2014年1月寒假班教师版讲义（四年级尖子班）\n第一讲第一讲小数巧算知识站牌四年级春季四年级寒假整数与数列第五种运算四年级寒假小数巧算四年级秋季小数的计算四年级秋季多位数计算通过小数点移位制造公因数；提取公因数；换元法漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。下面就让我们一起感受一下巧算的魅力吧！教学目标1.掌握加减法中的凑整法.2.掌握乘除法中的凑整法，如特殊数凑整，提取公因数等重要的方法.3.掌握换元法中的构造元和换元，从而使复杂的问题简单化.经典精讲1.加减法中的凑整法加减法的速算与巧算中主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千．．．的数，再将各组的结果求和（差）．主要涉及的几种计算方法：(1)分组凑整法(2)加补凑整法(3)基准数法（4）位值原理法．2.乘除法中的凑整法在乘除法当中，我们首先要熟练地掌握乘除运算定律、性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件、选用合理、灵活的计算方法.涉及到的常用的几种计算方法：(1)拆并法(2)特殊数的速算(3)提取公因数3.换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。知识点回顾1.0.72+0.28=8.24+3.76=4.59-3.82=1-0.03=2第8级上优秀A版教师版\n第一讲0.57+0.98=3.28+5.72=4.35-3.35=0.8-0.55=【分析】0.72+0.28=18.24+3.76=124.59-3.82=0.771-0.03=0.970.57+0.98=1.553.28+5.72=94.35-3.35=10.8-0.55=0.252.1.97+4.7+1.3=11.62-7.85-1.62=【分析】1.97+4.7+1.3=7.9711.62-7.85-1.62=2.153.0.75×1.2×5=3.8×7.1×10=7.25÷1.25÷8=40.5÷0.81×0.18=【分析】0.75×1.2×5=4.53.8×7.1×10=269.87.25÷1.25÷8=0.72540.5÷0.81×0.18=9.模块一同级运算中的巧算例1（1）112.532.82.216.5【分析】原式=112.516.5（）（32.82.2）12935164（2）1.99619.97199.8【分析】原式(20.004)(200.03)(2000.2)(220200)(0.0040.030.2)221.766（3）1.13.35.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19．【分析】原式5.5515.155（5.515.15）520.565103.25例2（1）45.729.250.750.320.68【分析】原式45.7(29.250.75)(0.320.68)45.730114.7（2）15.462.463.472.780.473.78【分析】原式15.462.463.472.780.473.78(15.462.46)(3.470.47)(3.782.78)1331第8级上优秀A版教师版3\n17例3（1）0.125320.25【分析】原式0.125840.25111（2）571.11.36.57.7【分析】原式(51.3)6.5(71.1)7.71【想想练练】（1）2.1257.532【分析】原式2.12587.541730510（2）31.561.34.57.8【分析】原式1“0”是怎样诞生的“0”是数学中最有用的符号之一，但“0”的发明要比其他数字晚得多。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用“0”；中国古代用算筹运算时，怕定位发生错误，开始用口代表空位，为书写方便逐渐写成O。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。“0”的涵义是丰富的，它不但可以表示没有，也可以表示有。广播电台、电视台里报告气温是0度，并不是指没有温度，而是相当于水结成冰的温度。“0”还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9、8、7、6、5、4、3、2、1、0——发射”。“0”还可以表示精确度。如在近似的计算中，7.5与7.50表示精确程度不同，7.50更加精确模块二提取公因数例4（1）3.42.770.233.4【分析】原式3.4(2.770.23)3.4310.2（2）7.546.752.37.57.5【分析】7.5×（46.7+52.3+1）=7504第8级上优秀A版教师版\n第一讲（3）2.341.22.348.8【分析】原式2.34(1.28.8)2.341092（4）20.1331.52.013317201.33.68【分析】原式2.0133152.0133172.0133682.0133153173682.01310002013【想想练练】（1）200.920.08200.820.07【分析】原式200.920.0820.08200.720.08(200.9200.7)20.080.24.016（2）9.810.10.598.10.049981【分析】原式9.810.154.99.811098.1模块三特殊方法例530.1230.2340.345910.1230.2340.345420.1230.2340.3455【分析】设1+0.123+0.234+0.345=a原式=a29a4a15=13德克萨斯州的牲口贩子德克萨斯州的三个贩子在公路上碰头，打算进行下述的物物交换。汉克对吉姆说：“我用6头猪换你1匹马，那么你的牲口数将是我所有牲口数的2倍。”杜克对汉克说：“我用14只羊换你1匹马，那么你的牲口数将是我的3倍。”吉姆对杜克说：“我用4头牛换你1匹马，那么你的牲口数将是我的6倍。”了解了这些有趣的事实之后，你能不能说出他们三人各有多少头牲口？答案：汉克有11头牲口，吉姆有7头，杜克21头，共有牲口39头。第8级上优秀A版教师版5\n杯赛提高(10.450.56)(0.450.560.67)(10.450.560.67)(0.450.56)【分析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a0.450.56，b0.450.560.67，有原式(1a)b(1b)ababaabba0.67知识点总结1.加减法中的凑整法加减法的速算与巧算中主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千．．．的数，再将各组的结果求和（差）．主要涉及的几种计算方法：(1)分组凑整法(2)加补凑整法(3)基准数法（4）位值原理法．2.乘除法中的凑整法在乘除法当中，我们首先要熟练地掌握乘除运算定律、性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件、选用合理、灵活的计算方法.涉及到的常用的几种计算方法：(1)拆并法(2)特殊数的速算(3)提取公因数3.换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。家庭作业1.111.715.124.8832.3【分析】原式111.715.124.8832.3(111.732.3)(15.124.88)144201642.13730.6725.3311.3228.68【分析】原式137(30.6725.33)(11.3228.68)6第8级上优秀A版教师版\n第一讲1375640413.0.50.250.125128【分析】原式0.520.2540.1258224.15.75.6615.74.34【分析】原式15.7(5.664.34)1575.50.1362.55.013317501.30.58【分析】原式50.1362.550.1331.750.135.850.1362.531.75.850.1310050136.(7.886.775.663.2216)9(7.886.775.663.2210)9【分析】设a7.886.775.663.2210原式=（aa+6）9954第8级上优秀A版教师版7\n第二讲第二讲格点与割补知识站牌四年级春季四年级春季平移、旋转与对称等积变形四年级寒假格点与割补四年级秋季图形的分割与剪拼四年级暑假三角形进阶熟练运用毕克公式解一些格点问题；熟悉图形的割补技巧漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入数年前，国外某次数学会议的主办者，为了增添地方特色，特地邀请了当地的一位林业官员，向与会者介绍一系列有关数学知识应用在森林工业中的突出例子.其中的一个，就是关于如何由森林巡航车从树木的位置确定的地域范围来计算含在其中的多边形的面积.其具体方法是用一张画有由树木构成的点阵的透明薄膜覆盖在多边形地域图上，再根据多边形边界上点数的一半加上多边形内部的点数，从而得出多边形的面积.虽然这位官员并末意识到他基本上（稍有误差）在使用十分L完美、实用的毕克定理：一个简单的格点多边形的面积SN1，其中N与L分别表示这个多2边形内部与边界上的格点数.这个定理的发现者乔治·亚历山大·毕克（GeorgAlexanderPick），1859年生于奥地利首都维也纳，1943年死于Theresienstadt集中营.他为格点几何与微分几何做出了卓越的贡献.毕克定理发表于1899年，并通过波兰数学家史坦因豪斯（Steinhaus’）撰写的一本佳作中传遍世界.教学目标1.了解格点多边形及其面积求法，了解毕克定理.2.熟练掌握“割补”方法在几何中的运用.经典精讲本讲的重点是学习格点图形的面积计算；了解通过观察找出规律的归纳思想；和图形分割思想．生活中我们常借助一些工具来迅速简便地解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网.同样在数学的学习中，为了更好地解决问题人们也创造了一些“工具”．先来介绍什么是“格点”和“格点多边形”．见下图：这是一张由水平线和竖直线组成的方格纸，我们把水平线和竖直线的交点称为“格点”，水平线和竖直线围成的每个小正方形称为“面积单位”．图中带阴影的小方格就是一个面积单位．而“格点多边形”就是以格点为顶点而各边不相交叉且均为直线段的多边形.EADBC借助格点图，我们可以很快地比较或计算图形的面积大小．利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是2第8级上优秀A版教师版\n第二讲将某些图形转化成长方形的面积来求．当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！首先，请判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形.知识点回顾1、如图是一块钉子板，4个相邻点组成的小正方形的面积为1，请大家在钉子板上画出（形状相同，方向不同的为同一种）：（1）面积为2的正方形（2）面积为2的长方形（3）面积为1的直角三角形（4）面积为2的直角梯形【分析】2、观察下列各图（图中每行每列两点间的距离都是1），完成下表.说说你有什么发现？⑴⑵⑶⑷⑸⑹第8级上优秀A版教师版3\n图形边上的点内部的点面积正方形长方形三角形平行四边形直角梯形梯形【分析】图形边上的点内部的点面积正方形16916长方形16815三角形8710平行四边形121015直角梯形12712梯形121318老师可以在此引出正方形格点多边形的公式.模块一正方形格点例1图中相邻两个格点的距离都是1，请你求出图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少?【分析】方法一：数所求图形中共包含了几个面积是1的小正方形．“喇叭”=3；“小猫”=11；“小狗”=5.5.方法二（割补法）：我们已经会求任意放置的长方形、三角形、平行四边形、梯形的面积.通过观察可以发现“喇叭”、“猫”、“狗”都不外乎是由这几种图形组合而成的，因此可用虚线把它们分割成这几种图形进行求解．如图：“喇叭”=20.523“小猫”=(41)(92)111“小狗”=131.55.5方法三（毕克定理）：当多边形较复杂时，用割补求面积会比较琐碎且易出错．而在格点图中，格点的个数是比较容易数出来的，那么格点多边形所含的格点数与其面积有没有内在的联系呢？（如果找到了这种联系，就可以通过计算格点数去求它的面积了.）统计一下上面做过的几道题目，我们总是用nb,和S分别表示格点多边形内部、边上的格点数和面积.见下表.4第8级上优秀A版教师版\n第二讲图形内部点n边上点b面积S喇叭083小猫22011小狗0135.5通过找规律我们能发现，格点多边形的面积=内部点数+边上点数÷2-1，那么，是否所有的格点多边形都具有这样的关系呢？是的，这正是传说中的毕克定理！利用毕克定理再求格点多边形的面积就容易多了．毕克定理正方形格点多边形面积公式：若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，L则它的面积为SN1．2注：毕克定理中设边上点数为L，其实不如咱们设b直观：内→n；边→b例2图中相邻两个格点的距离都是1，计算这个格点多边形的面积．IIIIII(a)(b)(c)【分析】方法一(扩展法)：这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法．这个三角形是处在长是6、宽是4的长方形内，除它之外还有其它三个直角三角形，如图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用长方形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．长方形面积：6424；直角三角形Ⅰ的面积：6226；直角三角形Ⅱ的面积：4224；直角三角形Ⅲ的面积：4224；所求三角形的面积：24（644）10．方法二(割补法)：将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210．【想想练练】图中相邻两个格点的距离都是1，分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【分析】利用“扩展法”或者“割补法”我们都可以简单的得到⑴、⑵的面积分别为9和10第8级上优秀A版教师版5\n最美最巧妙的比例——黄金分割把一条线段分为较长与较短两段，使之符合较短线段比较长线段等于较长线段比整条线段，这个比值为0.618.这0.618正是最美最巧妙的比例，人们称之为黄金分割.法国的巴黎圣母院，中国故宫的构图都融入了黄金分割的匠心；著名的维纳斯雕像中的一些长度比值也采用0.618.树木的一枝上各叶片按螺旋形上升的距离刚好按黄金分割排列，因为在这种排列下叶片的受光效果最好.一般人的人体以肚脐为界，肚脐上下部分的长度比值为0.618:1或者与此相近，这是人体结构的最优数.此外人体结构还有三个黄金分割点：上肢的分割点在肘关节，肚脐以下部分的分割点在膝盖，肚脐以上部分的分割点在咽喉.例3如图是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为1，请求出图形的面积．【提示】计算难点在于如何求出上面两个三角形的面积，教师可继续带领学生熟悉扩展法和割补法的应用，就这道题而言，两个三角形内部格点较少，扩展法是比较好用的，若碰到内部格点较多的图形，割补法可能更好用些．【分析】对两个三角形进行拓展计算：左边三角形的面积=441224324225右边三角形的面积=441322442114长方形的面积为6212所以礼盒面积为：541221【想想练练】图中相邻两个格点的距离都是1，求格点中“乡村小屋”的面积是多少？【分析】图形内部格点数n9；图形边界上的格点数b20；根据毕克定理，则Snb2118(单位面积)．6第8级上优秀A版教师版\n第二讲模块二三角形格点所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．例4如图，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，试求下面图形的面积？(1)(2)(3)DDAEA(1)C(2)BC(3)B【分析】图(1)：一共有小的平行四边形8个，每个小四边形的面积是2，则图1面积为16.图(2)：三角形ABC的面积=四边形ABCD面积的一半=1628图(3)：三角形ABC的面积=四边形BCDE的面积的一半=1628关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图L形内包含的格点数，L表示图形边界上的格点数，那么有SN(1)2.2显然，三角形毕克定理=正方形毕克定理2例5图中有21个点，其中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，试计算四边形的面积．【分析】方法一（分割法）：第8级上优秀A版教师版7\n如图所示，将原四边形分割成两个三角形ABC和ABD．图中可见，ABC和基础三角形CEF高相等，底是4倍关系，从而ABC面积为4；同理，ABD的底为基础三角形4倍，高为基础三角形2倍，从而ABD面积为8．因此四边形ACBD的面积为4812．