小学数学讲义秋季五年级超常第14讲方程法解行程超常体系

第14讲第十四讲方程法解行程知识站牌五年级春季五年级寒假比例法解行程时钟问题五年级秋季方程法解行程五年级秋季电梯与发车四年级春季相遇追及综合从行程中找到等量关系，并利用方程解决行程问题.漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．教学目标1.会画线段图分析相遇、追及问题，并能根据线段图找出等量关系；2.会列方程解决行程问题.经典精讲一、列方程解应用题的基本步骤1.审题，分析题意，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系.2.设未知数根据题目中的等量关系，用字母表示题目中的未知数，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写.3.列方程列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则.5.答题检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位，写出答案二、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系，s、v、t三个量的关系为s=vt，或v=s÷t，或t=s÷v.2第9级下超常体系教师版\n第14讲三、相遇问题基本公式：速度和×相遇时间=相遇路程四、追及问题基本公式：速度差×追及时间=追及路程知识点回顾一条直路上有相距200米的A，B两地，甲在A地，乙在B地，且知甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒，两人同时出发.（1）____秒时两人会到同一地点.（2）____秒时两人相距100米.【分析】（1）在同一地点，有可能是相遇，也可能是追及，因此有两种情况，答案为20秒或100秒.（2）相距100米，有可能是未相遇，也可能是相遇后再分开，答案为10秒或30秒.也可能是没追上，也可能是追上后再离开，答案为50秒或150秒.因此此题有4组答案.例题思路模块1：例1-4，相遇与追及问题模块2：例5-6，多种情况的行程模块3：例7-8，综合行程例1如图：甲，乙两人同时匀速从A地出发到B地，甲到B地后直接返回，在C地与乙相遇，共用时30分，且知道甲每分走的路程比乙每分走的路程的2倍少30米.（1）若AB的距离为2700米，则乙的速度为_____米/分.（2）若BC的距离为750米，则乙的速度为_____米/分.甲ABC乙【分析】（1）设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（2x-30）米/分.两人相遇共走了2个全程，因此可列出方程：（x+2x-30）×30=2700×2解得：x=70（2）设乙的速度为y米/分，则甲的速度为（2y-30）米/分.两人相遇时，甲比乙多走了2个BC，因此由追及问题可列出方程：第9级下超常体系教师版3\n（2y-30-y）×30=750×2解得：y=80注：此题说明了相遇与追及问题的实质为：路程的和差【拓展】某城市东西路和南北路交汇于路口A,甲在路口A南边560米处的B点，乙在路口A处.甲向北，乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等，在继续行走24分钟后，二人距A的距离也相等.问：甲、乙二人的速度各多少？【分析】设x为甲的速度，设y为乙的速度，第一次距A相等时，甲与乙的路程和为560；第二次距A相等时，甲与乙的路程差为560时.因此可列出方程组如下：4(xy)560x80解得：28(xy)560y60例2甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离．（学案对应：超常1）【分析】先画图如下：26甲66乙26ACBD设甲的速度是x米/分钟由甲乙追及的距离等于甲乙相遇的距离，那么有(x50)26(x50)6，解得x80AB两地的距离为(8050)6780(米)，或(8050)26780(米)4第9级下超常体系教师版\n第14讲步长测距法同学们可能很想知道日常生活中一些身边的距离到底是多少米，但又不会随身带着尺子之类度量长度的工具。其实不需要尺子，我们一样可以估算一段比较长的距离。其实，每人都有一副灵便的尺子，随时带在身边，这副尺子就是我们的双脚。用双脚测量距离，首先要知道自己的步子有多大。成年人一步的距离大约在75厘米到85厘米之间，而同学们的步子会小一些。但是无论如何，每个人在一段时间内的身高变化不会太大，而迈步的幅度又已经养成了习惯，因此步子大小变化也不会太大。接下来，当确定了我们每一步走出的距离后，就可以通过数步数的方法简单地计算我们所走过的距离了。在这里需要注意的是，迈步要自然，与平时走路的幅度、频率基本相同，这样才能保证我们测出的数据是基本准确的。例如我们每迈一步能走60厘米，从跑道的一端走到另一端，一共走了200步，我们就能够计算出来，跑道两端之间的距离是：60200100120（米）。这种测距离的方法是不是很方便呢？同学们可以在生活中尝试使用哦！例3甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，他们二人顺时针方向行走，丙的速度为每小时3千米，逆时针方向行走，甲和丙相遇再过5分钟，乙与丙相遇.那么绕湖一周的路程是多少？（学案对应：带号1）【分析】设甲丙经过x小时相遇，由乙丙5分钟走的路程和等于甲乙x小时的路程差可列出方程如下：5(4.23)(5.44.2)x，解得：x0.5，因此绕湖一周的路程为（5.4+3）×0.5=4.2千60米.