第3讲第三讲棋盘中的数学知识站牌五年级秋季五年级暑假逻辑推理进阶必胜策略五年级暑假棋盘中的数学四年级春季操作类智巧趣题四年级寒假统筹与最优化棋盘中的染色与覆盖问题．主要是黑白染色漫画释义第9级上优秀A版教师版1课堂引入你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢·帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：用这些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！教学目标1、理解并掌握黑白染色方法，利用黑白格是否相等解决1×2能否覆盖，座位、礼物能否互换等问题2、理解并掌握黑白染色方法，利用奇偶性解决棋盘走格走点问题，3、掌握并运用相邻格黑白染色方法，利用差不变、奇偶性不变等性质解决操作类问题.经典精讲本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答＂能＂与＂不能＂的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力．这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典形的染色方法．例题思路模块1：例1，1×2黑白染色模块2：例2-4，黑白应用模块3：例5，奇偶分析2第9级上优秀A版教师版第3讲例1（1）一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下列选项中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4（B）3×5（C）4×4（D）4×5（E）6×3（2）下面三个图形都是从4×4的正方形分别剪去两个1×1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1×2的七个小矩形?（1）（2）（3）(3)一个8×8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2×1的“骨牌”(形如)把棋盘上的62个小格完全盖住?（对应学案：学案1）【分析】(1)B。奇偶性。(2)先对4×4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1×2矩形能否分别覆盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1×2矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个1×2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有6个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有6个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个1×2矩形覆盖,也就不能剪成7个1×2的矩形.棋盘(1)可以被7个1×2的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:（3）不能.原因是每一个2×1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.第9级上优秀A版教师版3但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,因此不能盖住.例2五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？（学案对应：学案2）【分析】右图是一个5×7的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．想想练练：五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7人.新年到了，每个同学准备了一个礼物，送给自己前、后、左、右相邻的某一个同学.那么有没有可能每个同学都刚好收到1个别人送的礼物？【分析】右图是一个7×7的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位黑格同学都把礼物送给了白格；白格都把礼物送给了黑格．但实际上图中有25个黑格，24个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．国际象棋的历史关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说2000年以前，印度有一个非常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗.每一方都有一个首脑——王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。4第9级上优秀A版教师版第3讲例3(1)有一次车展共4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?(2)如图，是连接14个城市的道路图.是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？（学案对应：学案3）【分析】(1)如下左图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是白格，从入口到出口共要走15步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.(2)将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有6个黑点，8个白点，白点比黑点多2个，因此不能.【拓展】有一次车展共6636个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是白格，从入口到出口共要走35步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.例4如图有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这5个硬纸板拼成图中的45的第9级上优秀A版教师版5长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由.（学案对应：学案4）【分析】不能，对45长方形作黑白染色黑格数白格数，但若对、、、、这五个图形进行②③④①⑤黑白染色，图①②③⑤黑格白格但图④黑白，∴办不到．想想练练：能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？【分析】不能．将66的棋盘黑白相间染色（见图），有18个黑格．而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格．例5(1)左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右下表中A处的数是．A20102010101201020102010010101201020102010(2)对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表⑵？为什么？6第9级上优秀A版教师版第3讲【分析】(1)将左图黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是5，经过若干次变化后，差仍应是5，所以答案是5．(2)因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变．原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表⑵中九个数的总和是4，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表⑵．想想练练：左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右下表中A处的数是．123A1010456→…→101010789101010【分析】将左图黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是1+3+5+7+9-2-4-6-8=5，经过若干次变化后，差仍应是5，所以答案是5．【拓展】对于左表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右表？为什么？【分析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变．原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而右表中九个数的总和是0，是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成右表．四皇后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不能越子，吃子与走法相同。在一个4×4棋盘上，放置4个皇后，使她们相互之间不能攻击，该怎么布局？答案：有两种布局方法：第9级上优秀A版教师版7杯赛提高如图，对图1中的数进行如下操作：⑴选择上、下或左、右紧邻的两个数；⑵若这两个数都不小于1，则两个数都要加1或减1；若这两个数不管哪个是0，则两个都要加1．010101111111101010111111010101111111101010111111010101111111101010A11111图1图2按此方法操作若干次后形成图2，则A应该填入的数是多少？