ACEFDB方法二(三角形格点的毕克定理)：三角形格点面积的计算，不论是拓展还是割补，其计算都是比较痛苦的，因此我们更有必要研究出类似正方形格点毕克定理的规律来．依然建议将边上的格点数用b来表示更明确．本题中，内部格点数n5，边上格点数b4，所以S(5421)212．【想想练练】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为1的等边三角形)．⑴⑵【分析】⑴∵n7；b7，∴S(7721)219；⑵∵n8；b5，∴S(8521)219；你和两个陌生人呈一个等边三角形站着（也就是你们任意两个人之间的距离都是相等的）！你们三个谁也不认识谁，你们每人手上有一把相同的手枪，你枪法最差，三枪里只能命中一枪，另外两人中，白衣人三枪里能够命中两枪，黑衣人是百发百中的神枪手，现在你们三人轮流开枪，你先开一枪，然后是白衣人，然后是黑衣人，然后又是你（如果你还活着的话）．请问你要怎么做活下来的机会会更大？【答案】：第一枪朝天开8第8级上优秀A版教师版\n第二讲杯赛提高把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知下图(1)中阴影部分的面积是294平方分米，那么，图(2)中的阴影部分的面积是多少平方分米？(2)(1)【分析】图(1)中三角形个数等于(19)5225个，阴影部分三角形个数是12，从而求出原三角形面积2941225612.5（平方分米），图（2）中三角形个数等于(113)7249，阴影部分三角形个数是16，从而求出阴影部分三角形面积612.54916200（平方分米）知识点总结毕克定理：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形边界上的格点数，L正方形格点：SN12L三角形格点：SN(1)22显然，三角形毕克定理=正方形毕克定理2方法：图形内部点较少时一般运用扩展法，内部点较多的用割补法家庭作业1.计算图中各多边形的面积：【分析】从左往右的面积分别为：568457、、、、、．第8级上优秀A版教师版9\n2.下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【分析】方法一：可以直接数正方形个数.和为8.5117.527.方法二：要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．“7”所占的面积为：215218.5；“2”所占的面积为：242111；“1”所占的面积为：17217.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527．3.图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积．【分析】第一个图可分割为4个三角形和中间一个田字格，其面积=(244)448平方厘米．第二个图从中间竖着一刀能分成两个三角形，其面积=(342322)436平方厘米．4.每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【分析】根据毕克定理，内部格点数n4，边上格点数b7，因此面积47216.5平方厘米．5.求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”是面积为1的等边三角形)．（1⑶）（2⑷）【分析】（1）∵n7；b6，∴S(7621)218；（2）∵n8；b7，∴S(8721)221．10第8级上优秀A版教师版\n第二讲6.如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．ACB【分析】因为内部格点n5，边上格点b3，所以S(5321)211．第8级上优秀A版教师版11\n第三讲第三讲数表—从日历谈起知识站牌六年级春季五年级寒假数列数表模块选讲数表-从杨辉三角四年级寒假谈起数表-从日历谈起四年级暑假等差数列进阶三年级春季等差数列初步与日历有关的长方形正方形数表问题；归纳思想漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入从前，有两家人是邻居，王家卖油，李家卖日历.王家媳妇每天在丈夫出门卖油前都会偷偷留下一钱油，到年底的时候，就攒了满满一罐油，卖掉它，就有了买年货的钱.李家媳妇看了，非常羡慕，于是也学着王家媳妇的样子，每天偷偷留下一本日历，可到了年底，这些攒下来的日历却再也没有人买了.教学目标1.研究“日历型”数表的特点（长方形数表）.2.熟练掌握周期法、递推法在长方形数表中的应用.经典精讲数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先，数表具有数列的一般特征，即各项与其项数之间具有特定的对应关系，可以用通项公式或递推关系表示出来；其次，数表又不等同于普通数列，由于具有一定的形状，因此各项必须受其所在位置的限制，这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有：1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先就是找规律问题，这需要观察出突破口；2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来；3.周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某些求某数在第几行第几列的问题；4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系；5.整体及动态分析；6.利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等；7.结合奇偶分析或整除分析等.知识点回顾1、小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数吗？（1）3、4、5、6、……、76、77、78（2）2、4、6、8、……、96、98、100（3）1、3、5、7、……、87、89、91（4）4、7、10、13、……、40、43、462第8级上优秀A版教师版\n第三讲【分析】（1）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……项，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项．对于连续的自然数列，它们的项数是：末项－首项+1．（2）如果添上此数列所缺的一些奇数，就变成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100，可知这个数列是100项．让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，同学们一看就知道，共有100250组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了．这样的方法我们称为“添数配组法”．（3）利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1～92有92项，每组2项，那么可以得到92246组，所以原数列有46项．（4）利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意每两项的差是3，那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145项，每组3个数，所以共45315组，原数列有15项．当然，我们还可以有其他的配组方法．2、有一数列：1、2、4、7、11、16、……这列数列第25个数是．【分析】11234243013、按规律填写数：1，4，9，16，，36，．【分析】法一：找规律，按3，5，7，9，11…的规律相加，故16925，361349．法二：从平方数的角度来看.模块一：常规的长方形数表：例1观察如下日历：日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）若设一个横行上相邻的三个日期中间的日期为a，那么左右两边的日期分别是什么？（2）若设一个竖列上相邻的三个日期中间的日期为b，那么上下两边的日期分别是什么？（3）如果在上述日历中某个竖列上三个相邻的日期之和为75，你认为可能吗？为什么？（4）若连续七天的日期之和是77，请问第二天是星期几？