小学数学讲义秋季三年级第10讲鸡兔同笼教师版

第十讲第十讲鸡兔同笼知识站牌三年级春季三年级秋季简易方程盈亏问题三年级秋季鸡兔同笼二年级寒假神奇的画图法二年级暑假你有几种答案利用假设法解决简单鸡兔同笼问题，同时会解决鸡兔同笼的变形题，培养学生的转换思想漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入“鸡兔同笼问题”是我国古代著名的数学趣题之一。同学们你知道1只鸡有_____条腿，1只兔子有_______条腿吗？1.请填写下面的表格.头数12345鸡腿数兔腿数头数相同时，兔腿是鸡腿的_________倍.2．请填写下面的表格.腿数48121620鸡的数量兔的数量腿数相同时，鸡的数量是兔的数量的________倍.教学目标1.理解鸡兔同笼的“鸡拄拐法”、“金鸡独立法（砍足法）”、“列表法”、“投降法”.2.理解并掌握鸡兔同笼的“假设法”.3.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．教学重点：用假设法来解决鸡兔同笼系列问题.教学难点：如何让绝大部分孩子掌握用假设法来解决这一相关问题.经典精讲一、教学内容：1.一般的鸡兔同笼问题.2.假设法在其它实际问题中的应用.3.涉及多种动物的鸡兔同笼引申问题.2第5级下优秀A版教师版\n第十讲二、鸡兔同笼问题的基本公式1.如果假设全是兔，那么则有鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数—实际脚数）÷（每只兔子脚数—每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数—鸡数2.如果假设全是鸡，那么就有兔数=（实际脚数—每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数—每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数—兔数例题思路模块一：典型题例1：已知头、脚总数模块二：变型题例2：车轮中的鸡兔同笼例3：试卷中鸡兔同笼例4：中国古代僧粥问题例5：九鸟问题例6：已知鸡、兔的头数和，兔比鸡多的脚数例7：已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数例8：多种动物的鸡兔同笼问题例1鸡兔共有35只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【分析】（一）假设法⑴兔子投降法（假设全是鸡）如图，我们让所有兔子举起前腿做投降的动作，那么现在兔子也是像鸡一样两腿着地了，两种动物所有着地的腿为23570（条），兔举起的腿为1007030（条），则兔的数量为30215（只），鸡的数量为351520（只）.第5级下优秀A版教师版3\n⑵鸡拄拐法（假设全是兔）如图，让所有的鸡拄上双拐，那么鸡也变成了四条“腿”，现在两种动物的腿数为435140（条）.而实际腿数为100条，所以双拐的数量为14010040（条），每只鸡用一对双拐，鸡的数量就是40220（只），兔的数量为352015(只).（可以讲得有趣一点，例如兔子都是流氓，叫“流氓兔”，一次心情不好，看到一群鸡，不管三七二十一就把鸡都给打了，所以鸡都拄了双拐.）⑶真正的假设法——脱离图形思维若假设所有的35只动物都是兔子，那么一共应该有435140(条)腿，比实际多算14010040(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有40220(只)鸡被当作了兔子，所以共有20只鸡，有352015(只)兔子．注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．（二）非假设法⑷“金鸡独立”法（砍足法）：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250(条)腿，比头数多503515，所以有15只兔子，另外20只是鸡．⑸面积法如图，面积A代表鸡的腿数，面积B代表兔的腿数，则面积A、B的和为100.最大的长方形面积为435140，那么C的面积为14010040，所以鸡数为40220，兔数为352015.[想想练练]鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？［分析］假设46只都是兔，一共应有446184只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422（只）脚，那么56只脚是我们把56228只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）．【对应学案】【学案1】4第5级下优秀A版教师版\n第十讲【巩固】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？［分析］⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180(条)腿，比实际多算18010080(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45405(只)兔子．注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．⑵“金鸡独立”法（砍足法）：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250(条)腿，比头数多50455，所以有5只兔子，另外40只是鸡．例2在一个停车场上，现有车辆24辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【分析】假设都是三轮摩托车，应有32472(个)轮子，少了867214(个)轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431(个)轮子．汽车有14114(辆)；从而求出三轮摩托车有241410(辆)．或者假设都是汽车，应有42496(个)轮子，多了968610(个)轮子；所以摩托车有10(43)10(辆)．【对应学案】【学案2】第5级下优秀A版教师版5\n一个关于兔子和狼，还有一只鸡和一只狗的故事小白说：“妈妈，我困了，讲个故事给我听”“好的，小宝贝儿，想听什么故事?”我问道。“那就讲个兔子和狼还有一只鸡和一只狗的故事给我听吧。”我说好的。于是就有了以下的故事：从前有一只鸡住在农场里，有一天鸡出去散步，遇见了一只狼。于是狼就追着鸡打算吃了它。鸡吓得飞快的跑，跑啊跑就遇见了兔子。狼看见兔子之后觉得兔子可能更好吃，于是它就放弃了那只鸡去追兔子了。