小学数学讲义暑假六年级超常第12讲多次相遇与追及

第十二第十二讲多次相遇与追及知识站牌六年级寒假六年级秋季行程模块综合选讲变速问题六年级暑期多次相遇与追及五年级春季比例法解行程问题五年级寒假时钟问题总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题漫画释义第11级上超常体系教师版1\n课堂引入人与人的相遇是一种缘．不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘．缘会让来自不同世界的人走到一起．例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一种体验，而且还是精神上的一种拥有．为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！教学目标1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别经典精讲一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题相遇甲乙共走甲共走的乙共走的相遇甲乙共走甲共走乙共走次数的路程和路程路程次数的路程和的路程的路程11MN122M2N233M3N244M4N355M5N366M6N……………………n2n1(2n1)M(2n1)Nn2n2nM2nN二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的S-T图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略．在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题．2第11级上超常体系教师版\n第十二例题思路模块一：柳卡图例1：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例2：两次相遇与追及的应用例3：多次相向的相遇与追及的应用例4：多次同向的相遇与追及的应用例5：多次相遇与追及的规律的正反应用模块三：多次相遇与追及的综合运用例6：上下坡与多次相遇与追及的综合运用例7：流水行船与多次相遇与追及的综合运用例8：人追队伍与多次相遇与追及的综合运用例1如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A、B、…、G表示，问：38915162124甲CEAGBF乙4612182024D（1）A点到甲地的距离为米；（2）B点到甲地的距离：B点到乙地的距离=：；（3）C点到乙地的距离为米；（4）F点到G点的距离为米（提示：F点到甲地的距离减去G点到甲地的距离）．（学案对应：带号1）【分析】（1）30；（2）5:2；（3）60；（4）20第11级上超常体系教师版3\n例2（超常（1）~(4)、（7））⑴甲、乙两车分别从AB,两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两车相遇后继续行进，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．⑵甲、乙两车同时从A地出发同向而行去往B地，甲车的速度是乙车速度的1.5倍，在AB,两地间做往返运动．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．⑶甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距B地20千米处相遇，则A、B两地间的距离是千米．⑷甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地60千米处相遇，则A、B两地间的距离是千米．⑸甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距B地60千米处相遇，当甲乙第三次相遇时，距A地千米．⑹如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米．求这个圆的周长．DABC⑺小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．（学案对应：超常1，带号2）【分析】⑴方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）21ACDEFB因此甲、乙两地间的距离是5025125（千米）4第11级上超常体系教师版\n第十二方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）034AB02631因此甲、乙两地间的距离是50()125（千米）55⑵方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）21ACDEFB因此甲、乙两地间的距离是5025125（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）046AB023631因此甲、乙两地间的距离是50()125（千米）55⑶3032070（千米）⑷(30360)275（千米）⑸AB,两地间相距80360180千米．当第三次相遇时，两车所走路程和是5个全程，那么其中甲车走了805400千米，400180240，所以距A地40千米．⑹第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的3倍，那么从A经过C到D的距离，应该是从A到C第11级上超常体系教师版5\n距离的3倍，即A到D是803240(米)．那么圆周上A到B的距离是24060180(米)．圆的周长为1802360(米)．⑺由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．则甲、乙两地的距离为(336)27.5千米；王李甲乙AB王李甲乙AB②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633千米，小李走了639千米，两人的速度比为3:91:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．