中()\nA.摆球在A点和C点处,速度为零,合力也为零B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力也为零C.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大D.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大\n【解题探究】(1)单摆振动的回复力是什么力?提示:单摆简谐运动的回复力是摆球所受重力沿切线方向的分力,或者说是摆球所受合力沿切线方向的分力.\n(2)单摆做简谐运动,当摆球运动到平衡位置时,摆球是处于平衡状态吗?提示:不是.简谐运动回复力为零的位置叫平衡位置.当摆球运动到平衡位置时,只有回复力为零,而不是合外力为零,所以摆球运动到平衡位置时不是处于平衡状态.\n【正确解答】选D.摆球在摆动过程中,最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,故A、B错误;在最低点B,速度最大,回复力为零,摆球做圆周运动,绳的拉力最大,合力指向O,故C错误,D正确.\n【过关训练】1.(多选)下列说法正确的是()A.单摆是实际摆的理想化的物理模型B.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力C.在摆角很小时,圆弧可以近似地看成直线D.摆球所受重力越大,其周期越小\n【解析】选A、C.单摆就是一根不可伸缩的没有质量的线下面悬挂一个质点的理想化模型,A对;单摆运动的回复力为重力沿圆弧切线方向的分力,B错;当摆角θ很小时圆弧可以近似看成直线,C对;摆球所受重力大,重力加速度并不一定大,D错.\n2.关于单摆振动的回复力,下列说法正确的是()A.是单摆小球的重力B.是重力和摆线对摆球拉力的合力C.是重力沿切线方向的分力,重力的另一分力小于或等于摆线拉力D.是重力沿切线方向的分力,重力的另一分力与摆线拉力平衡\n【解析】选C.单摆振动的回复力在摆球运动的方向上,所以是重力沿切线方向的分力,选项A、B错误;由于小球做圆周运动,在沿摆线的方向上合力大于或等于零,所以选项C正确,D错误.\n【补偿训练】1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是()A.摆线质量不计B.摆线长度不伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动\n【解析】选A、B、C.单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C正确;但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动,故D错误.\n2.关于单摆摆球在运动过程中的受力情况,下列结论正确的是()A.摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用B.摆球受的回复力最大时,向心力为零;回复力为零时,向心力最大\nC.摆球受的回复力最大时,摆线中的张力大小比摆球的重力大D.摆球受的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球的运动方向\n【解析】选B.单摆在摆动过程中,摆球受重力和绳的拉力,A选项错误;重力垂直于绳的分力提供回复力.当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿绳指向悬点,故选项C、D错误,B正确.\n【误区警示】分析单摆受力的两点注意(1)单摆摆动的回复力不是摆球所受的合外力,而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力.(2)摆球在平衡位置不平衡.摆球经过平衡位置时所受回复力为零,但所受的合外力不为零,合外力提供摆球做圆周运动的向心力,所以此时摆球加速度不为零,处于非平衡状态.\n知识点二 对单摆周期公式的应用思考探究:如图,某同学家中的摆钟慢了,他认为是摆锤过轻造成的,于是他在摆锤上绑了一块金属块.(1)你认为他的做法正确吗?(2)你能帮他校准一下吗?\n提示:(1)不正确,因为单摆的周期与摆锤的轻重无关.(2)可以通过缩短摆长的方法,使单摆的周期减小.\n【归纳总结】1.摆长l:单摆的摆长是从悬点到摆球球心的长度,即l=L+,其中L为摆线长,d为摆球直径.\n2.重力加速度g:若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空间位置决定,即g=,式中R为物体到地心的距离,M为地球的质量,g随所在位置的高度的变化而变化.另外,在不同星球上M和R也是变化的,所以g也不同,g=9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.\n3.等效摆长和等效重力加速度:(1)等效摆长:摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离.