鸡逃脱了之后，赶紧跑回了农庄，她找到了狗，并且告诉狗，兔子现在很危险，因为一只狼在追它。狗听了之后很冷静的告诉鸡，让她赶紧去通知其它的狗。自己先往狼和兔子的方向赶去。终于在狼快要抓到兔子的时候赶到了。并且和狼打了起来。就在狗快要打不过狼的时候，收到鸡通知的其它的狗赶来了。大家一起打败了狼，救下了兔子。例3学校宿舍楼一共有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168名学生，那么其中有多少间大宿舍、多少间小宿舍呢？［分析］这种类型的题目其实是“鸡兔同笼”问题的变形，我们可以这样理解：“一只鸡”有“4只脚”，“一只兔子”有“6只脚”，鸡兔加起来一共是“30个头，168只脚”，那么鸡兔各有多少只？假设30间都是大宿舍，那么能住：630180（人），比实际多住：18016812（人），说明有一部分学生是住在小宿舍的．如果用一个小宿舍换一个大宿舍，那么就会多住：642（人），现在一共多住了12人，所以一共有小宿舍：1226（间），大宿舍：30624（间）．【对应学案】【学案3】6第5级下优秀A版教师版\n第十讲例4小松鼠采松果，晴天每天可以采10个，雨天每天只能采6个．它一连几天采了80个松果，平均每天采8个．那么其中有几天是雨天呢？［分析］小松鼠一共采了80810（天），假设每天都是晴天，那么一共可以采1010100（个），而实际上少采了1008020（个），少1天晴天，就少采1064（个），所以一共有雨天：2045（天）．[想想练练]松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个．它一连几天采了112个松果，平均每天采14个．问这几天中有几个雨天？［分析］首先要根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算．因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112148（天）．假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果208160（个），比实际采的多了16011248（个），因雨天比晴天少采20128（个），所以共有雨天4886（天）．例5东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣3分.刘钢得了60分，问他做对了几道题？【分析】这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分520100（分），但他实际上只得60分，少了1006040（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣3分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少538（分）．40分中含有多少个8，就是刘钢没做或做错多少道题．所以，刘钢没做或做错题为4085（道），做对题为20515（道）．[想想练练]工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？［分析］本例中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一只完好的花瓶与损坏1只花瓶相差10020120元，即损1只花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250只花瓶都完好，这样可得运费202505000(元)．这样比实际多得50004400600(元)．就是因为有损坏的瓶子，损坏1只花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少只花瓶．根据以上分析，可得(202504400)(10020)5(只).【对应学案】【学案4】第5级下优秀A版教师版7\n犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？【分析】虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”．假设26只都是孔雀，那么就有脚：26252（只），比实际的少：805228（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：422（只）．所以，孔雀有2628212（只），犀牛和羚羊总共有261214（只）．假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14114（只），比实际的少：20146（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：211（只），所以，羚羊的只数：616（只），犀牛的只数：1468（只）．杯赛提高100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160(个)．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312(个)，因为160280，故小和尚有80人，大和尚有1008020(人)．同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试．附加题1.（2011年迎春杯中年级复赛）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗.已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿.在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一只小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上一共有21个头，73条腿，那么这时共有______只小怪兽.【分析】战场上共有20个怪兽头，71条怪兽腿.每一次分身，小怪兽的只数会增加1，怪兽头不会增加，小怪兽的腿会增加6257条.原有20210只小怪兽，10550条怪兽腿，增加了715021条腿.那么一共发生了2173次分身，这时共有10313只小怪兽.8第5级下优秀A版教师版\n第十讲2.箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？【分析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿的红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即33211(只)．