例4一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/小时的速度前进.突然1号队员以45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？（学案对应：超常2，带号2）102【分析】从1号队员离队开始计算，当他行进10千米时，所用的时间：小时，之后1号与459其他人相差的距离等于1号与其他人相遇的距离.设返回的时间为x小时.则21211(4535)(4535)x，解得x,因此共经过了（小时）9369364【拓展】快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、第9级下超常体系教师版5\n10分、12分追上骑车人.已知快、慢车的速度分别为24千米/时和19千米/时，求中速车的速度.【分析】设骑车人的速度为x千米/时，根据三车距骑车人的距离相等可列出方程：612(24x)(19x)，解得：x=14.6060610则中速车的速度为(2414)14206060例5王平要从甲村走到乙村.如果他每小时走4千米，那么走到预定时间，离乙村还有0.5千米;如果他每小时走5千米，那么比预定时间少用半小时就可到达乙村.求预定时间是多少小时？甲村到乙村的路程是多少千米？（学案对应：超常3，带号3）【分析】设预定时间为x小时，甲乙两村之间路程为y千米，则：4x0.5yyx0.55x3解得：y12.5例6甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是___千米．【分析】矩形图法：设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V千米．预定的相遇时间为t小时.由图可知，矩形图的面积实际上就是走的路程.因为走的都是全程，因此每个图中阴影部分面积相等V+2VVV-3t-1ttt+2列方程组得：2(t1)VV18，解得.3t2(V3)t10因此两地距离为1810180千米.【铺垫】一只小虫从A爬到B处.如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达；如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达.那么A处到B处之间的距离是多少米？6第9级下超常体系教师版\n第14讲【分析】法1：设小虫的速度为x米/分，从A到B需要y分钟x1y15xyx3解得x3y30xyy60所以A处到B处之间的距离是3×60=180（米）法2：矩形图法．设小虫的速度为x米/分，从A到B需要y分钟时间：分y1515x12速度：米／分15x1(y15)30x3(y30)x3解得y60所以A处到B处之间的距离是3×60=180（米）例7某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行．发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过．已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中速度相同，均是水速的7倍．那么货船的发出间隔是______分钟．（学案对应：超常4，带号4）3【分析】设水速为v，则船速为7v，顺水船速为8v，逆水船速为6v．逆水货船间距是顺水间距的，4331设顺水船距为1，那么逆水船距就是，船速为x，有6vx20，8vx.得到444011v，货船发出间隔为1(8)28分钟.224224【铺垫】河水是流动的，在B点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A点到B点，然后穿过湖到C点，共用3小时；若他由C到B再到A，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从B流向C，那么，这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时；问在这样的条件下，他由C到B再到A，共需多少小时？【分析】设人在静水中的速度为x，水速为y，人在静水中从B点游到C点需要t小时．根据2题意，有6x(6ty)3x(3ty)，即x(3ty)，同样，有2.5x2.5y3x(3ty)，32即x(2t1)y；所以，2t13t，即t1.5，所以x2y；(2xy)2.5(2yy)7.53(小时)，所以在这样的条件下，他由C到B再到A共需7.5小时．【铺垫】沿江有两个城市，相距600千米，甲船往返两城市需要35小时，其中顺水比逆水少用5第9级下超常体系教师版7\n小时，乙船的速度是每小时15千米，那么乙船往返两城市需要____小时.【分析】设甲船在静水中的速度是xkm/h,水流速度是ykm/h.600600+=35xy+xy-列方程组如下：600600=-5xy+xy-将xy+和x-y看作整体得到xy+=40,xy-=30,解得x=35,=5y600600我们知道了水流速度为5km/h,则乙船往返总时间为+=90，即用时90h.15+515-5例8如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米?【分析】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60AE的路程，乙20分钟走了60ADDF的路程．所以乙10分钟走了60ADDFAD60DF的路程．AD60AE60DFAD60DF有，有1014107AEED560AE然后分析丙的情况,丙4分钟,行走了ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离．