小学数学讲义秋季四年级第14讲超常体系

第14讲第十四讲平均数进阶知识站牌五年级暑假五年级暑假列方程组解应用题牛吃草四年级秋季平均数进阶四年级秋季四年级暑假列方程解应用题年龄问题进阶灵活运用平均数公式来解决复杂的平均数问题漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入我们在三年级时就已经对平均数有了一定的认识，相信大家都会发现平均数在生活中也有很多应用，比如老师在考试后要算大家的平均成绩，体育课上老师计算大家的平均身高、平均体重等等．今天，就让我再一次深入探秘平均数问题.教学目标1、进一步提高学生分析、推理的能力；2、熟练掌握求平均数的数量关系和解题思路以及解答平均数应用题的方法；3、掌握平均数的灵活运用，熟悉平均数在生活中的意义，培养学生的问题意识和发现问题，解决问题的能力．经典精讲平均数问题，就是已知几个不同的数，在总数量不变的条件下，移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少．这一份的数量叫做平均数，这种应用题叫做平均数应用题，简称平均数问题.平均数问题的基本解法是，先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数．即总数量÷总份数=平均数.这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即平均数×总份数=总数量总数量÷平均数=总份数由上面的关系式我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量.知识点回顾1.求13、15、17、19、21这5个数的平均数.【分析】172.求12、14、16、18、20、22这6个数的平均数.【分析】172第7级下超常体系教师版\n第14讲3.甲乙两人合伙买了一个蛋糕，共花去230元，平均每人应该出多少钱？【分析】230÷2=115（元）4.用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米，5厘米，7厘米，8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？【分析】求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度．即为：（4578）46（厘米）．5.小叶子这学期前5次作业的得分分别是95，87，92，100，96．求小叶子这5次作业的平均成绩.【分析】因为本题的“平均成绩=总成绩÷次数”所以先求总成绩，再求平均成绩．即：（95879210096）5470594（分）例题思路模块一：平均数问题简单的平均数问题（例1、例2）较复杂（总量和份数发生变化）的平均数问题（例3、例4）模块二：已知平均数求其它（例5、例6）模块三：平均数的运用（例7、例8）例1（1）203201198197204201（2）92979591908793928890（3）求下列20个数的平均数：306，312，306，308，314，304，318，311，313，315，314，310，310，320，300，316，320，312，314，315.【分析】（1）此题是比较经典的基准数法，在这里选择200作为基准数．那么求式可以写成：200200200200200200312341原式200641204．（2）此题依然可以采取“基准数法”．此题可以选择90作为平均数，那么求式可以写成：90+90+90+90-90-90+90-90+90+902751033-2-20原式＝90（73）17377．（3）基准数30020612681441811131514101020162012141520311.9例2甲、乙、丙、丁四个人一起去森林采蘑菇，四个人第一天一共采了108个，第二天一共采了100个，第三天一共采了140个．第7级下超常体系教师版3\n（1）第一天平均每个人采了多少个蘑菇？（2）第二天平均每个人采了多少个蘑菇？（3）第三天平均每个人采了多少个蘑菇？（4）四个人平均每天采多少个蘑菇？（5）平均每个人采了多少个蘑菇？（6）平均每个人每天采多少个蘑菇？【分析】（1）第一天一共采了108个蘑菇，而份数是总人数也就是4．因此，第一天平均每个人采了：108427（个）．（2）与（1）同理，第二天平均每个人采了：100425（个）．（3）第三天平均每个人采了：140435（个）．（4）总数是所有的蘑菇数，也就是：108100140348（个）．此时份数就是天数也就是3，那么平均数：3483116（个）．