如图,甲、乙做垂直于纸面的小角度摆动甲的等效摆长:L甲=lsinα+乙的等效摆长:L乙=lsinα+l+\n(2)等效重力加速度g′:g′还由单摆系统的运动状态决定,单摆处于超重或失重状态,等效重力加速度g′=g+a或g′=g-a,当单摆处于完全失重状态时,g′=0.\n【特别提醒】(1)由单摆周期公式T=2π可知,周期只与l和g有关,而与摆球质量、摆动幅度无关,当l增大时,周期增大,g增大时,周期减小.(2)公式T=2π中,g为等效重力加速度,其大小不仅跟单摆所处的空间位置有关,而且还跟单摆所处的运动状态有关.\n【典例示范】一个摆长为l1的单摆,在地面上做简谐运动,周期为T1,已知地球质量为M1,半径为R1.另一摆长为l2的单摆,在质量为M2,半径为R2的星球表面做简谐运动,周期为T2,若T1=2T2,l1=4l2,M1=4M2,则地球半径与星球半径之比R1∶R2为()A.2∶1B.2∶3C.1∶2D.3∶2\n【解题探究】(1)单摆的周期跟哪些因素有关?提示:跟摆长和重力加速度有关,T=2π.(2)星球表面的重力加速度跟哪些因素有关?提示:跟星球的半径和质量有关,满足黄金代换gR2=GM.\n【正确解答】选A.由T=2π可知两星球的重力加速度之比为1∶1,由黄金代换gR2=GM可知半径之比为2∶1,故选A.\n【过关训练】1.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器,叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供,运动的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动,如图所示,下列说法正确的是()\nA.摆钟不准时需要调整圆盘位置B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移\n【解析】选A、C.调整圆盘位置可改变摆长,从而达到调整摆钟周期的目的,A正确;若摆钟变快,是因为周期变小,应增大摆长即下移圆盘,B错误;由冬季变为夏季,摆杆变长,应上移圆盘,C正确;从广州到北京,g值变大,周期T变小,应增加摆长,使圆盘沿摆杆下移,D错误.\n2.如图所示,房顶上固定一根长2.5m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下,细线下端系了一个小球(可视为质点),打开窗子,让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动,窗上沿到房顶的高度为1.6m,不计空气阻力,g取10m/s2,则小球从最左端运动到最右端的最短时间约为()\nA.0.2πsB.0.4πsC.0.6πsD.0.8πs\n【解析】选B.单摆的周期T=2π,小球绕房顶摆动T1=×2π,到达最低点,接着绕窗上沿摆动T2=×2π,到达最高点,小球从最左端运动到最右端的最短时间为故B正确.\n【补偿训练】1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原来的,则单摆振动的()A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变C.频率改变,振幅改变D.频率改变,振幅不变\n【解析】选B.摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2π,f=,可得单摆振动的频率与摆球的质量和振幅无关,故B正确.\n2.如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使AOB为直角三角形,∠BAO=30°,已知OC线长是l,下端C点系着一个小球,下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动)()\nA.让小球在纸面内振动,周期T=2πB.让小球在垂直纸面内振动,周期T=2πC.让小球在纸面内振动,周期T=2πD.让小球在垂直纸面内振动,周期T=2π\n【解析】选A.让小球在纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为l,周期T=2π;让小球在垂直纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为周期T=\n【规律方法】计算单摆的周期的两种方法(1)依据T=2π,利用了单摆的周期公式,计算的关键是正确确定摆长.(2)根据T=,利用了粗测周期的一种方法,周期的大小虽然不取决于t和N,但利用该种方法计算周期,会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响.\n【拓展例题】考查内容:摆钟问题的分析【典例示范】将在地球上校准的摆钟拿到月球上去,若此钟在月球记录的时间是1h,那么实际上的时间应是______h(月球表面的重力加速度是地球表面的).若要把此摆钟调准,应将摆长L0调节为______.\n【正确解答】设在地球上校准的摆钟周期为T0,指示时间为t0;在月球上的周期为T,指示时间为t.由于指示时间t与振动次数N成正比,即t∝N;一定时间内振动次数N与振动周期T成反比,即N∝;由单摆周期公式可知T∝,由以上推知:t∝,则有所求实际时间为要把它调准,需将摆长调为.答案:
