第5讲第五讲质数与合数初步知识站牌五年级秋季五年级暑假因数与倍数初步质数与合数进阶五年级暑假质数与合数初步四年级春季整除特征进阶四年级秋季整除特征初步质数与合数概念、100以内质数，大质数判断法特殊质数的性质漫画释义第9级上优秀A版教师版1\n课堂引入你听说过最近风靡欧美的一部电影《质数的孤独》吗？它是改编自意大利八零后作家、粒子物理学博士保罗·乔尔达诺的处女作。2008年该书刚出版就获得了意大利最高文学奖斯特雷加奖，并迅速成为欧美超级畅销书，迄今在欧洲销量已超过700万册。同名电影于2010月在威尼斯电影节首映，好评如潮。电影中最经典的一句话是：“质数只能被1和它自身整除，它们是特殊的数字，多疑和孤独，质数当中还有一些更特别的成员，数学家称之为‘孪生质数’，它们是离得很近的一对质数，几乎彼此相邻，比如11和13,17和19，可是‘孪生质数’无法亲密接触，因为总有一个偶数，挡在了它们中间。”作者根据质数的特点，特别是孪生质数的特点，将电影的主人公艾丽思和马蒂亚看成两个孤独的质数。那么什么是质数，质数有什么样的特点？为什么质数是孤独的？在学完本讲之后再去看这部电影或小说，你能更深刻地理解这部电影。那么让我们首先从什么是质数与合数讲起！教学目标1.充分理解质数合数的概念并熟记100以内的质数2.熟练掌握大质数判断方法，能判断一个数是否是质数3.灵活运用特殊质数（2、3和5）的特性来解决与其相关的数论问题经典精讲1．质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意.2．判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q(均为整数)，使得q能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我2们可以先找一个大于且接近P的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P，如没有能够整除的，那么P就为质数.例如：149很接近1691313，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11、13整除，所以149是质数.2第9级上优秀A版教师版\n第5讲例题思路模块1：例1-2，质数合数概念及熟记100以内质数模块2：例3，大质数的判断方法模块3：例4-5，特殊质数2、3、5的特性例1（1）填空题1．质数有个因数，合数至少有个因数，1有个因数.2．正整数可以分为、和合数三类.3．最小的质数是，最小的合数是.4．1既不是也不是，唯一的一个既是偶数又是质数的数是.5.111是（填2、3或5）的倍数，因此111是（填质数或合数）（2）选择题1．下列说法中正确的是…………………………………（）（A）合数都是偶数（B）质数都是奇数（C）自然数不是质数就是合数（D）不存在最大的合数2．两个质数相乘的积一定是……………………………（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数3．凡9的倍数一定是…………………………………（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数（学案对应：学案1）【分析】（1）1.2312．1质数3.244.质数合数25.3，合数（2）1.D2.D3.D例2（1）小于100的质数一共有多少个？请将它们都写出来。（2）下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字从第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．（3）如图，三张卡片上各印有一个数字。从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选1次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？第9级上优秀A版教师版3\n(学案对应：学案2)【分析】（1）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个（2）按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；1516171819202122232425262728九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．（3）只选一张卡片：7;只选2张卡片：有79、97、67、89;选3张卡片：因为其数字和为24或21.无.所以一共可以组成5个质数.想想练练：著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，12=5+7。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。【分析】逐一试验，可知：10039711891783297141594753为所有符合条件的情况，所以共6种。完美无缺——完美数早在2000多年前的古希腊，人们就发现自然数6和28具有如下奇妙的特征：除本身以外的所有因数之和恰好等于该数。即1+2+3=6,1+2+4+7+14=28具备这种特征的自然数叫做完美数（也叫完全数）完美数的发现是毕达哥拉斯学派的卓越贡献之一。中世纪的神秘主义者甚至将完美数披上了神秘的迷信色彩，它们把完美数6和28视为上帝的基本数字，认为它们是宇宙的一部分。其证据是世界万物是在6天之内创造完成的，而月亮的周期是28天。数学家们还在完美数中发现了如下令人惊叹的特征：（1）6=2+212；28=2+2+2234；496=2+2+2+2+245678（2）完美数的全部因数的倒数和等于2：11111111116：+++=2；28++++：+=2123612471428【完美数未解之谜】总共有多少个完美数？有没有奇完美数？（至今没有发现一个奇完美数）4第9级上优秀A版教师版\n第5讲例3在19、111、125、181、197、2009、2013这七个数中，质数有多少个？（学案对应：学案3）【分析】111,2013是3的倍数，125是5的倍数，2009是7的倍数，19是常见的质数，181、197容易检验知也是质数，所以在这些数中有3个质数。想想练练：您能快速说明222231111是质数还是合数吗？【分析】222231111的数字和是15，是3的倍数，所以是合数。例4(学生版中只有1--3)（1）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？（3）如果三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？（4）三个数pp,1,p3都是质数，它们的和的倒数是多少？