小学数学讲义秋季二年级第6讲尖子班教师版

第六讲第六讲数的拆分第三级下数的拆分第五级下字典排列法和树形图（三年级秋季第十三讲）第三级上有序的思考（一年级暑假第一讲）第三级上有序的思考在本讲中主要学会用枚举的方法解决条件数字问题．第三级下数的拆分在本讲中让学生学会用枚举的方法解决数的拆分问题，掌握有序的思考的方法．第五级下字典排列法和树形图本讲中主要学习稍复杂的枚举问题，学习标数法、树形图法．第3级下·尖子班·教师版1\n第六讲课前故事——不说谎话①小松鼠和小白兔上学迟到了．熊猫老师问：“你俩今天为什么迟到了?”小松鼠说：“我在上学的路上遇到三个小弟弟，他们饿(e)得很，我就采了6个松果．分成数量不同的3份，送给他们每人一份．”②小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹．她们饿得很，我就采了9个蘑菇．分成数量不同的4份，送给她们每人一份．”熊猫老师说：“松鼠说的是实话．小白兔说的是谎话．”③小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师，我错了，今后我一定做个诚实的孩子．”小朋友．熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话?第3级下·尖子班·教师版2\n第六讲【例题分析】小松鼠把6个松果分成不一样多的三份，因为6123，所以可以分成．小白兔说它把9个蘑菇分成个数不同的4份．这是不对的．因为123410．9个蘑菇是分不出个数不同的4份的．【教学说明】开课的时候通过这个故事，导入新课，并让学生弄清楚什么是数的拆分．把一个自然数（0除外）拆分成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然数的拆分．下面让我们一起来学习怎样拆分自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法．数的有序拆分一定要有序来思考，要考虑全面哟！例1强强和红红两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)．强强两发共打了12环，红红两发共打了8环．又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？第3级下·尖子班·教师版3\n第六讲【例题分析】要求强强和红红各打中的环数，即是把12，8按环数进行拆分的问题．也就是要把12和8拆分成两个数相加．因为靶子中的环数只有2、4、6、8、10环．所以这两个数只能从这些数中选择．因为1284102，862．根据“没有哪两发子弹打在同一环中”的条件，可以知道强强打中的是8环和4环，红红打中的是6环和2环．例2把5拆成几个自然数相加的形式，共有多少种不同的拆分方法？(0除外)【例题分析】要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚举法．例如先拆成两个自然数相加，再拆成三个自然数相加、四个自然数相加，最后拆成五个自然数相加．拆分过程是：51423511312251112511111答：共有6种不同的拆分方法．【教学说明】数的拆分是难点知识，学生总是不能完整的把所有情况都想到，那么就需要引导学生来有序的枚举．数的拆分问题要让学生弄清楚三个问题，第一：把几来拆分；第二：拆成几个数；第三：拆成什么样的数．弄清楚了这几点也就明确了数拆分的要求，然后再按顺序来枚举，本题对数个数没有限制，对拆成的数也没有限制，这样的情况下我们可以根据加数个数从少到多的顺序来枚举．第3级下·尖子班·教师版4\n第六讲【铺垫选讲】艾迪和薇儿用玩具枪玩打靶游戏，见下图所示．他们每人打了两发子弹，并且都打中靶子．艾迪共打中6环，薇儿共打中5环．四发子弹没有打到同一环中的．你知道他俩打中的都是哪几环吗？【例题分析】已知艾迪两发子弹打中6环，要求每次打中的环数不同，可将6分拆为61524；同理，要求薇儿每次打中的环数不同，可将5分拆为51423．由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：艾迪打中的是1环和5环，薇儿打中的是2环和3环．例3按下面的要求，把自然数6进行拆分．第3级下·尖子班·教师版5\n第六讲⑴把6拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？【例题分析】⑴6152433；6114123222；611131122；611112；6111111共10种方法．⑵从⑴中，把完全相同的3种方法剔除633222111111，则还剩7种．⑶“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同．那么就只有61524123，3种拆分方法．