【分析】日历数表的规律是7天一循环，相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；（1）a1、a1；（2）b7、b7；第8级上优秀A版教师版3\n（3）竖列三个相加等于75，这三个数成公差为7的等差数列，中间的数是75325；而题目中的25下面没有数了，所以不可能；（4）连续一周的日期之和是77，是连续自然数，根据等差数列中项定理可得到中间数是77711，说明11号是连续一周的第四天，那么第二天从表中查到是星期4.【想想练练】观察如下某月日历：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）请在日历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使三数之和为42.（2）请在日历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使三数之和为42.（3）下个月的20号在第几列？【分析】日历数表规律是7天一循环，相邻两个自然数之间差1；同一列相邻两数之差为7；（1）等差数列中项定理，中间项是42314，横行上是13、14、15这三个日期；（2）同问题（1），竖列是7、14、21；（3）下个月的1号是从周四算起，20726，是星期二，在第3列.例2从1开始的连续自然数按如图所示的规则排列，并用一个十字架框出五个数.能否使这五个数的和等于:A.100B.200C.400D.60012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940【分析】如题所示：182011+27=192，十字架中的数的和等于中心数的5倍，中心数只能分布在2到7列；A、B、C、D所对应的中心数分别是20、40、80、120；有：20824；4085；80810；120815；所以只有100满足十字架框出的五个数之和.【想想练练】如图是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数，现框出的五个数的四角上的数的和是48，当框出的五个数的四角上的数的和是624时，四个角上的数分别是多少？4第8级上优秀A版教师版\n第三讲123456789101112131415161718192021...【分析】由图十字框可得：5+19=11+13=122，即十字框的四角的和是中心数的4倍.6244=156，1567=222，十字框的中心数只能在第2列至第6列，满足条件，此时四个角的数分别是：149、155、157、163.不认识家门法国大文豪巴尔扎克常常外出散步.有一次他怕有人找他，临出门时在大门上写上了几个字：“巴尔扎克先生不在家，请来访者下午来.”他一边散步一边构思小说，几个小时后他饿了，就开始往家里走，突然发现大门上的字，他十分遗憾地叹了一口气说：“原来巴尔扎克先生不在家呀.”说完他掉头又往回走，继续构思他的小说.例3从1开始的连续自然数按如图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于（1）2007；（2）2008；（3）2016.若能办到，请写出正方形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940【分析】先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：1230221，1329221，1428221，2022221，即：21是框中九个数的平均数.因此，框中九个数的和等于21与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由33正方形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于正方形正中间的数乘以9．(1)20079223，2238277.这就是说，如果2007是符合条件的九个数的和，则正中间的数一定是223，而223位于数表中从右边数的第2列.从题中的图容易看出，正方形正中间的数不能位于第1列和第8列，223是在第7列，可以存在一个正方形框使得正方形框内9个数的和为2007.此时正方形框内最大的数是223+9=232，最小的数是223-9=214.(2)因为2008不是9的倍数，所以不可能找到这样的正方形，使其中九个数的和等于2008．(3)20169224，224828，即2016是9的倍数，但是224在第8列，所以办不到.第8级上优秀A版教师版5\n模块二：非常规的长方形数表例4毕达哥拉斯是个大数学家，有一次他正要出门拜访朋友，却发现一个仆人不干活，躲在门外玩，于是，毕达哥拉斯命令这个仆人：“你看对面神庙共有七根柱子，现在你从左到右开始数，然后返回来接着数，我回来的时候你要告诉我第5000根柱子是哪一根！”这个仆人很聪明，他用不到一分钟的时间就得到了答案，你能做到吗？【分析】转化为数学模型如下：ABCDEFG12345671312111098141516171819...20考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A.因此，我们只要考查5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，4999124167，即5000是第417组中的第7个数，所以，第5000根柱子位于F位置，是从左到右的第6根．【想想练练】如图所示，把偶数2、4、6、8…，排成5列.各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：（1）100在第几行，第几列？（2）第20行第2列的数是多少？246814121016182022282624【分析】（1）由于1001472，则第100在第15行第2列上；（2）第20行第1列的数为：10×14=140，则第20行第2列的数为138.例5如图，从4开始的连续自然数是按某种规律排列的，请问：（1）100在第几行，第几列？（2）第5行第20列的数是多少？6第8级上优秀A版教师版\n第三讲411121920513216101418227152389161724【分析】(1)由于10038121，所以100在第1行第212125列.(2)第20列的第一个数为：381083，所以第5行第20列的数为81．摆放等边三角形用四根一样长的火柴，摆四个等边三角形，怎么摆?答案：摆成三棱锥杯赛提高如图，自然数每9个一行地排列.若用如图所示的“大”字型覆盖出7个数并求和，和为246，那么最大的数为________.（“大”字不能旋转或翻转）123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536……【分析】设中间数（图中17所在的位置）是x，那么十字中的5个数的和是5x.7个数的和是5xx182246，解得，x30，那么最大数是3092149.知识点总结1.通过观察、逆推等方法找出规律和周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；第8级上优秀A版教师版7\n2.如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．家庭作业1.若某年4月有5个周六和周日，则4月3日是星期几？【分析】4月份一共30天；30742，4月份一定有4个周六和周日，现在4月份有5个周六和周日，说明余下的两天是周六和周日，则4月1日一定是周六，那么4月3日就是星期一.2.如果把从1开始的连续自然数按下表进行排列，那么1000应在哪个字母下面？ABCDEFG12345678910111213141516171819【分析】10007=1426，所以在字母F的下面.3.从1开始的连续自然数按如图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，若九个数的和为270，那么框出的这九个数正中间的数是.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940【分析】这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9．所以中间数是270930.4.如图，将从5开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：（1）123应该排在第几列？（2）第2行第20列的数是多少？第1列第2列第3列5101561116712178131891419【分析】根据题意，(1)由于(1234)5234，所以123应该排在第24列；(2)第20列的第一个数为：205100，所以第2行的第20列的数是101．8第8级上优秀A版教师版\n第三讲5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：（1）100在第几行，第几列？