（5）相对于（4），份数变成了人数也就是4，那么平均数：348487（个）．（6）这里要求的平均是“每人每天”，因此份数是：3412．那么，平均数：3481228（个）．也就是平均每人每天采28个蘑菇．竺可桢算温度竺可桢（1890—1974），我国近代气象事业和近代地理学的奠基人，曾在建国前任浙江大学校长.他在气象气候学研究中取得了巨大的成就.温度的统计是竺可桢先生研究工作中很重要的一部分，测量每天的温度和计算平均温度是其中必不可少的.在工作中，竺可桢的助手发现，竺可桢在处理每一天不同时刻测出的气温数据时，总能很快地计算出当天气温的平均值.有一天，助手看到竺可桢记录的当天温度数据是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度，只见竺可桢飞快地在旁边写下了平均温度是18摄氏度.助手忍不住好奇，就向竺可桢请教道：“你怎么能这么快地算出这天的平均温度呢？”竺可桢告诉他说：“其实计算平均数也是有技巧的，除了直接相加再除以个数之外，还有一种方法，就是利用‘标准数’来计算.所谓标准数法，就是事先指定一个数，以它为基础来计算平均数.举个例子，刚才我算平均数时，就是先以13为标准数，那么四个数依次跟它相等、比它多3、多12、多5.这几个数字的和是20，2045，所以在标准数的基础上加上5，得到的18就是平均温度.”同学们也可以试着用这种方法来计算几个相差不多的数的平均数，看看能不能提高计算速度！例3图书馆周一借出170本书，周二和周三一共借出523本书，周四借出320本，周五借出192本，周六借出419本，周日关门休息没有借出书．那么这7天图书馆平均每天要借出多少本书？4第7级下超常体系教师版\n第14讲【分析】这里的难点是份数判断，这里的易错点是数的个数和份数不相同，因此这里的份数是7．因此，平均每天借出：（170+523+320+192+419）7=232（本）．例4某次“我要上北大”夏令营活动的参加学员中，13岁的有3人，12岁的有15人，11岁的有11人，10岁的有21人.这些学员的平均年龄是多少岁？(学案对应：超常学案1、123学案1)【分析】（13×3+12×15+11×11+10×21）÷（3+15+11+21）=11例5有正整数A、B、C、D，已知A、B、C、D四个数的平均数是15，B、C、D三个数的平均数也是15，B、D两个数的平均数是12，求A、B、D三个数的平均数．(学案对应：超常学案2、3123学案2)【分析】A、B、C、D的平均数是15，因此ABCD15460……①B、C、D三个数的平均数是15，因此BCD15345……②B、D的平均数是12，因此BD12224……③由①及②得：A604515，结合③可知，ABD152439，那么A、B、D三个数的平均数是：39313【铺垫】某同学期末考试考了语文、数学和外语．语文和数学的平均分是88分，要使语文、数学和外语三门的平均分是90分，外语应该考（）分．【分析】此题就是比较典型的“看平均数想总数的问题”，语文和数学的总分是：882176（分），而语文、数学和外语三门的总分是：903270（分），因此外语的分数应该是：27017694（分）．有7、2、8、9四个数字，只能使用加、减、乘、除、括号，数字任意排列，使其运算结果等于24．（答案不唯一）答案：可以279824．（答案不唯一）例6有5个大小不同的整数，从小到大排列，依次为A、B、C、D、E，这5个数的平均数是62，较小的4个数的平均数是60，较大的4个数的平均数是66，中间数C是3的倍数，D是偶数．求A、B、C、D、E各是多少.(学案对应：超常学案4、123学案3、4)【分析】这5个数的平均数是62，因此：ABCDE625310第7级下超常体系教师版5\n较小的4个数的平均数是60，因此：ABCD604240较大的4个数的平均数是66，因此：BCDE664264那么，首先可以解得：A46,E70并且，将这个结果带到最开始的式子，可得：BCD194首先DE70；而D是偶数，BCD，1943642，那么D只能等于66或者68．如果D66，由于C是3的倍数，那么C最大为63，由BCD194知B65，与BC矛盾．那么，D68，C66或者C63．如果C63，那么解得B63，与BC，因此最终只能C66并且B60．AB、、C、D、E分别为4660666870、、、、．例7超市向某食品厂订购一批食品，在付款总数和付款时间都相同的情况下，可以有以下两种付款方法：第一种：第一个月先付款13万元，以后每个月付款3万元；第二种：前一半时间每月付款6万元，后一半时间每月付款2万元．问超市的付款总数是多少万元？【分析】从第二种方法可以知道：平均每个月付款4万元．那么第一种方法中平均每个月也要付款4万元．