EDDF有，即5ED2DF＝．410ADAEED60DFAE87联立7AEED560AE，解得ED185ED2DFDF45于是,得到如下的位置关系：8第9级下超常体系教师版\n第14讲SBEFS四边形ABCDSABESEDFSFCB11160(87+18)6087184515(87+18)222=2497.5某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。答案：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。知识点总结1.行程问题的基本公式：sssvt，v，ttv2.相遇与追及问题的基本公式：相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间判断相遇与追及问题的关键是：路程和，路程差.3.列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.家庭作业1.A、B两地相距12千米，甲从A地到B地，在B地停留半小时后，又从B地返回A地；乙从B地到A地，在A地停留40分钟后，又从A地返回B地.已知两人同时分别从A、B两地出发，经过4小时后，他们在各自返回的路上相遇.如果甲的速度比乙的速度每小时快1.5千米，求两人的速度.【分析】设乙的速度是x，则甲的速度是x+1.5甲一共走了4-0.5=3.5小时210乙一共走了4小时33两人一共走的路程是3倍AB，所以103.5(x1.5)x3123解得x=4.5所以甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4.5千米/小时.第9级下超常体系教师版9\n2.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲18分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知甲每分钟行50米，求乙的速度．【分析】设乙速度是x米/分钟.根据路程（和/差）相等列方程：1850x650x，解得x25.乙的速度是25米/分钟.3.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【分析】丙与乙相遇时，甲乙相差的距离恰好等于2分钟丙与甲的路程和.设经过x分钟丙与乙相遇.（67.5-60）x=(60+75)×2解得：x=36因此东西镇的路程为36×（67.5+75）=5130米.4.有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？xx【分析】队伍长度为x米，则先是追及然后是相遇，因此650，解得x600，1.42.62.61.4即队伍有600米.5.甲、乙二人从相距60千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，6小时后在途中相遇．如果两人每小时所行走的路程各增加1千米，则相遇地点距前一次地点差1千米.求甲、乙两人的速度．【分析】设甲速为每小时x千米，乙速为每小时y千米.根据第一次相遇的条件，可知：根据第一次相遇的6xy60，则xy10，即甲、乙两人的速度和为10千米/小时，所以第二次相遇两人的速度和为12千米/小时.第二次相遇时，甲走的路程可能比第一次少1千米或多1千米，即(6x1)千米，或(6x1)千米.由此可列第二条方程：5(x1)6x1或5(x1)6x1.因此可列的方程组有：xy10x6xy10x4解得，或解得.5(x1)6x1y45(x1)6x1y6所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为6千米/小时和4千米/小时．6.北京大学为庆祝其建校110周年举行徒步比赛.甲、乙、丙三名运动员同时从同一个出发点起步后不间断地匀速步行，每分钟乙比甲少走15米，而比丙多走3米.当乙到达赛程中点折返处时，比甲晚到4分钟，而比丙早到1分钟.这次徒步比赛全程多少米？【分析】令乙的速度为v，乙到中点的时间为t.由矩形图法可得：15(t4)4vv75，解得：3t(v3)1t24全程为75×24×2=3600米.10第9级下超常体系教师版\n第14讲V+15VVV-3t-4ttt+17.一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?【分析】如下画出示意图有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/x50x小时．而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB长x千米,有7,解得12.55x=25．所以A,B两镇间的距离是25千米.8.如图,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米．从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少?NABDCPM【分析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.