（2）第10行第2列是多少？123456789101112131415161718【分析】观察知两行为一个完整周期，有9个数，1009111．所以100在第112+1=23行，第1列；第10行的最后一个数为：5945．所以第10行的第2列为：45243．6．按图所示的顺序数数，（1）当数到150时，应数到第几列？（2）数到200时，应在哪一列呢？①②③④⑤123459876101112131716151418192021252423222627282933323130【分析】⑴把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数.有：(1509)8175，所以，150位于第18组的第5个数，即150位于第4列．⑵(2009)8237，200位于第23组的第7个数，200位于第2列.第8级上优秀A版教师版9\n第四讲第四讲第五种运算知识站牌五年级暑假四年级春季分数乘除整数与数列四年级寒假第五种运算四年级寒假小数巧算四年级秋季小数的计算乘方的认识、运算、性质、简单的平方差漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米”你认为国王的国库里有这么多米吗？63【分析】第64格要放2粒米，一共18,446,744,073,709,551,615粒米，国王的国库里没有这么多米.教学目标1.理解整数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会熟练应用整数乘方运算.2.熟练掌握整数乘方运算的符号法则.3.初步认识平方差公式.经典精讲n求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂.如aaaaa，乘方的结果na个nnn记做a，表示将a自乘n次，a叫做a的n次方或者a的n次幂.在a中，a为底数，n为指数.例5如22222应记做2，读作2的5次方或者2的5次幂，2是底数，5是指数.0规定a1（a0），本讲用到的底数均不为0.乘方的运算法则：mnmn（1）aaa（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）585813例：3333，33333333333335个38个3(5+8)个3mnmn（2）aaa（同底数幂相除，底数不变，指数相减）1028例：555555(55)5555510个52个5(10-2)个5积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘.mmm888()abab，如(47)47幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnmn35333333515()aa，如(2)22222222第8级上优秀A版教师版\n第四讲乘方比较大小（在这里说的都是非0自然数）：mnmnmnaa，可得mn；aa，可得mn；aa，可得mn；nnab，可得ab；2平方差公式：(ab)(abab)()知识点回顾1.3×4=___+___+___=___+___+___+___，表示____个____相加，或____个____相加.【分析】4,4,4；3,3,3,3；3,4；4,32.aaaa_____；aaabbb=_______.【分析】4a；33ab3.ab表示____个____相加，或____个____相加.【分析】abba,;,4.计算：2+2+2+2+2=22222=5+5+5+5=5×5×5×5=【分析】10，32；20，6255.计算：2+2+2+5+5+5=2×2×2×5×5×5=【分析】21；1000模块一乘方的基本认识例1（1）7777的结果记做_____________，读作_______________________.10个74（2）在9中，底数是______，指数是______，幂是____________，读作___________.（3）请把下列算式改写成幂的形式.5555=_________.222333____×_____=_________100个58=______；9=_________；27=_________；64=__________.543（4）计算：2________;3=_______；4=_________;10【分析】（1）7，7的10次方或7的10次幂；4（2）9、4、9或6561、9的4次幂；1003333236（3）5;23,6;2;3;3;2（4）32;81；64.n教学提示：因为2在以后的学习中运用非常多，老师在此可以多加练习，另外，主要提醒学生结果是可以以幂的形式出现的（在数过大的情况下）第8级上优秀A版教师版3\n42【想想练练】44448【分析】4,16,（此题老师还可以引导学生也可以写成2）模块二乘方的运算例223231.我们知道，根据乘方的意义：555，5555，从而55(55)(555)，那么237135n37（1）计算（用幂的形式表示）：1111；2929；33；aamn（2）通过以上计算你能否发现规律，得到aa的结果呢？12345（3）计算：4141414141520n510【分析】（1）11；29；3；amnmn（2）aaa；123+4515（3）4141.比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么？生活中需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法，ab就表示b个ab相加.生活中还需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方，a就表示b个a相乘.很容易想到，比乘方更大一级的运算就是b个a的n次方重叠起来，这种运算就是超级幂.超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人，在很小的数322之间进行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字.例如，2=2=16，24225而2=2=65536.那么，2等于多少呢？它应当等于2的65536次方，其结果是一个上万位的数.6100请同学们想象一下，2、100有多大呢？例32332我们知道，根据乘方的意义：555，5555，从而55（555）（55），那么3213773（1）计算（用幂的形式表示）：1111；2929；aamn（2）通过以上计算你能否发现规律，得到aa（mn）的结果呢？4第8级上优秀A版教师版\n第四讲100372312（3）计算（用幂的形式表示）：41414141；64【分析】（1）11；29；amnmn（2）aaa；10037231210037231228（3）41414141=4141；例4323222根据乘方的意义：5555，从而（5）555，那么53232nm534（1）计算（用幂的形式表示）：(2)；(11)；(7)；(13)；()a；mn（2）通过以上计算你能否发现规律，得到(a）的结果呢？32293（3）计算（用幂的形式表示）：(37)；(38)(以下两问学生版没有，教师可以酌情讲解)42132（4）计算（用幂的形式表示）：248；93；749.m3330（5）已知5251255，则m_________1562n5m12【分析】（1）2；11；7；13；amnmn（2）(aa）64273（3）37;38；11843(4)2；3或9；7m3330（5）5251255，可得m6930，m15.713126【想想练练】计算（用幂的形式表示）：（29），(4)7139172【分析】29=29；4模块三平方差公式例5观察下面的等式：222121223232224343（1）谈一谈：你发现了什么？222222222（2）试一试：10987654321;【分析】（1）左边是两个连续自然数的平方差，右边是两个连续自然数的和.(注意强调连续自然数)。第8级上优秀A版教师版5\n（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55教学提示：此题之后建议老师讲解平方差公式。22平方差公式的证明：ab(abab)()bbaa22【分析】S整体-空白=ab；S=2S=2[（ba)(ab)2](abab)()阴阴梯形22故有ab(abab)()注：教师可根据课堂需要补充完全平方公式内容【想想练练】如图：在一个边长为888米的正方形公园的一角有一个边长为112米的正方形荷花池，其余全是陆地，求公园陆地的面积.陆地荷花池【分析】由平方差公式可得776000平方米。现在请做下面的火柴游戏：只移动一根火柴，使答案变成130，你能做到吗？