例3甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车3速度的，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千米(注:当7甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？（学案对应：超常2）20132012ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V3:7，甲乙甲乙设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(201221)312069(份)，120691012069，所以第2012次相遇地点是在从A地向右数9份的C点，第2013次相遇时，甲继续向右数6份即可，到达D由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是120410300(千米)．6第11级上超常体系教师版\n第十二例4电子玩具车A与B在一条轨道的一端同时出发，同向而行，在轨道上往返行驶．已知A比B的速度20122013快50%，而且根据推算，第2012次相遇点与第2013次相遇点相距58厘米，那么这条轨道长厘米．【分析】A、B两车速度比为150%:13:2，如图将轨道等分为5等份，则两车每合走1个全程电子玩具车A就走了其中的3份，那么电子玩具车A在轨道上的位置与行程份数被10除所得的余数对应如图：01234598762012由于两车出发时是同向而行，所以每合走2个全程两车就相遇1次，那么第2012次相遇20122012时，电子玩具车A行驶了322012份距离，由于2012的末尾数字为6，所以20122012322012被10除所得的余数为6，所以第2012次相遇点，在“4”所对应的位置；20132013同理，由于3220138mod10，可以知道第2013次相遇点的位置在“2”所对应的位置．由于这两次相遇点相距58厘米，所以这条轨道长58425145(厘米)．法国数学家柳卡·斯图姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士.他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献.在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上.问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们.尽管为此问题大家进行了广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题.这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”.下面介绍的是柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．如下图：第11级上超常体系教师版7\n例5乌龟与小白兔赛跑，比赛场地从起点到插小旗处为104米，比赛规定，小白兔从起点出发跑到插小旗处马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去.已知小白兔每秒跑10.2米，乌龟每秒跑0.2米，如果从起点出发算第一次相遇，问：⑴出发后多长时间它们第二次相遇？⑵第三次相遇点距起点多远？⑶从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远？⑷乌龟爬到50米时，它们共相遇多少次？（学案对应：超常3，带号3）【分析】⑴第二次相遇是在小白兔返回时，迎面相遇.用时为：210410.20.220（秒）即出发后20秒它们第二次相遇.⑵方法一：由于小兔和乌龟的速度比是10.2:0.251:1因此走完全程所用的时间比是21:51，画柳卡图如下：因此第三次相遇距起点1044.16（米）(513)2方法二：第三次相遇是小白兔比乌龟多跑一圈后追上乌龟的时候，用时为：210410.20.220.8（秒）即第三次相遇点距起点10.220.810424.16米.⑶方法一：根据下面的柳卡图得知从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了42104()4（米）484250方法二：第四次相遇是小白兔第二次与乌龟迎面相遇，与上一次迎面相遇相差时间为：210410.20.220（秒）这段时间乌龟爬了：200.24（米）即从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了4米.⑷乌龟爬50米用时为：500.2250（秒）这段时间小白兔共跑了：25010.22550（米）在乌龟没到小旗处之前，小白兔每104米中都会与乌龟相遇一次，因为25501042454，即2550米中有24个完整的104米，所以起码要相遇24次，而第24次是迎面相遇，说明最后的54米兔子是从起点开始跑的，又追上乌龟，因此它们共相遇24125次.02468101201357911518第11级上超常体系教师版\n第十二例6男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B)．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？【分析】方法一：柳卡图法0162532ACDB06102235如上图所示，A为坡顶，B为坡底，从A到B的方向表示下坡，从B到A的方向表示上坡，折线图向右的方向的距离表示上(下)坡的时间．1111根据题意，男、女运动员下坡、上坡的时间比为:::6:10:10:15，男运动员跑的路5332线为实线，女运动员跑的路线为虚线，从图中可以看出，两人第一次迎面相遇在C，第二次迎面相遇在D，所以需要求D到A的距离．根据几何中的相似三角形性质，可得D到A的距离与到B的距离之比等于(2516):(2210)9:123:4，而A、B之间的距离为110米，所以D到A的距离为31111047(米)，故第二次相遇的地点距A点47米．3477方法二：方程法．设第二次迎面相遇的地点离A点x米．