第14讲第十四讲必胜策略知识站牌五年级春季五年级秋季从反面情况考虑神奇的9五年级暑假必胜策略五年级暑假棋盘中的数学四年级春季操作类智巧趣题拿火柴（包括质数类），石子，划方格等游戏中的必胜策略；对称思想漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马.规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马.每胜一场可得一千金.田忌的这三个等级的马都不如齐王的好.但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马.田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马.结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金.这个故事是对策的一个典型例子.他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案.利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨.这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科.下面我们就研究下游戏中的必胜策略.教学目标1.掌握对策问题寻找胜局的方法；2.利用数论的知识解决相关的对策问题．经典精讲小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．对策问题研究的是一个“活的”对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面．这种局面称作“胜局”，那么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键．概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题．对策问题的3个最基本要素：①局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者．他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞争的各个阵营．只有两个局中人的对策问题为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为“多人对策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．2第9级上优秀A版教师版\n第14讲例题思路模块1：例1-3：奇偶性模块2：例4-5：数论例1桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走1根、3根或5根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？(学案对应：学案1)【分析】法1：抓不变量，巍巍每次都能保证二人每轮都拿走6根，于是55÷6=9……1，所以先去1根，接下来对方取a根，巍巍就取6-a根即可；法2（重点）：奇偶性，显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜.想想练练：桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1~3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【分析】乙胜，和对方凑4例2桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走1根、3根或7根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】显然，每次只能取走奇数根，55只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜.想想练练：桌子上放着56根火柴，巍巍、涛涛二人轮流取，每次可取走2根、6根或14根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】显然，每次取走的都是偶数，但都不是4的倍数，因此可以将总根数和取的根数都除以2，变成有28根火柴，每次可取走1、3、7根，于是可知涛涛必胜.第9级上优秀A版教师版3\n博弈论中诺贝尔奖从1994年诺贝尔经济学奖授予3位博弈论专家开始，共有5届的诺贝尔经济学奖与博弈论的研究有关，分别为：1994年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的约翰•海萨尼（J.Harsanyi）、普林斯顿大学约翰•纳什（J.Nash）和德国波恩大学的赖因哈德•泽尔滕（ReinhardSelten）。1996年，授予英国剑桥大学的詹姆斯•莫里斯（JamesA.Mirrlees）与美国哥伦比亚大学的威廉•维克瑞（WilliamVickrey）。2001年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的乔治•阿克尔洛夫（GeorgeA.Akerlof）生于1940年、美国斯坦福大学的迈克尔•斯宾塞（A.MichaelSpence）和美国纽约哥伦比亚大学的约瑟夫•斯蒂格利茨（JosephE.Stiglitz）。2005年，授予美国马里兰大学的托马斯•克罗姆比•谢林(ThomasCrombieSchelling)和耶路撒冷希伯来大学的罗伯特•约翰•奥曼(RobertJohnAumann）。2007年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德•赫维茨（LeonidHurwicz）、美国普林斯顿大学的埃里克•马斯金(EricS.Maskin）以及美国芝加哥大学的罗杰•迈尔森(RogerB.Myerson）。2012年，授予美国经济学家埃尔文•罗斯（AlvinE.Roth）与罗伊德•沙普利因（LloydS.Shapley）。作为一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。例3在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？(学案对应：学案2)【分析】甲要取胜，必须向右上走一格，还剩下2上2右.然后，乙如果向上走，甲也向上走，还剩2右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和向右都差偶数格.