答案：这个题目是埋有“伏笔”的，直接搭出130需要很多根火柴，所以只需要把等号的一根火柴放在加号之上，变成14111，差就正好是130.6第8级上优秀A版教师版\n第四讲杯赛提高观察下面的等式：32113321233332123633332123410（1）想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？3333（2）试一试：1239____________;3333（3）猜一猜：123n____________.33332【分析】本题主要通过观察和分析立方和公式：123++nn(123)；（1）等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数；333322（2）123++9(1239)452025；2233332nn(1)123++nn(123)或.4知识点总结1.求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂.0规定a1（除0外所有的数的0次方都是1）2.乘方的运算法则：mnmn（1）aaa（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）mnmn（2）aaa（同底数幂相除，底数不变，指数相减）mmm3.积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘：()ababmnmn4.幂的乘方，底数不变，指数相乘：()aa5.乘方比较大小（在这里说的都是非0自然数）：mnmnmnaa，可得mn；aa，可得mn；aa，可得mn；nnab，可得ab26.平方差公式：(ab)(abab)()第8级上优秀A版教师版7\n家庭作业71.在8中，底数是______，指数是______，幂是____________，读作___________.7【分析】8、7、8、8的7次幂2.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条.想想看，捏合拉伸_______次后，就可以拉出32根面条.【分析】52223333.35（___）；6（___）（___）；【分析】15；2，3123789392154.计算：777777；3737373013【分析】7；37225.若N(23)，那么N等于__________.【分析】324226.计算：201922【分析】2019=（20+19）（2019)391398第8级上优秀A版教师版\n第5讲第五讲质数与合数初步知识站牌五年级秋季五年级暑假因数与倍数初步质数与合数进阶四年级寒假质数与合数初步四年级秋季四年级暑假整除特征进阶整除特征初步质数与合数概念、100以内质数，质数构造、质数判断法特殊质数的性质、分解质因数漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入你听说过风靡欧美的一部电影《质数的孤独》吗？它改编自意大利八零后作家、粒子物理学博士保罗·乔尔达诺的处女作.2008年该书刚出版就获得了意大利最高文学奖斯特雷加奖，并迅速成为欧美超级畅销书，迄今在欧洲销量已超过700万册.同名电影于2010年在威尼斯电影节首映，好评如潮.电影中最经典的一句话是：“质数只能被1和它自身整除，它们是特殊的数字，多疑和孤独，质数当中还有一些更特别的成员，数学家称之为‘孪生质数’，它们是离得很近的一对质数，几乎彼此相邻，比如11和13，17和19，可是‘孪生质数’无法亲密接触，因为总有一个偶数，挡在它们中间.”作者根据质数的特点，特别是孪生质数的特点，将电影的主人公艾丽思和马蒂亚看成两个孤独的质数.什么是质数？质数有什么样的特点？为什么质数是孤独的？在学完本讲之后再去看这部电影或小说，你能更深刻地理解它.现在就让我们从什么是质数讲起！教学目标1.充分理解质数合数的概念并熟记100以内的质数，会构造质数2.熟练掌握大质数判断方法，能判断一个数是否是质数3.灵活运用特殊质数（2、3和5）的特性来解决与其相关的数论问题4.初步掌握分解质因数的方法，能分解简单的数经典精讲1．质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数就叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2．判断一个数是否为质数的方法根据定义，如果能够找到一个小于P的质数q(均为整数)，使得q能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，2我们可以先找一个大于且接近P的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P，如没有能够整除的，那么P就为质数.2第8级上优秀A版教师版\n第5讲例如：149很接近1691313，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11、13整除，所以149是质数.3．质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.2例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如1222323，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.知识点回顾1.若abc,其中b0,且a,b,c均为整数,则a是b的倍数;b是a的因数;那么，24÷3=8中，_______是__________的倍数；__________是____________的因数.【分析】24,3；3,242.一般情况下,因数都是成对出现的,如12=1×12,试写出12的其他因数：__________________________________.特殊情况下（平方数），因数也可能出现不成对的情况,如9的因数只有1,3,9.试写出16的因数：____________________________【分析】1,12,2,6,3,4;1,2,4,8,16.3.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432□□是9的倍数.【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数即可．4.0、1和2都使用（可重复），且能被25整除的最小自然数是多少？【分析】末两位为00，都使用且最小，故为1200模块一：质合的定义，质数认识、构造与判断例11.小于100的质数一共有多少个？请将它们都写出来.【分析】2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个2.下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【分析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314第8级上优秀A版教师版3\n杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；1516171819202122232425262728九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．例2在19、111、125、181、197、2009、2013这七个数中，质数有多少个？【分析】111,2013是3的倍数，125是5的倍数，2009是7的倍数，19是常见的质数，181、197容易检验知也是质数，所以在这些数中有3个质数.完美无缺——完美数早在2000多年前的古希腊，人们就发现自然数6和28具有如下奇妙的特征：除本身以外的所有因数之和恰好等于该数.即1+2+3=6,1+2+4+7+14=28.具备这种特征的自然数叫做完美数（也叫完全数）.完美数的发现是毕达哥拉斯学派的卓越贡献之一.中世纪的神秘主义者甚至将完美数披上了神秘的迷信色彩，他们把完美数6和28视为上帝的基本数字，认为它们是宇宙的一部分.其证据是世界万物是在6天之内创造完成的，而月亮的周期是28天.数学家们还在完美数中发现了如下令人惊叹的特征：1223445678（1）6=2+2；28=2+2+2；496=2+2+2+2+2（2）完美数的全部因数的倒数和等于2：11111111116+++=2：；28++++：+=2123612471428模块二：特殊质数2、3、5例3（1）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（2）如果a，b均为质数，且3ab741，则ab______.