在第一种方法中，第一个月付款13万元，多付款：13-4=9（万元）；而之后每个月少付款：321（万元）第一个月多付的9万元平均分给后面的每一个月，那么之后付款3万元的一共有9个月，那么整个付款方案完成需要10个月．因此，超市的付款总数是：133940（万元）．例8在某次考试中，原定一等奖100人、二等奖200人，现在将一等奖中最后50人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分也提高了1分．那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【分析】此题移多补少或者方程思想都可以解决问题．方法一：移多补少6第7级下超常体系教师版\n第14讲MNDCHQPIGFABE【分析】如图，用长方形横向的长度表示人数（已经标出），长方形纵向的长度表示平均分．以长方形ABCD为例，那么AB100，AD表示的是原一等奖的平均分，而长方形ABCD的面积是原一等奖的总分．由于所有的人总分是没有变化的，那么两个实线长方形的面积之和等于两个虚线长方形的面积之和，变化可得：SXCGHI=SXNHDM+SXQFIP，而长方形NHDM的面积为：100-501=50，长方形QFIP的面积为：200501250，那么长方形CGHI的面积也就是：50250300，而IG50，因此CG300506，也就是原来一等奖和二等奖的分数相差6分．方法二：方程思想假设原来一等奖的平均分为x，二等奖的平均分为y，那么原来的总分为：100x200y；现在一等奖有1005050（人），一等奖平均分为x1，因此一等奖总分为50x1，现在二等奖有20050250（人），二等奖平均分为y1，因此二等奖总分为200y1．由于在调整时，总分并没有发生变化，那么可以得方程：100x200y50x1250y1，整理可得：50xy300，因此xy6也就是原来一等奖比二等奖平均分多6分．知识点总结平均数问题的基本解法是，先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数.即总数量÷总份数=平均数.这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即平均数×总份数=总数量第7级下超常体系教师版7\n总数量÷平均数=总份数由上面的关系式我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量.家庭作业1.请求出103，109，105，101，110，102，106，104这8个数的平均数.【分析】1052.志愿者小组5名志愿者每个人的年龄分别是：21岁、37岁、28岁、25岁、44岁，求这个志愿者小组的平均年龄．【分析】平均年龄为2137282544531（岁）．3.（1）全班18个男生的平均身高是144厘米，那么全班男生的身高之和是多少厘米？（2）全班22个女生的平均身高是142厘米，那么全班女生的身高之和是多少厘米？全班所有人的身高之和是多少厘米？【分析】（1）男生身高之和181442592（cm）．（2）女生的身高之和221423124（cm）．而所有人的身高之和259231245716（cm）．4.甲、乙和丙一起参加考试，已知甲和乙的平均分是85分，要使三人的平均分正好是87分，那么丙应该考多少分？【分析】甲和乙的总分：852170（分），而三个人的总分为：873261（分），因此丙的分数应该是：26117091（分）．5.小强的哥哥骑自行车旅游，第一天行32千米，第二天行41千米，第三天行44千米，第四天行的路程比前三天的平均路程还多4千米，(1)第四天行多少千米？(2)四天平均每天行多少千米？【分析】（1）哥哥前三天行的路程平均数是：（324144）339（千米），而第四天比这平均数还多4千米，所以第四天行了39443（千米）．（2）32414443440千米6.超市上半年平均每月的销售额是24000元，下半年平均每月的销售额是18156元，那么全年平均每月的销售额是多少？【分析】可以针对上下半年直接秋平均数：2400018156221078（元）；此题可先求出全年的销售总额再求平均数．全年的销售额240006181566252936（元），那么平均每月的销售额为：292561221078（元）．7.A、B、C、D四个数的平均数为195，A、B两个数的平均数为200，又知道D180，求A、B、C的平均数．【分析】A、B、C、D的平均数为195，因此ABCD1954780，A、B两个数的平均数为200，因此AB2002400，那么可以知道CD780400380，而D180，因此C380180200,A、B的平均数为200，而C200，因此A、B、C的平均数依然是200．