小学数学讲义暑假四年级超常第5讲追及问题

第5讲第五讲追及问题知识站牌四年级秋季四年级秋季火车过桥环形跑道四年级暑假追及问题四年级暑假相遇问题三年级春季路程、速度与时间简单追及问题；学会画线段图分析；相遇与追及综合漫画释义第7级上超常体系教师版1\n教学目标1.通过本节课的学习，使学生掌握“路程差÷速度差=追及时间”2.学会画线段图解决行程问题3.掌握行程问题里的解题思路和方法，并运用所学知识解决实际问题经典精讲1.追及问题的一般公式：追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间路程差=速度差×追及时间2.同向运动问题，也就是追及问题，追及问题的特征是：①甲、乙同时同地出发做同向运动，由于一快一慢，在一定时间后，快的甲会把慢的乙拉开一段距离.②甲、乙同时不同地出发做同向运动，但后面的甲速度快，因此在一定时间内会追上前方较慢的乙.③追及问题的解题要点：追及所需时间=路程差÷速度差．3.线段图是分析行程问题的重要工具．课堂引入龟兔第一次赛跑以兔子失败告终，它倍感失望，为此作了深刻的总结.它很清楚，如果不是它太骄傲，自我感觉良好，乌龟不可能打败它.因此，它再次邀请乌龟来另一场比赛，而乌龟也同意.这次，兔子让乌龟先爬了990米才开始追它，已知兔子每秒跑10米，乌龟每秒爬1米.如果兔子在途中不睡觉，请问它跑多少秒能追上乌龟呢？例题思路模块一：基本的追及问题例1：基本追及例2：改变时间的追及例3：不同情况下的追及问题模块二：追及问题拓展例4、例5：二次追及模块三：综合2第7级上超常体系教师版\n第5讲例6、例7：相遇转化为追及例8：变道追及例1大头儿子步行上学，每分钟行70米，离家12分钟后，小头爸爸发现大头儿子的文具盒忘在家中，小头爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追大头儿子.请问：(1)小头爸爸出发几分钟后追上大头儿子？(2)当小头爸爸追上大头儿子的时候，他们离家有多远？【分析】1.1270(28070)4(分钟)2.280×4=1120（米）例2甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？【分析】①4小时后相差多少千米：(340300)4160（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：1602340420（千米）．s、v、t探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间．那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下．同学们比较熟悉的可能是表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思．表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed．velocity表示物理学上的速度．与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的．关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示路程．经过了今天的讲解，同学们以后可不要再把s、v、t三个字母所表示的含义弄混了哦．第7级上超常体系教师版3\n例3A、B两地相距300千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时40千米.同向而行.(1)两车从A地同时出发，3小时后相距多少千米？(2)两车从A地同时出发，几小时后相距60千米？(3)两车从A地出发，乙车先走2个小时，然后甲车出发追它，问：甲车多久追上乙车？(4)两车分别从A、B两地同时出发，甲车多久追上乙车？(5)两车分别从A、B两地同时出发，多久后两车相距100千米？(6)两车分别从A、B两地同时出发，多久后两车相距1000千米？【分析】1.3×（50-40）=30（千米）2.60÷（50-40）=6（时）3.40×2÷（50-40）=8（时）4.300÷（50-40）=30（时）5.两种情况：200÷（50-40）=20（时）；400÷（50-40）=40（时）6.两种情况：（1000+300）÷（50-40）=130（时）；（1000-300）÷（50-40）=70（时）例4甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地．A、B两地间的路程是多少？【分析】由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：312（小时），乙车2小时行的路程是：40280（千米），甲车每小时比乙车多行的路程是：504010（千米），甲车所需的时间是：80108（小时），A、B两地间的路程是：508400（千米）．例5甲、乙二人在笔直的公路上练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？【分析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为1052（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于248（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度为：824（米/秒），甲的速度为：246（米/秒）．例6甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．(1)求A、B两地的距离。(2)如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点500米处相遇．甲晚出发了多少分钟？4第7级上超常体系教师版\n第5讲【分析】同时出发，相遇时甲多走602120(米)，相遇时间为120（8070）12(分)，因此甲、乙两地距离为（8070）121800(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：（18002500）7020(分)，甲用时：（18002500）805(分)，所以甲比乙晚出发20515(分)．例7早晨，小张骑车从甲地出发到乙地.下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下午两点时两人之间的距离是15千米，下午3点时，两人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨出发.【分析】法一：下午2:00的时候和下午3:00的时候，两人之间的距离都是15千米，由于小张先出发所以下午两点的时候，小张在前，下午三点的时候小王在前（小王开车，速度比小张快）则小王比小张每小时多行151530（千米）.下午4点时，小张和小王相距1530(43)45（千米），此时小王已经到达乙地，743，小张又骑了3个小时才到乙地，则小张的速度为45315千米/时，小王的速度为153045(千米/时)，则甲乙相距为45(41)135（千米），小张到乙地用了135159(小时)，所以小张是上午10点出发.法二：易知2点半2人相遇，而小王此时恰在中点，故小张也在中点，易知上午10点出发.例8某单位沿着围墙外面的小路，形成一个每边长300米的正方形。甲、乙两人分别从对顶角处沿逆时针方向同时出发（如图）。已知甲每分钟走100米，乙每分钟走70米，那么经过多长时间甲第一次看到乙？甲乙【分析】甲要想看见乙，一定是两人出现在同一条边上时，也即两人的距离不大于300米时，甲才有可能看见乙。现在两人相距600米，也即需要至少追300米，3001007010（分）10分钟以后，甲走了1000米，即走过3条边又100米，乙在甲前方300米处，显然两人不在同一条边。此时需要甲再追200米到达拐角，才能看见乙，因此还需要2001002（分）10212因此共需要（分）。第7级上超常体系教师版5\n正方形与小正方形小正方形边长为一米，大正方形的边长为一米半．