（3）A，B，C为3个小于20的质数，ABC30，求这三个质数.【分析】(1)因为25是个奇数，奇等于偶+奇，但是质数中只有2是偶数，所以另一个是25-2=234第8级上优秀A版教师版\n第5讲(2)根据题意a,b中必然有一个偶质数2，，当a2时，b5，当b2时不符合题意，所以ab257(3)因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17.【想想练练】：ABC、、是三个不同的质数，并且ABC14，则ABC___________【分析】质数常考题型，简单奇偶分析，容易知道A,B,C中一定有一个数为2，分析得出另外两个数只能为5,7，答案为70例4（1）10个连续的自然数，那么其中最多有多少个质数？请列举出来.（2）已知pp,12,p24,p36,p48都是质数．则p是多少？【分析】（1）10个连续的自然数中必有5的倍数，若质数中不含5，个位只能为1、3、7、9最多四个质数，若含5，则个位不能为9（9为合数）,从2-11这10个连续的自然数中有2、3、5、7、11，最多5个（2）方法1：PP,12,P24,P36,P48为公差为12的等差数列，考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53.这样的数只有一组.p为5方法2：由于12、24、36、48除以5的余数分别为2，4，1，3所以，p，p12，p24，p36，p48这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余0的，也就是有5的倍数，而这5个数都是质数，那么只能是5.由于p12，p24，p36，p48都比5大，所以p为5.【想想练练】：A是质数，且A＋6，A＋8，A＋12，A＋14都是质数，试求100以内满足要求的质数A.【分析】末位分析如果为1，则A＋14就是5的倍数，若为3则A＋12就是5的倍数，若为7则A＋8就是5的倍数，若为9则A＋6就是5的倍数，所以只能是5.模块三：分解质因数例51.初试锋芒：12=18=32=75=91=2.熟能生巧：111=360=999=1001=2014=2252【分析】（1）1223；18=2×3；32=2；7535；91=7×13323（2）111=3×37；360235；999=337；1001=7×11×13；2014=2×19×53【想想练练】：分解质因数，并写成标准式．90=225=666=2222【分析】90=235225=35666=2337第8级上优秀A版教师版5\n循环质数一个质数，把它的最左边一位数移到最右边，反复移动，直到又回到开始的那个数,如果其间产生的所有数都是质数，那最初那个数就叫做“循环质数”.例如：179→791→917这三个数都是质数，所以179(791，917)是循环质数.你还能找出一个三位循环质数吗？答案：113、199、337（只写一个最小的数其他数由其循环而得属于同一结果）杯赛提高写出7个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．知识点总结1.质数合数概念：质数：除了1和它本身，不再有别的因数.合数：除了1和它本身，还有别的因数.1既不是质数也不是合数.2.25个100以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.3.特殊的质数2：唯一的偶质数，奇偶分析法3：被3整除的质数，余数判断法5：唯一个位为5的质数，尾数判断法4.质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.6第8级上优秀A版教师版\n第5讲家庭作业1、某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.【分析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.2.有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）.从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数.请你将其中的质数都写出来.123【分析】因为三张卡片上的数字和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是质数再看两张卡片的情形.因为1＋2=3，根据同样的道理，用1、2组成的两位数也能被3整除，因此也不是质数．这样剩下要讨论的两位数只有13、31、23、32这四个了，其中13，31和23都是质数，而32不是质数.最后，一位数有三个：1、2、3.1不是质数，2和3都是质数.所以，本题中的质数共有五个：2、3、13、23、31.3.如果abc,,都是质数，并且abc，则c的最小值是_________.【分析】(1)本题考察的是最小的偶质数2，所以c最小是2。4、在23、123、145、157、197这五个数中，质数有多少个？【分析】123是3的倍数，145是5的倍数，19是常见的质数，157、197容易检验知也是质数，所以在这些数中有3个质数.5、两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【分析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口.6.分解质因数，并写成标准式．78=9999=2【分析】(1)782313；(2)9999311101第8级上优秀A版教师版7\n第六讲第六讲包含与排除知识站牌四年级春季四年级春季加乘原理进阶统筹与最优化四年级寒假包含与排除四年级秋季几何计数初步四年级秋季体育比赛中的数学简单容斥公式（两种事物）；应用题漫画释义第8级上优秀A版教师版1\n课堂引入生活中我们经常会碰到很多有重叠的计数问题，这类问题常常会让我们很头疼，因为算出的结果往往不是多了，就是少了。解决这类问题我们常常会用容斥原理。容斥原理是一个很重要的数学问题，近年来在杯赛中常会考到容斥原理与其它知识点的综合题，例如容斥与排列组合，容斥与数论，容斥与最值，容斥在几何中的应用等，可见这部分内容起到一个重要的枢纽作用.在19世纪末，英国逻辑学家韦恩采用了图示的方法表达数学中关于包含与排除原理的枯燥的概念形象．我们把它叫做韦恩图，今天让我们一起来学习如何用韦恩图解决简单的容斥问题。教学目标1.理解二量重合、三量重合的意义；2.能够熟练运用容斥原理解决两量重叠；3.学会用韦恩图来表示二量、三量重合。经典精讲先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。二量重叠问题ABABAB1．先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2．再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．三量重叠问题2第8级上优秀A版教师版\n第六讲ABCABCABBCACABC．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含：ABCABBCACABC．知识点回顾1.四（1）班全体同学站成一排，小华左边有10个人，小华右边有19个人，那么该班有学生_______名。【分析】该班学生人数为：1019130（名）。2.四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13。那么该班有学生_________名。【分析】该班学生人数为：1813130（名）。3.四（1）班全体同学站成一排，小明在小华的左面，小明左边有6个人，小华右边有10个人，他们中间有12个人，那么该班有学生_______名。【分析】该班学生人数为：610121130（名）。4.四（1）班全体同学站成一排，小明在小华的左面，当从左向右报数时，小明报：10；当从右向左报数时，小华报：11；小明和小华之间有9个人，那么该班有学生__________名。【分析】该班学生人数为：10+11+9=30（名）。模块一简单的二量重叠例1（1）在“棋乐无穷”社团里，有一群围棋或象棋爱好者，他们中的每个人至少会下围棋或者是象棋中的一种，其中会下围棋的有10人，会下象棋的有18人，围棋和象棋都会下有7人．这个社团一共有多少人喜欢围棋或象棋？【分析】根据包含排除法，直接可得，会下围棋的人会下象棋的人-围棋和象棋都会的人会围棋或象棋的人数，所以共有：1018721(人)．第8级上优秀A版教师版3\n围棋象棋都会（2）在“棋乐无穷”社团里，有一群围棋或象棋爱好者共48人，他们中的每个人至少会下围棋或者是象棋中的一种，会下围棋的有37人；会下象棋的有42人．