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜．例4甲、乙两人玩数字游戏，他们轮流用1～9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被4整除，则甲胜；如果不能被4整除，则乙胜．甲先填，谁有必胜策略？(学案对应：学案3)【分析】甲一上来必填E，否则乙在E填1，肯定不是4的倍数，于是甲需要在E填一偶数，如果填2或6，乙在D处填2，肯定不是4的倍数；如果填4或8，乙在D处填1,就可，所以乙有必胜策略.4第9级上优秀A版教师版\n第14讲想想练练：甲、乙两人玩数字游戏，他们轮流用1～9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被8整除，则甲胜；如果不能被8整除，则乙胜.甲先填，谁有必胜策略？【分析】能被8整除，必能被4整除，此题与例4一样，所以乙有必胜策略.例5黑板上写有1、2、3、…、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止．如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜．⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略?必胜策略是怎样的?(学案对应：学案4)【分析】⑴甲有必胜策略．将这100个数分成（1，2），（3，4），……，（99，100）这50组，乙每划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数．由于同组的数都是互质的，所以甲必胜．⑵乙有必胜策略．无论甲如何划，乙在前47次只划去奇数，并且留下3，9，15这三个奇数．如果乙做不到这一点，即甲在前47次中划了奇数，那么乙只要一直划奇数即可使最后剩下的两个数都是偶数，这样乙必胜．如果乙能做到这一点，则甲前47次都划了偶数，此时还剩下3，9，15和三个偶数．如果接下来甲划掉了奇数，那么乙只要在剩下的两次中都划去奇数即可保证剩下两个偶数；如果接下来甲划掉了偶数，那么乙接下来也要划去偶数，这样即可保证3，9，15这三个数最后必然能剩下两个，所以乙必胜．智猪博弈假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽边，收益比是6∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择等待还是按控制按钮。答案：小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到4个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小猪如果行动的话，小猪的收入将不抵成本，纯收益为-1单位，如果小猪也选择等待的话，那么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。第9级上优秀A版教师版5\n杯赛提高甲，乙轮流从1～17这17个数中标记数，规定：（1）每次标记一个数；（2）不能标记已标记的数；1（3）不能标记已标记数的2倍；（4）不能标记已标记数的；2（5）谁没数可标记谁就输.现在甲先标记了8，乙要保证自己必胜，乙接着应该标记____.【分析】甲标了8后，4和16就不能再标记.剩下的数分成以下几组.第一组（3，6，12）第二组（1，2）（5，10）（7，14）第三组（9）（11）（13）（15）（17）其中第一组是可选的，当选6时，就不能选其他数，而选3或12时还可以再选一个.第一组数决定了最终的局数.根据奇偶性，乙应该选6，这样就可以总共进行10轮.因此甲先，所以最后一个可标记数是乙标记的.乙必胜.附加题1.甲乙两人轮流在黑板上写2～7之间的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再写了，最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？如果是写2～8之间的正整数呢？【分析】2～7乙胜，如果甲取2，那么乙取3，还剩5、7，一人写一个，乙胜；如果甲取3，那么乙取2，还剩5、7，一人写一个，乙胜；如果甲取4，那么乙取6，还剩2、3、5、7，一人写两个，乙胜；如果甲取5，那么乙取2，还剩3、7，一人写一个，乙胜；如果甲取6，那么乙取4，还剩2、3、5、7，一人写两个，乙胜；如果甲取7，那么乙取2，还剩3、5，一人写一个，乙胜；2～8甲胜，因为甲取了8，就相当于2～7，乙先取，后者胜，甲胜.2.如下图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，巍巍、涛涛二人交替地移动这枚棋子，巍巍先涛涛后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．如果巍巍先移，巍巍是否有制胜的策略？●23456……20072008【分析】由于每人每次移动的格数都不能是合数，所以移动的格数有以下情况：①1；②唯一的偶质数2；③奇质数．所以每次移动1、2或者3格是符合题意的，而移动4或者4的倍数格不合题意．那么每次移动的格数除以4的余数为1、2或3．所以巍巍有必胜策略：巍巍先移3格，这样还剩下2004格(4的倍数格)；以后涛涛每移动4nk格(k1、2或3)，巍巍就移动4k格，这样每次巍巍移动后还剩下4的倍数格，而涛涛每次移动后剩下的格数都不是4的倍数，所以要移完2004格，最后肯定是由巍巍完成，所以巍巍获胜．6第9级上优秀A版教师版\n第14讲3.甲乙两人轮流在黑板上写小于9的正整数，规定在黑板上写过的数，它的任何因数就不能再写了，最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略？【分析】甲胜，①甲可以先取2，剩下（3、6）、（4、8）、5、7，正好对称，甲胜；②甲也可以先取5，剩下（2、4、8）、（3、6）、7，乙取2，甲就取7；乙取4，甲取6；乙取8，甲取3；乙取3，甲取8；乙取6，甲取4，乙取7，甲取2，必胜；③甲也可以先取7，剩下（2、4、8）、（3、6）、5，同理，甲必胜，别的取法都会输.4.有一个33的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数．小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和，小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜，怎么才能获胜？