【教学说明】本题包含了数拆分问题的几种形式，要重点引导学生来比较这几个题的不同，进而引导学生来理解“不完全相同”“完全不相同”等条件的意思，为后面的学习进行铺垫．【拓展选讲】把7拆成几个不完全相同的自然数相加的形式，共有多少种不同拆分方法？(0除外)【例题分析】拆分过程中除了要有序思考之外，还要注意题目中要求的“不完全相同的自然数”，即可以有相同的数，但不能完全相同．拆分过程是：716253471151241332327111411237122271111311122711111271111111（数相同，不符合要求）答：一共有13种不同的拆分方法．第3级下·尖子班·教师版6\n第六讲【教学说明】引导学生弄清楚拆分的三个要求，第一：把7来拆分，第二:拆成数的个数没有要求．第三：拆成不完全相同的自然数．在这里要对不完全相同的意思进行引导．本题同5的拆分问题相同，因为对数的个数没有要求，我们就按数的个数从少到多来枚举．小偷的诡计度假刚回来的马克发现家里失窃了．“天啊，为什么会这样呢？”马克忍不住叫了起来，“那该死的小偷什么时候进来的？”仆人老范也非常惊讶，他连忙说道：“先生，您不在家的时候，征得了您的同意，我回老家住了几天，今天才回来的．上午我亲自收拾过房间，到我出去买菜的时候为止，房间里所有的一切都是井井有条的．”看门人没见过马克发这么大的火，主动向马克报告：“马克先生，我一直盯着大门呢，我保证一个人都没来过．”老范的脸色突然有些发白，他慌张地摇着头说：“马克先生，您可不能怀疑我．我走的时候一切都好好的呢，连窗子都关得严严的！对了，您看，从被打碎的鱼缸中流出的水都没干，这说明小偷是刚刚走的．”马克走到窗边，只见打碎的鱼缸曝晒在太阳光下，地上还有一摊水迹．要知道，阳光直射下的水会蒸发得很快，现在地上还有没干透的水迹，这确实说明小偷刚刚才走．他俯下身看着这摊水迹，然后，把两条死去的金鱼拿了起来，他感觉到金鱼的身体冰凉冰凉的．稍微思索了一下，他说道：“我已经知道谁是小偷了!”你知道谁是小偷了吗？第3级下·尖子班·教师版7\n第六讲【答案】小偷就是仆人老范．他巧妙地制造了自己不在场的证据，想让自己逃脱嫌疑．他把准备好的冰块和金鱼放到太阳下，然后故意打碎了鱼缸．在太阳光的照射下，冰块开始慢慢融化．到马克回来的时候，还剩下一些水迹．可是，金鱼肚子里的冰块是太阳无法直接照射到的，所以金鱼的身体摸上去还是凉凉的．例4将无法区分的7个苹果放在三个同样的筐子里，每个筐都必须放．共有多少种不同的放法？【例题分析】本题中是一样的苹果放在一样的筐子里面，那么就无法区分排列的顺序，这道题就是把7拆分成任意的三个自然数相加的和（0除外），这样有以下几种不同的拆法：（5，1，1）（4，2，1）（3，3，1）（3，2，2），一共有4种不同的放法．【铺垫选讲】⑴将无法区分的5个苹果放在三个同样的筐子里，每个筐都必须放．共有多少种不同的放法？⑵将无法区分的5个苹果放在下面三个筐子里，每个筐都必须放．共有多少种不同的放法？⑴⑵⑶【例题分析】⑴本题中是一样的苹果放在一样的筐子里面，那么就无法区分排列的顺序，这道题就是把5拆分成任意的三个自然数相加的和（0除外），这样有以下几种不同的拆法：（3，1，1）、（2，2，1），一共有2种不同的放法．⑵本题中的5个苹果放在⑴⑵⑶号筐子里，筐子有编号能进行区分，所以需要考虑排列的顺序．这样一共有6种不同的方法，分别是（3，1，1）、（1，3，1）、（1，1，3）、（2，2，1）、（1，2，2），、（2，1，2）．第3级下·尖子班·教师版8\n第六讲【教学说明】通过这两个题的学习，主要是引导学生来比较不同，这两道题代表两种不同的类型，第一题中苹果和筐子都无法区分，别以不考虑数排列的顺序；第二题中筐子有编号能区分或筐子的形状不同都可以区别，这样就要考虑数的排列顺序．猪妈妈让小猪去摘野果，它要求一共要摘10个野果，并且把这10个野果放在三个一样的篮子里装好，每个篮子至少放2个，按照妈妈的要求，小猪应该怎么放呢？有多少种不同的情况？【例题分析】这道题无法区分三个篮子，所以只考虑拆分的不同方法，不考虑数的排列顺序．要求有几种不同的摘法，就是求把10拆成3个自然数相加，因为每个小猪至少要摘2个，所以0，1除外，共有多少种拆分方法呢．拆分过程是：10226102351024410334答：共有4种不同的摘法．例5有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨．要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿．共有多少种不同的取法？【例题分析】这道题也就是让我们把15进行拆分，拆分得数只能从1、2、3、5、6、7、9中进行选择．这样我们可以先从最大的数9考虑选取，其次选7，最后选6．具体拆分情况如下：159615762156531第3级下·尖子班·教师版9\n第六讲1595115753159321157521答：一共有7种不同的取法．【铺垫选讲】有六个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、7个和9个梨．