（5）已知p、q都是质数，且3p7q41，则p与q的和是多少？（6）已知p、q都是质数，并且p11-q932003，则p与q的乘积是多少？（7）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？25（8）已知p是质数，p1也是质数，求p1997是多少？（9）图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻两质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻两质数之积填在下行方格中．甲填“和数”5812...............质数列23571113...8997乙填“积数”61535...............问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?pqpq（10）已知pq,为质数，mn,为互不相同的正整数，pmn，qmn，则的值是多少？nmmn（1）因为25是个奇数，奇等于偶+奇，但是质数中只有2是偶数，所以另一个是25-2=23（2）因为29是个奇数，奇等于偶+奇，但是质数中只有2是偶数，所以另一个只能是29-2=27，但是27不是质数，所以不存在！（3）因为40是偶数，等于偶+奇+奇或是偶+偶+偶，但是只有2是偶质数，所以只能是偶+奇+奇，所以40=2+7+31（4）p与p+1和p+3奇偶性不同，所以p只能是2，另外两个是3和5，所以它们的和的11倒数是23510（5）根据题意p,q中必然有一个偶质数2，，当p2时，q5，当q2时，p9,不符合题意，所以pq257第9级上优秀A版教师版5\n（6）本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么p和q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能q是2，解出p=199,p×q=398。（7）因为16是个偶数，偶等于偶+偶或是奇+奇，但是质数中只有2是偶数，所以只能是奇+奇，所以是3+13或是5+112222（8）P是质数，P必定是合数，而且大于等于4．又由于P1是质数，P大于等于4，P12一定是奇质数，则P一定是偶数．所以P必定是偶质数，即P2．55P1997219973219972029（9）质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．（10）由于qmn，且q为质数，所以m,n中必然有一个是1.又由于pmn，而m，n中有一个是1，则另一个数必然是2.所求算式为轮换对称式，不妨设n>m.当m=1,n=2时，pq32pq3231p=3,q=2.此时。mnnm21123例5（1）已知pp,1,p2均为自然数，pp,1均不是3的倍数，p2是不是3的倍数？pp（2）已知p为一个大于2的自然数，且21为质数，则21是质数还是合数？（3）已知pp,2,p4均为质数，则p是多少？（4）9个连续的自然数中最多有几个质数？（5）已知pp,12,p24,p36,p48都是质数．则p是多少？(学案对应：学案4)【分析】（1）相邻三个自然数中必有一个为3的倍数，所以p2是3的倍数（2）2p1，2p，2p1为相邻自然数，必有一个为3的倍数，2p1，2p，均不为3的倍数，所以2p1必为3的倍数，因此2p1为合数.（3）连续奇数或连续偶数中必有一个是3的倍数，pp,2,p4均为质数，质数中只有3是3的倍数。因此p3（4）9个连续的自然数中必有5的倍数，若质数中不含5，各位只能为1、3、7、9最多四个质数，如11,13，17，19.若含5，则个为不能为9（9为合数）可能为2、3、5、7或3、5、7、11或5、7、11、13，所以最多四个。（5）法1：PP,12,P24,P36,P48为公差为12的等差数列，考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53.这样的数只有一组.p为5法2：由12、24、36、48于除以5的余数分别为2，4，1，3所以，p，p12，p24，p36，p48这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余0的，也就是有5的倍数，而这5个数都是质数，那么只能是5。由于p12，p24，p36，p48都比5大，所以p为5。想想练练：菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、6第9级上优秀A版教师版\n第5讲陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，k3时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打√51729√71931√172941√193143√294153√374961475971√……循环质数如果一个质数，把它的最左边一位数移到最右边，你可以反复移动，直到又回到开始的那个数。如果其间产生的所有数都是质数，那最初那个数就叫做“循环质数”.例如：179→791→917这三个数都是质数，所以179(791，917)是循环质数。你还能找出一个三位循环质数吗？答案：113、199、337（只写一个最小的数其他数由其循环而得同一结果不列出，如131、311是最小的113循环而得，属于同一结果）附加题1.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?请写出一组。【分析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．或2，3，5，7，641，89(6252525.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数)2.用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．第9级上优秀A版教师版7\n【分析】除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．3.万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【分析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．4.有1个2n+1位整数，（n是整数，n1）,222231111是质数还是合数？n个2n个1222231111222231111【分析】的数字和为:2n+3+n=3n+3必然是3的倍数.所以一定是合n个2n个1n个2n个1数.5.4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油?