【分析】注意题目中的条件，小兵计算上、下两行6个数的和．即为abcfgh；小强计算左、右两列数的和，即为adfceh．现在看这两个和，其中a、c、f、h为重复项，对于比较大小来说没有意义，真正有意义的是小兵的bg和小强的de，这几个数决定他们谁输谁赢，要想获胜就要尽量把大的数填在自己一方，小的数填在别人一方，试一下就知道怎么填是必胜的了．假设小兵先填，把大的填在自己一方，填10，那么小强有两种对付方式：一种是将9填在自己一方，一种是将1填在小兵那里．若小强将9填在自己一方，则下次小兵将1填在小强那里，小兵必胜，从而小强需将1填在小兵那里，那么下次小兵只能将最小的3填在小强那里，还是小强获胜(再往自己的格里填9)，从而得到，先往自己的格里填大数是不可取的，并不能保证获胜，从而知，必须往别人的格里填小数．还是假设小兵先填，那么，他要把1填在小强的格里，那么，小强有两种应对方法：一种是把10填在自己格里，一种是把3填在小兵格里，若小强把10填在自己格里，则小兵把9填在自己格里，小强再填的话最少填3，小兵必胜．若小强把3填在小兵格里，则小兵把10填在自己格里，也必胜．从而，先填的人必胜．此题的策略为：先把1填在别人的格里．5.在一个33的方格纸中，巍巍、铮铮两人轮流(巍巍先)往方格纸中填写1、2、3、4、5、6、7、8、10九个数中的一个，数不能重复．最后巍巍的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，铮铮的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为巍巍找出一种必胜的策略．【分析】应把10填在自己的势力范围之内.6.在一个33的方格纸中，甲、乙两人轮流(甲先)往方格纸中填写1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中的一个，数不能重复．最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为甲找出一种必胜的策略．【分析】上两个问题，由于9个数字的不对称性，策略分别是选择“削弱别人”和“增强自己”.两种不同的方法.而这个问题中，9个数字是对称的，故以上两种方法都不适用.9个格子里面，有5个无关格，即对甲乙都没有用的格子；2个对甲有影响，2个对乙有影响.由于数字的对称性，在这个问题里面第一步选择“削弱别人”与“增强自己”都是可以的，关键在于之后怎么走.我们假设甲第一步选择增强自己.（1）甲把9给自己.那么此时乙有3种选择，增强自己，削弱甲，填无关格.若乙选择增强自己或填无关格，那么甲只要拿到7或8给自己，乙必败.因此乙只能选择削弱甲.（2）乙把1放入甲的格子.此时甲格子里有9和1.他要想获胜，那么不能让乙的两个格子里的数字和达到10.甲有两种选择：削弱乙，或填无关格.若甲选择削弱乙，那么只能把剩下最小的2放在乙的格子中，此时乙只要选8，那么就是平局.为了避免乙拿到8，那么甲只能把8填入无关格.（3）甲把8放入无关格.此时乙有两种选择：增强自己，填无关格.如果增强自己，选7，那么甲必然会把2放入乙的格子.因此乙只能先把2放入无关格.第9级上优秀A版教师版7\n以此类推.(乙，2，无关)->(甲，7，无关)->(乙，3，无关)->(甲，6，无关).这时无关格已经填满，只剩下4,5两个数给乙，甲胜.若甲第一步选择削弱别人，有同样的思路.这时是乙的关键格有10分，甲有11分.7.甲乙两人轮流在黑板上写3～8之间的正整数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何约数都不能是黑板上已写的数.最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数，那么谁能胜？必胜策略是什么？3～9呢？【分析】3～8，乙胜，可分组，（3、6）、（4、8）、5、7，甲取3或4，乙就对应取4或3，能写的只剩下5、7，乙胜；甲取6或8，乙就对应取8或6，剩下没关系的3、4、5、7，乙胜；甲取5或7，乙取7或5，下面还是对称的，所以乙胜.3～9，甲胜，先写9，剩下的就相当于乙先写3～8，甲胜.知识点总结对策问题的3个最基本要素：①局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者．他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人．局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞争的各个阵营．只有两个局中人的对策问题为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为“多人对策”．②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略．③一局对策的得失．在一局对策中，必有胜利者和失败者．比赛成绩的好坏，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系．家庭作业1.桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～4根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？【分析】乙胜，和对方凑52.右图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子．甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下，向右走一格．如图中棋子可以走入A、C两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？ACB8第9级上优秀A版教师版\n第14讲【分析】一共差8个格，每次走一个格，所以肯定要走8次，肯定乙赢.3.右图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子．甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下，向右或向右下走一格．如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜．如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？