【分析】我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案，黑色代表０，白色代表１．则如下图：由于是每次上、下或左右同时加１或者同时减１，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变动，所以他们的总和之间的差是没有变化的．根据图１，发现白格中的数字之和为18;黑格中的数字之和为0，其差为18．根据图2，发现白格中的数字之和为17+A，黑格中的数字之和为18．所以A=19．附加题1.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A点时（到A点就不再走了），甲说它共转了83次弯，乙说它共转了84次弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【分析】甲．如右图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少次弯．如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，8第9级上优秀A版教师版第3讲所以甲正确．（注：此题中说的是到A点，如果到A点还要再走的话，就会在A点出现第84次转弯）2.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯，丙说它共转了83次弯，丁说它共转了84次弯．如果四人有一人说对了，那么谁正确？【分析】如图所示，将一部分格点用黑、白两色染色.老鼠从黑点出发，第一次转弯，移动到一个白点，第三次转弯，移动到一个黑点.除第一次转弯外，老鼠每转2次弯，会移动到一个异色点；每转4次弯，会移动到一个同色点.那么从A点出发，回到A点，一定是转了4k3次（k为自然数）.在81,82,83,84中，只有83除以4的余数是3，因此丙说的是正确的.3.一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A点时准备转弯时，甲说这是第43次转弯，乙说是第44次转弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【分析】甲．如右图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少次弯．如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，到A点还要再走的话，就会在A点出现第偶数次转弯，所以乙正确。4.在66的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.【分析】因为一共有36个方格，而两种纸片分别有3个方格和4个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是9张“凸”形纸片；6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片；3张“凸”形纸片和8张“L”形纸片；12张“L”形纸片.如果使所用的纸片尽量少，即要用9张“凸”形纸片.对这个66的方格表按国际象棋棋盘的方式染色，可以得到18个黑格和18个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆盖到1个黑格，或者可以覆盖到3个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将18个黑格完全覆盖，所以用9张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的.第9级上优秀A版教师版9如果使用6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖.可以先用4张“凸”形纸片覆盖1个44的方格表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L”形纸片覆盖即可.所以，所用纸片最少为10张.5.(1)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(1)所示的长方形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(2)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1)图(2)【分析】(1)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能．(2)如下图进行黑白染色，可发现共15黑，13白，而“T”字形恰好可以让黑比白多2.因此理论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)．通过右图可发现可以办到．知识点总结棋盘覆盖问题的解决方法：1.判断面积；2.通过适当的染色方式区分出理论与实际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案．常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色（选讲：可区分“一”字形)3.条形染色（选讲：可区分“L”形和“田”字形)10第9级上优秀A版教师版第3讲家庭作业1.下图是由62个方格组成的图形，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙?【分析】这种覆盖问题是典形的用染色方法解决的问题之一．用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等．但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住．2.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生.一周后，每个学生都必须和他前、后、左、右相邻的某一同学交换座位.问：能不能换成，为什么？【分析】如右图所示，25个座位分为12白13黑.相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上.所以不能换成.3.有一次车展共5525个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是黑格，从入口到出口共要走24步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处是白格，因此不可能不重复的由入口至出口走遍每个展室.4.在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A格中的数字是几？第9级上优秀A版教师版11【分析】将44的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和黑格数之和(A7)88，所以A9．5.用11个和5个能否盖住88的大正方形？【分析】如图，对88的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格．但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住．注意：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白．这是一个容易犯错的地方．6.如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?【分析】由小虫的爬法，仍可对方格黑白相间染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格．所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步．而小方格为5525个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数．于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格．A版学案【学案1】右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？12第9级上优秀A版教师版第3讲【分析】将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到．【学案2】全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座。在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？【分析】把25个方格进行黑白相间染色，每次交换座位，总是一个黑色格子的人交换到白色格子里，一个白色格子的人交换到黑色格子里，如果可以的话，黑白数目应该一样，但实际黑白格子数目不同，所以不能【学案3】下图中是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】采用染色法．如右上图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门．由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室．现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A．【学案4】能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘?【分析】将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.第9级上优秀A版教师版13