8第7级下超常体系教师版\n第14讲8.在某次考试中，原定一等奖10人、二等奖20人，现在将一等奖中最后5人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了2分，得一等奖的学生的平均分也提高了2分．那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【分析】假设原来一等奖的平均分为x分，二等奖的平均分为y分，那么总分为：10x20y，现在一等奖有5人，平均分为x2分，二等奖有25人，平均分为y2分，那么总分为：5x225y2，利用总分不变可列方程10x20y5x225y2，整理化简可得：5xy60，那么xy12，也就是原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高12分．超常班学案【超常班学案1】一个粮仓，第一天运进大米83吨，第二天运进大米74吨，第三天运进大米71吨，第四天运进大米64吨，第五天运进的大米比四天中平均每天运进的还多32吨，第五天运进大米多少吨？【分析】前四天运的大米的平均数是：(83747164)473（吨），第五天运进的大米是：7332105（吨）．【超常班学案2】小明参加了五次数学竞赛，前两次的平均成绩是85分，后三次的平均成绩是90分，问：小明前后五次竞赛的平均成绩是多少分？【分析】852903(23)88（分）【超常班学案3】本学期数学一共进行了五次测验，小明的成绩是第二次比第一次多10分，第三次比第二次少5分，第四次比第三次多4分，前四次的平均成绩是85分，第五次比第四次少13分.那么，小明本学期五次测验的平均成绩是多少分？【分析】第三次比第一次多10-5=5（分），第四次比第一次多5+4=9（分），第五次比第一次少13-9=4分，第一次的得分是85-（10+5+9）÷4=79（分），第五次的得分就是79-4=75（分）因此，全学期五次平均成绩是（85×4+75）÷5=83（分）.【超常班学案4】18个数（可以有相同的）按从小到大的顺序排成一排．前10个数的平均数是28.5，后10个数的平均数是31.2,18个数的平均数为30．则第5个数是．【分析】由题意知，前8个数中间2个数285；后8个数中间2个数312；前8个数中间2个数后8个数540，可推出前8个数和228；中间2个数和57；后8个数255，22857观察得到前8个数的平均数中间2个数的平均数，这意味着这10个数均相8257等，否则不能满足从小到大的排列顺序．所以第5个数28.5．2123班学案【123班学案1】小红测试每分钟跳绳的次数，前四次跳的分别是：180下，180下，175下，185下．第五次比全部五次跳的平均数还多32下．那么全部五次跳的平均数是多少下？第五次跳的是多少下？第7级下超常体系教师版9\n【分析】188，220【123班学案2】从5开始的一串连续自然数5，6，7，8，…，17，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是．【分析】原来有13个数，总和是517132143，拿走一个数还有12个数，总和为10.7512129，那么拿走的数是14312914.【123班学案3】五个小朋友做游戏，他们每人在卡片上写了一个整数交给老师，老师将卡片上的数四个四个相加，得到101，103，105，110，121．那么五张卡片上写的数中最接近平均数的是.【分析】五个数的总和=（101+103+105+110+121）÷4=135.五个数的平均数=135÷5=27，五个整数分别是135-101=34；135-103=32；135-105=30；135-110=25；135-121=14.所以最接近平均数的是25.【123班学案4】A、B、C、D、E这五人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数．如果A、B、C三人的平均分为95分；B、C、D三人的平均分为94分；A是第一名；E得96分是第三名．请问：D考了多少分？【分析】根据题意，由于A、B、C三人的总得分是：953285（分）；B、C、D的得分是：943282分知A比D多了3分.由于A是第一，所以A要比96分要高，且不能为99分；当A得分为98分时，D得分为95分，此时：BC187,，由于B、C的得分均不可能为97分.则至少另一个为90分，不符合条件；当A得分为100分时，D得分为97分，所以有：BC185分，Ｂ、Ｃ一个为93分，一个为92分.所以D考了97分.10第7级下超常体系教师版