第9级下超常体系教师版11\n有甲从P到达AB中点O所需时间为PDDAAOPD10.5.608090608090乙从P到达AB中点O所需时间为PCBCBOPC10.5.60120906012090有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：PD1PC1=6080601201PC1PC15且有PD=DC-PC=1-PC,代入有,解得PC.608060120853所以PMMC,DP.168现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为x.35MDDAAN8161x有甲从M到达N点所需时间为；6080906080905MCCBBN1611x乙从M到达N点所需时间为.601209060120903558161x1611x11有，解得x.即AN.608090601209032321311所以ANBN323231超常班学案【超常班学案1】跑马场一周之长为1080米，甲、乙两人骑自行车从同一地点同时出发.朝同一方向行驶，经过45分钟后，甲追上乙，如果甲每分钟减少50米，乙每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟后两人相遇.原来甲、乙两人每分钟各行多少米？【分析】设甲，乙两人的速度分别为x米/分与y米/分.则45(xy)10803(x50y30)1080x202解得：y178【超常班学案2】10点整，贝贝、晶晶二人分别从A、B两地同时出发，相向而行；10点15分，贝12第9级下超常体系教师版\n第14讲贝追上了一支从A向B的游行队伍的队尾，与此同时晶晶到了游行队伍的队头；10点30分，贝贝到了队头，晶晶恰到队尾.已知晶晶到A时，游行队伍队尾恰好到B，问此时是几点几分？【分析】设AB全长距离x，一支队伍的长为y，由题10:00~10:15，经过15分，贝贝与晶晶合起来行了xy，10:00~10:30，经过30分，贝贝与晶晶合起来行了xy，由于两人速度没有变，30分行的路程应为15分行的路程的2倍，有2xyxy，x3y也就是AB全长为队伍长的3倍，而从10:15~10:30，晶晶与队尾合走了一个队伍长花了15分，那么10:30起，晶晶到A，队尾到B，合走了AB的全长应需15345分，所以，此时是11时15分.【超常班学案3】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．3【分析】从A到B，再返回，整个过程恰好走了1个上坡的全程和1个下坡的全程.总时间为3，420203y20y设上坡速度为x，3，x8，设AC为y，2，y12.故A、C之x2x4816间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．【超常班学案4】甲乙两船，在静水中的速度都是每小时30千米，一次甲乙两船分别从A，B两码头同时出发相向而行，到途中的C地后返回，结果乙比甲先到达C地0.5小时，而乙返回B码头1.5小时后，甲才返回A码头，已知A在B的上游，且水速为每小时2千米.AB的距离为___千米.水流方向早1小时CBA早0.5小时【分析】令AC=S，CB=S12.S1S2S1S210.5302302302302，解SS112（千米）.12123班学案【超常123班学案1】ABC三地在一条直线上，AB两地相距1000米，甲乙两人从A地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米，经过几分钟B地在甲乙两人的中点上.【分析】设经过x分钟B地在甲乙两人的中点上.思路：1000-甲行走的距离=乙行走的距离-10001000-35x=45x-10001000+1000=45x+35x2000=80xx=25第9级下超常体系教师版13\n【超常123班学案2】A、B两地相距22.4千米.有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进.当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有________千米.【分析】设甲从游行队伍队尾追到队头行x千米，从队头返回队尾行y千米．据题意，可列方程5x4y22.45.6x5.6组：，解得2x2y5.6y2.8当乙行BC5.6千米时，甲行了5个x，4个y，那么，甲的速度是乙速度的5x4y5.65.652.845.67倍．当乙行CD时，甲又行了2个x，2个y，则CD2x2y75.622.8272.4（千米），所以，ADABBCCD22.45.62.414.4（千米）．ADCB【超常123班学案3】已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲、乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么A，B两地的距离是多少？【分析】设AC长x千米，BC长y千米，那么可以列方程：xy10906060x150，解得，xy3y9060902那么AB两地距离为240千米.【超常123班学案4】包包号渡轮静水时速40千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地（水速为每小时24千米）.有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只43能任船漂流到B地，船长包包计得该日所用的时间为原单数日的倍.另一双数日渡轮航行到途中18的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1小时后船的静水速度提高到80千米，前进到A地，结果船长包包发现该日所用的时间与原双数日所用时间一样.请问A、B两地的距离为多少千米？xssxss4364246418【分析】顺水速度为64，逆水速度为16.设全程为s，设ACxs，有51，解得ss2466s11656161x6.s19214第9级下超常体系教师版