但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了4267(次)．所以可以知道原来有红球71553158(只)．3.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？【分析】假设全是三等奖，共有：950050190（人）中奖，比实际多：19010090（人），10005020，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了20119（人）；250505，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：514（人）。因为多出的是90人，而90192134.即要使总人数为100，只需要把20240个三等奖换成2个一等奖，把51365个三等奖换成13个二等奖就可以了.所以，二等奖有13个人.知识点总结鸡兔同笼问题的基本公式1.如果假设全是兔，那么则有鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数—实际脚数）÷（每只兔子脚数—每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数—鸡数2.如果假设全是鸡，那么就有兔数=（实际脚数—每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数—每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数—兔数家庭作业1.一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，你知道鸡和兔子各有几只吗？【分析】假设全为鸡，一共有10×2条腿，少26-10×2条腿。兔：（26-10×2）÷（4-2）=3（只）鸡：10-3=7（只）第5级下优秀A版教师版9\n2.老虎和鸡共l0只，脚共26只．鸡多少只？［分析］这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有4只腿，每只鸡有2只腿。假设10只都是鸡，那么老虎的只数是：（26－2×10）÷（4-2）=3只，鸡有10-3=7（只）。3.停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，其中每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3个轮子，所有自行车和三轮车一共有56个轮子。请问：有多少辆自行车？有多少辆三轮车？【分析】假设全是三轮车，有24×3个轮子，多出了24×3-56个轮子。一共有自行车：（24×3-56）÷（3-2）=16（辆）三轮车有：24-16=8（辆）4.理想小学150名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男教师2人一组，女教师3人一组。结果共分了62组，恰好分完。请问：女教师有多少人，男教师有多少人？【分析】假设每组全为男老师，一共有62×2人，少了150-6×2人女老师共有（150-62×2）÷（3-2）=26（组），26×3=78（人）男老师有：（62-26）×2=72（人）5.三(1)班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，则飞行棋和跳棋各有几副？【分析】假设只有飞行棋，那么一共有14456（名）同学参与活动，多出564016（名）同学，多一副象棋，就会少422（名）同学，可知一共有1628（副）象棋，1486（副）飞行棋．6.某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？【分析】做错(52079)(52)3(道)，因此，做对的20317(道)．学案【学案1】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？［分析］方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，剩下的就是兔子头数，473512(只)，所以有12只兔子，有351223(只)鸡．方法二：假设35只都是兔子，那么就有354140(只)脚，比94只脚多了1409446(只)．每只鸡比兔子少422(只)脚，那么共有鸡46223(只)方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570(只)，比94只脚少了947024(只)10第5级下优秀A版教师版\n第十讲脚，每只鸡比兔子少422(只)脚，那么共有兔子24212(只)．方法一可以归结为：总脚数2总头数兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2，而且4是2的2倍．方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式：兔数(总脚数鸡脚数总头数)(兔脚数鸡脚数)【学案2】钱大叔买了小布老虎和大布老虎共18只，共用了210元，其中小布老虎每件10元，大布老虎每件15元，问：钱大叔买了小布老虎和大布老虎各多少只？［分析］假设买的都是大布老虎，那么小布老虎的数量为：(1518210)(1510)12（只），【学案3】王老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？［分析］假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐61060（人）．假设后的总人数比实际人数多了60(411)18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人．一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把1829（条）小船当成大船．所以有9条小船，1条大船．【学案4】乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶？［分析］假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1100100(元)．实际上只得到92元，少得100928(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失112(元)．因此共打破花瓶824(只)．第5级下优秀A版教师版11