在这些人中围棋和象棋都会下有多少人？【分析】根据包含排除法，直接可得，会下围棋的人会下象棋的人-围棋和象棋都会的人全班人数，即：37424831（人）.围棋象棋都会（3）在“棋乐无穷”社团里，有一群围棋或象棋爱好者共48人，他们中的每个人至少会下围棋或者是象棋中的一种，会下围棋的有37人；围棋和象棋都会的有9人，只会下围棋和只会下象棋的各有多少人？【分析】只会围棋的有37-9=28人，只会象棋的有48-37=11人围棋象棋都会例21.“棋乐无穷”社团共有48人，会下围棋的有15人，会下象棋的有17人，围棋和象棋都会下的有7人．(1)这个社团有多少人至少会围棋或象棋中的一种？(2)这个社团有多少人围棋或象棋都不会？【分析】（1）1517725,（2）48-25=23人都不会围棋象棋都会2.“棋乐无穷”社团共有48人，会下围棋的有16人，会下象棋的有18人，围棋和象棋都不会下的有23人．(1)这个社团有多少人至少会围棋或象棋中的一种？4第8级上优秀A版教师版\n第六讲(2)这个社团有多少人两种棋都会下？【分析】根据包含排除法，总人数-围棋和象棋都不会的人会围棋或象棋的人,所以48-23=25人.围棋和象棋都会的人=会围棋的人+会象棋的人-会围棋或象棋的人=18+16-25=9人.都不会围棋象棋都会3.“棋乐无穷”社团共有48人，会下围棋不会下象棋的有16人，会下象棋不会下围棋的有18人，围棋和象棋都不会下的有3人．这个社团有多少人两种棋都会下？【分析】48-16-18-3=11都不会围棋象棋都会教学提示：此题放在这里的目的是为了防止孩子们思维定式，不要过分依赖容斥公式，关键在于要能够看懂韦恩图，理解题意表达的到底是那个部分.【想想练练】四（1）班有学生48人．其中有15人看过动画片《宝莲灯》，有20人看过动画片《西游记》，有17人这两部动画片都没看过.（1）这个班有多少人这两部动画片至少看过一种？（2）这个班有多少人这两部动画片都看过？（3）这个班有多少人只看过动画片《宝莲灯》？（4）这个班有多少人只看过动画片《西游记》？都没看过宝莲灯西游记都看过【分析】（1）481731（人）（2）1520314人（3）15411（人）（4）20416（人）第8级上优秀A版教师版5\n算准深水炸弹的爆炸深度二战期间，英美运输船队在大西洋航行时经常受到德军潜艇的袭击。英国空军经常派出轰炸机利用深水炸弹对德军潜艇实施打击，但轰炸效果总不理想。为此，英军请来一些数学家专门研究这一问题。结果发现，潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸为止，只下潜了7.6米，而英军飞机的深水炸弹却已下沉到21米处爆炸，从而对潜艇的毁伤效果低下。经过科学论证，英军果断调整了深水炸弹的引信，爆炸深度由21米调整到9.1米，结果轰炸效果提高了4倍，德军还以为英军有了什么新式武器。第二单元复杂的二量重叠例3在1～100这些自然数中：(1)能被2整除的数有多少个？(2)能被3整除的数有多少个？(3)能被2和3整除的数有多少个？(4)能被2或3整除的数有多少个？(5)不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？ACB【分析】如图所示，A圆内是1～100中所有能被2整除的自然数，B圆内是1～100中所有能被3整除的自然数，C为1～100中既能被2整除也能被3整除的自然数．（1）1～100中所有能被2整除的自然数数有：100250(个)．（2）由1003331，1～100中能被3整除的自然数数有：33个．（3）由100（23）164知，1～100个数中既能被2整除也能被3整除的自然数有16个．（4）A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的自然数有：50331667(个)．（5）不是2的倍数也不是3的倍数的数有1006733（个）．【想想练练】在1～100这些自然数中，有多少个能整除4或6的数？100100100【分析】334612教学提示：既是4的倍数又是6的倍数的数孩子们容易算成24.6第8级上优秀A版教师版\n第六讲例4写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，第一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．没拉的灯有100100100100()100(33206)53(盏)，3535100拉两次的有6(盏)，最后亮着的灯一共为53659(盏)35第三单元简单的三量重叠例5某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？ABC【分析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943668人。【想想练练】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【分析】根据容斥原理，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130（人）．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130（18109）598(人)．实际上，若设总数为P，满足一0个条件的为P，满足两个条件的为P，满足三个条件的为P，则有PPPP，本题1230123中P425533130，P1810937，P5，从而P13037598.1230第8级上优秀A版教师版7\n令人迷惑的胡说八道有两个孩子，日子过得糊里糊涂，弄不清楚今天是星期几了，于是停在上学的路上，想把事情弄清楚．“当后天变成昨天的时候，”普里西拉说道，“那么‘今天’距离星期天的日子，将和当前天变成明天时的那个‘今天’距离星期天的日子相同．”试问：这些胡说八道发生在星期几？答案：两个孩子过日子过得太糊涂了，竟在星期天早晨去上学！杯赛提高一根长101厘米长的木棍，从同一端开始，第一次每隔4厘米画一个刻度，第二次每隔6厘米画一个刻度，如果按刻度把木棍截断，那么可以截成多少段？【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棍上的刻度数，而木棍上的刻度数相当于1到101中4101101101的倍数或6的倍数的个数，得：33，33个刻度，可以截出34段4612知识点总结先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。二量重叠问题ABABAB1．先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2．再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个8第8级上优秀A版教师版\n第六讲数)．三量重叠问题ABCABCABBCACABC．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含：ABCABBCACABC．家庭作业1.实验二小一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【分析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721(人)．2.四（1）班有学生34人，其中爱好乒乓的有17人，爱好游泳的14人，既爱好乒乓又爱好游泳的4人．那么，两样都不爱好的有多少人？【分析】34171447人3.芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ACB【分析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721(人)．4.某班有56人，参加英语竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加英语、数学竞赛的有______人.【分析】参加竞赛的有：562531人，则同时参加英语、数学竞赛的有28273124人5.在1至300的全部自然数中，是3的倍数或5的倍数的数共有多少个？第8级上优秀A版教师版9\n【分析】3的倍有100个，5的倍数有60个，既是3又是5的倍数有20个，则是3或者5的倍数的数共有100+60－20=140个．6.六年级三个班订杂志，一班订了15种，二班订了16种，三班订了14种，一班和二班相同的杂志有10种，二班和三班相同的杂志有5种，一班和三班相同的杂志有6种，三个班都订的杂志有1种，六年级三个班一共订了多少种不同的杂志？【分析】设3个班都订的杂志有，15+16+14－10－5－6+1=25．10第8级上优秀A版教师版