由于第二次相遇时男运动员走了一个下坡、一个上坡和x米下坡，女运动员走了一个下坡和110x米上坡，可得方程：110x110110110x533211解得x47，即第二次迎面相遇的地点离A点47米．77例7一条大河，水由A港流向B港，流速4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停的在A、B之间往返航行，甲船在静水中的速度是28千米/时，乙船在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第五次迎面相遇的地点相距50千米，那么A、B两港相距千米.（学案对应：超常4）【分析】根据题意得V:V:V:V32:24:24:164:3:3:2，设A、B两个港口间的距离为甲顺甲逆乙顺乙逆[4,3,2]12，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示.乙船行走的路线用虚线表示．第11级上超常体系教师版9\n0710142021ANMB0341014172431则A、B两港相距50()240（千米）．98例8A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有千米．（学案对应：带号4）【分析】设甲从游行队伍队尾追到队头行x千米，从队头返回队尾行y千米．据题意，可列方程组：5x4y22.45.6x5.6，解得2x2y5.6y2.8当乙行BC5.6千米时，甲行了5个x，4个y，那么，甲的速度是乙速度的5x4y5.65.652.845.67倍．当乙行CD时，甲又行了2个x，2个y，则CD2x2y75.622.8272.4（千米），所以，ADABBCCD22.45.62.414.4（千米）．10第11级上超常体系教师版\n第十二四龟问题四只乌龟在边长为3米的正方形四个角上，以每秒1厘米的速度同时匀速爬行，每只乌龟的爬行方向时刻指向另一只．问：经过多少时间它们才能在正方形的中心碰头？答案：对于任意一只乌龟A，它始终朝着它面对的那只乌龟B爬行，因此无论如何，A与B的距离都是以1cm/s的速度在减小的，一开始两者距离是3m，所以就是300s之后，两只乌龟的距离变成0，即碰头．附加题1.A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？AB048121620242832【分析】甲、乙的运行图如上，图中实线表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在30分钟内，两人共行了(15060)306300(米)，相当于6个全程又300米，由图可知，第3次相遇时距离B地最近，此时两人共走了3个全程，即100033000(千米)，1001006000用时300015060(分钟)，甲行了60(米)，77760001000相遇地点距离B地1000143(米)．772.甲、乙两人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米，每人都走了6.5分钟．那么这段时间内他们共相遇了（迎面或同向）多少次？【分析】甲行全程用180290秒，乙行全程用1802.572秒．画出柳卡图：03672108144180216252288324360甲乙由图得，一共相遇5次．第11级上超常体系教师版11\n3.A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由A地出发，在A、B两地往返锻炼．甲步行每分钟40米，乙跑步每分钟150米，40分钟后停止运动．甲、乙两人第几次迎面相遇相距B地最近？最近距离是多少米？【分析】显然，第二次迎面相遇（O点）相距B地最近，AOE和COD是相似的，h占16份，1h占3份，则最近距离为9501633150米．2E0246810121416182022242628303234363840Ah1Oh2B0246810121416182022242628303234363840CD4.甲乙两人都从A地去往B地，甲先出发1小时后乙再出发．结果乙比甲提前1小时到达B地，问：乙在什么地方追上甲？【分析】由图可看出，乙在A,B中点处追上甲．1hBA甲乙5.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用柳卡图来分析较为简便．ADENMBCF如图，箭头表示水流方向，ACE表示甲船的路线，BDF表示乙船的路线，两个交点M、N就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同．那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了10020240(千米)和1004060(千米)，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为432312(米/秒)，那么两船在静水中的速度为12210(米/秒)．12第11级上超常体系教师版\n第十二6.(2004年俄罗斯数学奥林匹克)从花城到太阳城的公路长12千米．在该路的2千米处有个铁道路口，是每关闭3分钟又开放3分钟的．还有在第4千米及第6千米有交通灯，每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要分钟．【分析】画出反映交通灯红绿情况的st图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是0.5千米／分钟，此时恰好经过第6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要24分钟．知识点总结多次迎面相遇规律1.相向而行：第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n1个全程（n为正整数）2.同向而行：每相遇一次都要合走两个全程，因此第n次相遇，两人合走2n个全程（n为正整数）家庭作业1.如图，甲、乙两人同时从相距70米的A地同向出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米？06812AB03491262【分析】70()40（米）6125第11级上超常体系教师版13\n2.甲、乙两车同时从AB、两地相向出发，第一次在距A地3000米处相遇．