要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿．共有多少种不同的取法？【例题分析】这道题也就是让我们把15进行拆分，拆分得数只能从1、2、3、5、7、9中进行选择．这样我们可以先从最大的数9考虑选取，其次选7，具体拆分情况如下：1595115753159321157521第3级下·尖子班·教师版10\n第六讲拓展与提高——巧装馒头一天，金吒、木吒和哪吒三兄弟去馒头店买馒头吃．店主是一个老者，见三兄弟长的非常可爱，就想考一考他们．店主说：“三位小朋友，如果能答对一个问题，今天的馒头就请你们免费品尝．”三人一听非常高兴．只见老者拿出5个一样的盒子，然后说：“请你们把18个馒头分装在这5个盒子里，要求每个盒子都不能空着，每个盒子中的馒头数都不相同．”只见金吒走上前摆弄了一下，18个馒头很快就装进了5个盒子里，老者连连称赞．接着木吒又走上前，很快又完成了任务．最后哪吒想了想说：“看我的！”一会儿工夫又把这18个馒头装进了这5个盒里．老者看了连连点头说：“好！好！三兄弟三种方法，你们真是聪明的孩子．看来这免费的馒头你们是吃定了！”哪咤三兄弟笑呵呵地吃起了馒头．小朋友，你知道金吒、木吒和哪吒是怎样放的馒头吗？从本故事中抽取数学问题：※把18个馒头分装在5个一样的盒子里，要求每个盒子都不空着，每个盒子中的馒头数都不相同．应该怎样装？【例题分析】这道题也就是要我们把18拆分成5个不同的自然数相加，我们可以先写出5个连续的自然数相加最接近18的数．1512345，多出来的3个，可以分别加在1、2、3、4、5上，通过尝试可得：第3级下·尖子班·教师版11\n第六讲181234818123571812456所以一共有三种不同的放法．【教学说明】通过本节课的学习，我们对数拆分问题要进行总结．数的拆分重点要弄清楚三个重点，⑴把几来拆分，⑵拆成几个数，⑶拆成什么样的数．然后再考虑有序的枚举，如果本题对拆数的个数没有限制，就可以按照数的个数从少到多来枚举；如果本题对数的大小有限制，限制最小是几，就可以按从小到到来枚举，限制最大是几，就可以按从大到小来枚举．写出所有数字之和为11，数字乘积为20的四位偶数：．【答案】根据题意可知，这个四位偶数各个数位上的数字乘积是20，只有两种情况：451120，225120，而这两种情况中541111，所以这个四位数是由4、5、1、1这四个数字组成的．那么组成的四位偶数有：1154、1514、5114．附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）第3级下·尖子班·教师版12\n第六讲某个外星人来到地球上，随身带有地球人使用的硬币1元、2元、4元、8元各一枚，如果他想买7元钱的一件商品，他应如何付款？如果买9元、10元、13元、14元和15元的商品呢？他又将如何付款？【例题分析】这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆．712491810281314814248151248所以外星人可按以上方式付款．从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和．【例题分析】用枚举法按一定的顺序来列举，具体拆分如下：261211212611104112103111103212941119511293211942128511186112842118521276111843127521176212743117531265311654以12开头的分拆方式共10种以11开头的分拆方式共10种261096126987210952986310943985410871976410862108531076310754以10开头的分拆方式共8种以9开头的分拆方式共4种第3级下·尖子班·教师版13\n第六讲268765以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：101084133（种）．总结：明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．美国硬币有1分、5分、10分和25分四种．现有10枚硬币总价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？(此题是美国小学数学奥林匹克试题)．【例题分析】由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：25375(分)．所以其余的7枚硬币的价值是：1007525(分)．将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)25111111010．所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分．