【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8910111213)321(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴油重之和为19千克，瓶重之11和为2千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13212(千克)．⑵油重之和为22191972千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为132(千克)，442这与油重之和2千克矛盾．因此最重的两瓶内共有12千克油．6.将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是，如要求最大的质数尽可能的大，那么此时这个最大的质数为_____.【分析】要求最大的质数尽可能小，那么拆分的质数要尽量的平均.2001020，即这10个质数的平均数为20.那么其中最大的数不小于20，又要为质数，所以至少应为23.而由200238115可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5满足条件，所以符合题意的最大质数为23.现在要求最大的质数尽可能的大，则其他的质数要尽可能的小，假设均为2，则和为2×9=18最大的数为182，不是质数，不符合.最大的这个数为182-1=181，所以如果让最大的质数尽可能的大，那么此时最大的质数是为181.7.（1）写出10个连续自然数，它们个个都是合数．（2）写出100个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】（1）我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意连续截取10个即为答案．本题答案不唯一．8第9级上优秀A版教师版\n第5讲（2）如果m个连续自然数中，n+2,n+3,n+4,…(n+m+1),若n为2、3、4、…(m+1)的公倍数，(m+1)!符合条件，那么这m个数就都是合数．分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数…（m+1）的倍数，所以(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么100个连续的自然数可以是：101!2,101!3,,101!101杯赛提高写出7个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．知识点总结1.质数合数概念：质数：除了1和它本身，不再有别的因数。合数：除了1和它本身，还有别的因数。1既不是质数也不是合数2.25个100以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、973.特殊的质数2：唯一的偶质数，奇偶分析法3：被3整除的质数，余数判断法5：唯一个位为5的质数，尾数判断法4.构造连续合数（选讲）家庭作业1、判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。（）（3）7的倍数都是合数。（）（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（）（5）只有两个因数的数，一定是质数。（）【分析】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√2、将下列数按要求填入下图。第9级上优秀A版教师版9\n【分析】质数有：2、23、29、31、97；合数有：9、10、21、39、51、913、自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有个．【分析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．4、在23、123、145、157、197这五个数中，质数有多少个？【分析】123是3的倍数，145是5的倍数，19是常见的质数，157、197容易检验知也是质数，所以在这些数中有3个质数。5、两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【分析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。6、10个连续的自然数，那么其中最多有多少个质数？请列举出来。【分析】10个连续的自然数中必有5的倍数，若质数中不含5，个位只能为1、3、7、9最多四个质数，若含5，则个位不能为9（9为合数）,从2-11这10个连续的自然数中有2、3、5、7、11，最多5个A版学案【学案1】判断下列各题：（1）两个质数的积，一定是质数。（）（2）2是偶数也是合数。（）（3）1是最小的自然数，也是最小的质数。（）（4）除2以外，所有的偶数都是合数。（）（5）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是6。（）【分析】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√【学案2】有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）.从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数.请你将其中的质数都写出来.123【分析】因为三张卡片上的数字和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是质数10第9级上优秀A版教师版\n第5讲再看两张卡片的情形.因为1＋2=3，根据同样的道理，用1、2组成的两位数也能被3整除，因此也不是质数．这样剩下要讨论的两位数只有13、31、23、32这四个了，其中13，31和23都是质数，而32不是质数.最后，一位数有三个：1、2、3.1不是质数，2和3都是质数.所以，本题中的质数共有五个：2、3、13、23、31.【学案3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。【分析】四个质数乘积2357＝210；200到220的质数，因为210＝2357，所以2102，2103，2104，2105，2106，2107，2108，2109，21010都是合数，所以只需要判断2101中谁是质数即可，209和211中211是质数。【学案4】试找出5个公差为30的质数（提示：100以内可以找到4个）。【分析】这5个数分别为7，37，67，97，127.（第一个数和第四个数相差90，因此由提示可知，第4个数必为97）第9级上优秀A版教师版11