相遇后两车继续前行，各自到达目的地后立即返回，在距A地500米处第二次相遇．AB、两地相距（）米．【分析】两人第一次相遇共同走了一个全程，第二次相遇共同走了三个全程，第二次相遇所用时间是第一次相遇时间的三倍．甲第一次相遇时走了3000米，第二次相遇时走了3个3000米即9000米．甲一去一回走了9000米后离出发点还有500米，即两个全程的长度是9000+500=9500米，一个全程的长度是4750米．3.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A、B两点间的距离为多少米？101100ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V180:2403:4，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4甲乙甲乙份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(10021)3597(份)，5977852，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(10121)3603(份)，6037861，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是16047280(米)．4.甲、乙两车同时从A地出发同向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车3速度的，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距120千7米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？20132012ADCB【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此S：SV：V3:7，甲乙甲乙设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2012次相遇时，甲走：(20122)312072(份)，120721012072，所以第2012次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第2013次相遇时，甲继续向左数6份即可，到达D由图看出CD间距离为6份，A、B两地之间的距离是120610200(千米)．14第11级上超常体系教师版\n第十二5.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？【分析】甲游全程用30130秒，乙游全程用300.650秒，画出柳卡图：0306090120150180210240270300甲乙030609012015018021024027030021分钟一共1260秒，一共相遇84133次．6.男、女两名运动员在长350米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，两人同时从坡顶出发，在AB、间往返奔跑，已知速度如图14-7所示，那么男运动员第二次追上女运动员的位置距坡顶多少米？【分析】令坡长为30份，上下坡时间分别为男：10,6，女：15,10．画柳卡图如下：1625329610061022353885864第二次追上的位置如图第二个圈，根据比例关系可知离坡顶距离为350280米．57.一条大河，水由A港流向B港，流速4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停的在A、B之间往返航行，甲船在静水中的速度是28千米/时，乙船在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第三次迎面相遇的地点相距40千米，那么A、B两港相距千米.【分析】根据题意得V:V:V:V32:24:24:164:3:3:2，设A、B两个港口间的距离为甲顺甲逆乙顺乙逆[4,3,2]12，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示.乙船行走的路线用虚线表示．0710142021AMNB0341014172413则A、B两港相距40()240（千米）．29第11级上超常体系教师版15\n8.甲、乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需4分钟，乙行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意．问：当两人第15次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？11【分析】为了计算简便，我们把一圈看成“1”，则甲的速度为，乙的速度为，把整个过程分两个47阶段考虑．5①甲走10圈时，共用了10×4=40分钟，这段时间乙行了4075圈，每当甲比乙多走7521圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完10圈时，比乙多走了1054圈，两人共击772掌4次，此时，甲、乙两人相距圈；72118②甲反向行走后，经过分钟，两人第一次相遇，还应再相遇154110747111128（次），以后两人每相遇1次便合走一圈，即相遇事件发生的时间间隔为14711285分钟，经过1025分钟，两人最后一次相遇，此时甲一共走了111185224009402566分钟，乙走了663781米．11111111711超常班学案【超常班学案1】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？【分析】方法一：3002403024006.75(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4，设全程为9份．①如图所示，甲走路线用实线表示，乙走路线用虚线表示．第一次相遇甲行5份，乙行45份，所以第一次相遇地点距A地是全程的．9②第二次相遇时两人共行了3个全程，甲行的距A地93593份，所以第二次相遇1地点距A地是全程的．