1.从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【答案】1129384756，共有4种不同的写法．2.有12个苹果放在三个一样的盘子里，要求每个盘子至少分到3个苹果，那么有几种分法？【答案】12336345444，共有3种分法．第3级下·尖子班·教师版14\n第六讲3.按下面的要求，把15进行拆分．⑴将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出．（0除外）【答案】共8种．159511586115762156549428527538434.兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜捆成三堆，然后送给自己的三个兔宝宝吃，每堆至少要捆1个，并且三堆分到的萝卜数量都不同．可以怎样分呢？【答案】这道题也就是要我们把12拆分成三个不同的自然数，可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12129．第3级下·尖子班·教师版15\n第六讲下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得：12138．继续按类似方法变化，可得下列各式：12147237，12156246，12345．答：共有7种不同的分法．5.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果．现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，可以怎么取？【答案】可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差876423（个）苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23167（个）苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：876416421．几男几女美术组的同学在上教室里画画．其中一女学生到办公室找老师问什么时候放学，老师问女生：“现在教室里男生多还是女生多？”女生答：“现在教室里男女学生人数相等”．女生回到教室后，一名男生又去找老师问什么时候放学，老师问男生：“现在教室里男生多还是女生多？”男生回答：“现在教室里男生人数是女生人数的一半”．想一想，今天来了多少人？几男几女？【答案】今天来了7人．3男4女．这样想：女生答：“现在教室里男女学生人数相等，那么，加上这位女生，也就是女生比男生多1人．男生答：“现在教室里男生人数是女生人数的一半”，也可以说女生人数是男生人数的2倍，即2人是1倍．女生是224(人)，男生是413第3级下·尖子班·教师版16\n第六讲(人)第3级下·尖子班·教师版17\n第六讲什么东西越老反而显得越年轻？为什么小丽养的一只小胖猪不吃也不喝呢？什么宫殿进去容易出来难？有一种棋只有两种棋子，你知道是什么棋吗？湖面上没有桥也没有船，小刚是怎么过去有一个人最会弄虚作假了，能把东西变没了，的呢？还能逗大家开心，他是谁呢？小明把闹表调到早晨六点钟，他在五点钟就一个人手里拿着一些黄豆和绿豆，他把豆子醒了，可他不知道闹表放到哪去了，他想什放到桌子上，立刻就把黄豆和绿豆分开了，么办法能够找到呢？请你猜猜他是怎么做到的呢？【答案】1．照片;2．是她的储蓄罐;3．迷宫;4．围棋;5．湖面上结冰了，走过去的;6．魔术师;7．到六点钟闹表响了不就找到了;8．只有一颗黄豆，一颗绿豆．第3级下·尖子班·教师版18\n第六讲二、不受他人影响，阻挡外界诱惑＜释义＞自律，不受他人影响，是坚持自身的原则，对他人的犯科行径熟视无睹，不以法不责众当做取巧的借口，也不在纪律面前使用特权．＜小故事＞割席断交华歆、管宁是朋友，他们求学的时候，常常是一边读书，一边劳动，正是所谓的知行合一，并不是一味的书呆子．有一天，华歆、管宁两个人，在园中锄菜，说来也巧了，菜地里头竟有一块前人埋藏的黄金，锄着锄着，黄金就被管宁的锄头翻腾出来了．金子谁不喜欢呀！但是华歆、管宁他们平时读书养性，就是要摒除人性中的贪念，见了意外的财物不能动心，平时也以此相标榜．所以这时候，管宁见了黄金，就把它当做了砖石土块对待，用锄头一拨就扔到一边了．华歆在后边锄，过了一刻也见了，明知道这东西不该拿，但心里头不忍，还是拿起来看了看才扔掉．过了几天，两人正在屋里读书，外头的街上有达官贵人经过，乘着华丽的车马，敲锣打鼓的，很热闹．管宁还是和没听见一样，继续认真读他的书．华歆却坐不住了，跑到门口观看，对这达官的威仪艳羡不已．车马过去之后，华歆回到屋里．管宁却拿了一把刀子，将两人同坐的席子从中间割开，说：“我跟你不是同一路人，从此不再是朋友了”．第3级下·尖子班·教师版19\n第六讲第3级下·尖子班·教师版20