AA66CBCB656644654344224321【分析】法1（奇偶，重点）甲先走到B处，还需向下走4格，向右走2格，都是偶数，接下来甲保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲必胜法2（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入方格1周围的三个方格2中．若想达到此目的，倒数第三步必须走到两个标“3”的方格中；倒数第四步必须让对方走到两个方格3附近的6个方格4中；倒数第五步则必须走到标“5”的方格中；依次类推，倒数第六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到方格B中．而棋子可一步走到方格B中，因此先走的甲有必胜的策略：甲第一步先走入方格B中，若乙走入方格6中，则甲第二步走入方格5中；若乙走入方格4中，则甲第二步走入方格3中．下一步乙只能走入方格4或方格2中，甲第三步就走入方格3或方格1中．甲走入方格1中即获胜；若甲走入方格3中，乙只能走入方格2中，甲第四步走入方格1中获胜．因此，甲就必胜．4.甲、乙两人玩数字游戏，他们轮流用1～9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被9整除，则甲胜;如果不能被9整除，则乙胜.甲先填，谁有必胜策略？【分析】甲，因为甲写最后一个数字，1～9中必有一个能让数字和是9的倍数，所以甲胜.5.一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2、3、4、……、1000，两人轮流擦去其中的一个数，由小明先擦，小聪后擦，若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．【分析】小明有，只要小明一直擦奇数，直到将奇数擦光，因为整个游戏当中，小明要擦499个数，而黑板上恰好有499个奇数，所以一定能将所有奇数擦光，最后剩下两个偶数，它们一定不互质．6.巍巍、涛涛两人用28个球进行取球比赛．比赛的规则是：巍巍、涛涛轮流取球，每人每次可以取1个、2个或5个，取最后一个球的人胜利．问：①若巍巍先取，巍巍为了取胜，他应采取怎样的策略？②若巍巍先拿了2个球，涛涛为了必胜，应当采取怎样的策略？【分析】1+2=3,1+5=6，于是巍巍凑3的倍数就行了，①28-27=1，所以巍巍先拿1个球，之后每次都和对方凑3的倍数就OK了，②还剩下26个球，26-2=24，26-5=21，所以涛涛拿2个球或者5个球都行，都剩下3的倍数，之后涛涛每次都和对方凑3的整数倍就行了.第9级上优秀A版教师版9\nA版学案【学案1】桌子上放着55根火柴，巍巍、涛涛二人轮流每次取走1～3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，巍巍先取，那么谁将获胜？【分析】采用逆推法分析．获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1、2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜．现在桌上有55根火柴，554133，所以只要巍巍第一次取走3根，以后每一次，涛涛取几根，巍巍就取4减几根，使得每次巍巍取后剩下的火柴根数都是4的倍数，这样巍巍必胜．思考：为什么一定要留给对方4的倍数根火柴，而不是5的倍数根或者其它数的倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，134，这样涛涛每次取a根，而巍巍取4a根，能保证4a也在1～3的范围内．【学案2】如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格．二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者．问必胜的策略是什么？【分析】法1（奇偶）：先走者胜，可知每走一步，行或者列要走一个奇数格，那么现在距离胜利剩9行9列，可以先走一步对角线，现在差8行8列，对方无论怎么走，一定会让行或者列差奇数个，先手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了.法2（选讲）：采用倒推法分析．要想占领下图左下角的O点，就必须先占领图中的A、B、C三点之一．因为：⑴如果你占领了A点，按照游戏规则，对方只能向下走一步，O必然被你占领．⑵如果你占领了C点，按照游戏规则，对方只能向左走一步，O点同样被你占领．⑶如果你占领了B点，按照游戏规则，对方只能向左、向下或向左下对角线走一步．若向左走一步，你可占领A点，可以获胜；若向下走一步，你可占领C点，也可以获胜；若向左下对角线走一步，你可继续向左下对角线走一步而到达O点．10第9级上优秀A版教师版\n第14讲BAOC下面继续倒推，采用同样的方法分析出：要想占领A点，就必须占领D、E、B三点之一；要想占领B点，就必须占领E、F、G三点之一；要想占领C点，就必须占领B、G、H三点之一．如图所示．DEFABGOCH依此类推，即可找出应该抢占的所有“制高点”，见下图，只要你占领了一个“制高点”，不管对方怎样走，你都可以去占领下一个“制高点”．O所以必胜的策略是：(1)先走，将棋子向左下对角线走一步，到达一个“制高点”．(2)对方每走一步后，你都设法去占领下一个“制高点”(“制高点”如图中的黑点所示)，而最终先到达O点．【学案3】甲、乙两人玩数字游戏，甲先乙后，他们轮流用1~9中任一数字（数字可重复使用）代表五位数ABCDE中的一个，如果最后这个五位数能被4整除或者被4除余1，则甲胜；如果被4除余2或余3，则乙胜.谁有必胜策略？【分析】被4除只跟D、E有关，而且无论D怎么填，E都可以决定最终的余数；无论E怎么填，D也都可以决定最终的余数，所以，不能抢先填D和E，于是甲乙先填ABC，而乙没得填，只能在D或E中选一个填，甲胜.【学案4】99张卡片上分别写着1～99．甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去．若最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜．问：甲要想获胜应该怎样抽取卡片？【分析】甲抽１，把剩下的数两两分组为2,3，4,5，…，98,99，无论乙抽何数，甲都抽同组第9级上优秀A版教师版11\n中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻，必定互质，甲胜．点评：从上面的分组方法可以看出，甲第一次不一定要抽1，实际上第一次他可以抽其中的任何一个奇数，然后把剩下的数每相邻的两数分为一组即可．12第9级上优秀A版教师版