3③第三次相遇时两人共行了5个全程，55927甲行的距A地7份，所以第三次相71遇地点距A地是全程的，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是2400800(米)．9316第11级上超常体系教师版\n第十二方法二：柳卡图法，其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点．由图可以看出两人共相遇了3次，其中第2次距A地最近，最近距离为D到A地的距离，由图看出MNPQ:6:121:2，根据沙漏模型DADB:1:2，所以最近距离为12400800(米)．3【超常班学案2】电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行，在轨道上往返行驶．已20122013知A比B的速度快50%，而且根据推算，第2012次相遇点与第2013次相遇点相距58厘米，那么这条轨道长厘米．【分析】A、B两车速度比为150%:13:2，如图将轨道等分为5等份，则两车每合走1个全程电子玩具车A就走了其中的3份，那么电子玩具车A在轨道上的位置与行程份数被10除所得的余数对应如图：0123459876由于两车出发时是相向而行，所以第1次相遇时两车合走了1个全程，以后每合走2个全20122012程两车就相遇1次，那么第2012次相遇时，电子玩具车A行驶了3220121份20122012距离，由于2012的末尾数字为6，所以3220121被10除所得的余数为3，所以2012第2012次相遇点，在“3”所对应的位置；20132013同理，由于32201315mod10，可以知道第2013次相遇点的位置在“5”所对应的位置．由于这两次相遇点相距58厘米，所以这条轨道长58535145(厘米)．第11级上超常体系教师版17\n【超常班学案3】兔、龟在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当它们在途中迎面或同向相遇了12次时，龟正在跑第___个单程.【分析】龟兔跑单程的时间之比为3:1，画出柳卡图：0123456甲乙01234566份的时间为一个周期，一个周期中它们相遇6次，如果它们相遇12次说明差点到2个周期．则龟正在跑第4个单程．【超常班学案4】一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中速度是20千米/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两港口的距离.【分析】根据题意得V甲顺:V甲逆:V乙顺:V乙逆32:24:24:164:3:3:2，设A、B两个港口间的距离为[4,3,2]12，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示.乙船行走的路线用虚线表示，两船第二次迎面11相遇地点为M,甲船第二次追上乙船在N点，所以全程为40()240（千米）23071014202128303540424950MN03410141724313438444552123班学案【超常123班学案1】甲、乙两车都从A地到B地.甲车比乙车提前30分钟出发，行到全程的三分之一时，甲车发生了故障，修车花了15分钟，结果比乙车晚到B地15分钟.甲车修车前后速度不变，全程为300千米.那么乙车追上甲车时在距A地千米.【分析】根据题意甲中途修车15分钟，可以转化为晚出发15分钟，如图中虚线所示，所以转化为甲提前15分钟出发，晚到15分钟，所以乙在中点处追上乙，即距A地150千米处1515M151518第11级上超常体系教师版\n第十二【超常123班学案2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．问：甲车的速度是乙车的多少倍？【分析】如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程24相等，即AC2CB,推知ACAB.第一次相遇时，甲走了ABBCAB,乙走了332ACAB,所以甲车速度是乙车的2倍．3【超常123班学案3】甲、乙两车进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止．追上者为胜．已知：甲、乙的速度分别为每秒1.0米和0.8米，问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？（3）比赛过程中，两人同方向游了多长时间？62.5100187.5200甲乙50125150250【分析】（1）由图可知为250秒；（2）由图可知为4次；（3）62.550125100187.5150250200125（秒）．【超常123班学案4】（2012年第17届华杯赛初赛）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，且在A，B两地往返来回匀速行驶，若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B，而乙车只行驶了1小时就到达A，则两车第15次（在A，B两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时．【分析】（小心看题，注意括号里的字“在A，B两地相遇次数不计”．）设甲的速度为v，乙的速度为v，第一次相遇时间为t，121vt1v112vt4v211两个式子，左边除以左边，右边除以右边v1v2v121v11有：4，（），=vvv4v22122从出发到第一次相遇，甲乙两车合走一次全程，用时t=2（小时）1方法一：柳卡图：由于甲乙速度比是1:2，那么甲乙分别行完一个全程用的时间比是2:1，画柳卡图如下(其中甲所走路线用实线表示，乙所走路线用虚线表示):第11级上超常体系教师版19\n甲乙合走一个全程用时2小时，因此甲单独行一个全程用时6小时，由图可知每4份时间相遇2次，因此第14次相遇用时47384（小时），所以第15次相遇用时84286（小时）0134024方法二：如果没有括号里面的字，答案是就：4（151）258（小时）但是有了括号里的字之后，我们发现从出发开始每过3小时，乙车就要到达A点或者B点一次，下面我们把每次相遇的时间列出来：2,610,14,182226,30，，，……发现每3次相遇中就有一次是3的倍数，3所以真正的时间就是：4（151）286（小时）220第11级上超常体系教师版