大正方形的一个顶点正好在小正方形的中心，大正方形的边和小正方形的两条边相交，将它们分为三分之一和三分之二的两部分，求两个正方形重合部分的面积．分析与解：如图所示，阴影部分面积相等所以重复部分面积是小正方形的四分之一，为0.25平方米．附加题1.乌龟和兔子赛跑，同时同地出发，沿同一条路线前进，兔子每跑10分钟就要休息一次，第一次休息1分钟，第二次休息2分钟，第三次休息3分钟……乌龟一直不休息，兔子的速度是乌龟的2倍.在开始跑步后的分钟，乌龟第一次追上兔子.从开始跑步后的分钟之后，乌龟一直在兔子前面.【分析】当兔子休息的时间与跑步的时间第一次相等时，乌龟会第一次追上兔子，每次跑步时间不变，而休息时间是递增的，所以就看兔子每次休息的平均值就行了，休息平均值没到10分钟时肯定比跑步时间短（1）第19次休息之后恰好休息平均值是中间项10分钟，所以在第19次休息后恰好第一次追上兔子，现在是（10+10）×19=380分钟.（2）当兔子落后的距离10分钟跑步追不回来时，乌龟就一直在前面了，380分钟后，二者在一起，而兔子再休息就是20分钟了，相当于跑两次，也就是第380+10+20+10=420分钟时，兔子跑完了才追上乌龟，而兔子再休息就该21分钟了，跑两次都追不回来了，所以420分钟后，乌龟一直在前面.2.自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度.【分析】在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为（18+9）千米，而自行车所走的路程为（18－9）千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍=（18+9）÷（18－9）；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自6第7级上超常体系教师版\n第5讲行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12÷2=6（分钟）；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了.（18+9）÷（18－9）=3（倍），12÷（3－1）=6（分钟），9÷6=1.5（千米/分钟），1.5÷3=0.5（千米/分钟）.3.小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？【分析】5分钟后小新比正南多走了50230130（米），所以每分钟多走：130526（米），所以正南每分钟走：1002674（米/分）知识点总结1、追及问题的特征：同时、同向2、追及问题的一般公式：追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间路程差=速度差×追及时间家庭作业1.甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？【分析】两车的路程差是240千米，每小时快车可追上慢车906030（千米），240千米里有几个30千米，就需要几小时追上，追及时间是：240308（小时）．2.一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？【分析】关键是快车行至追及处所行的路程是多少千米．要想求出快车所行的路程，就要先求追及的时间．要想求出追及的时间，就要先求出路程差和速度差．即：慢车先行的路程是：405200（千米），快车每小时追上慢车的千米数是：904050（千米），追及的时间是：200504（小时），快车行至中点所行的路程是：904360（千米），甲乙两地间的路程是：3602720（千米）．3.小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？第7级上超常体系教师版7\n【分析】本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：726012（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是60125（分钟）．共整理报纸：5722720（份）4.一辆汽车和一辆摩托车分别从甲乙两地同时相对开出，摩托车每小时行54千米，汽车每小时行48千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？【分析】第二次相遇距中点108千米，说明两车共有1082216(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：216（5448）36(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用36312(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：（5448）121224(千米)．5.在一条公路的沿线有相距100千米的AB、两个城镇.甲、乙两车分别从两城同时开出.已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行30千米，且两车出发后不改变行进方向，几小时后两车相距200千米？【分析】若两车相向而行，需(100200)(7030)3（小时）；若两车同向而行，甲车在前，需(200100)(7030)2.5（小时）；若两车同向而行，乙车在前，需(200100)(7030)7.5（小时）；若两车背向而行，需(200100)(7030)1（小时）.6.小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发2小时后，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小王几小时可以追上小李？【分析】小李2小时走：13226（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人的路程差是26620（千米）．每小时小王追上小李15132（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：20210（小时）．7.军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？【分析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟）8.猎狗发现北边200米处有一只兔子正要逃跑，拔腿就追，兔子的洞穴在兔子的北边480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过这一劫吗？（填能或不能）【分析】能.假设猎狗可以追上兔子，那么追及时间是200(1813)40（秒），那么这个时候兔子一共跑了4013520（米），事实上兔子离自己的洞穴只有480米，也就是说兔子跑到洞穴的时候还没有被猎狗追上.8第7级上超常体系教师版\n第5讲超常班学案【超常班学案1】王芳和李华放学后，步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？【分析】已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了52212(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：7012840(米)，速度差为：1107040(米/秒)，王芳追上李华的时间是：8404021(分钟)【超常班学案2】刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【分析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．【超常班学案3】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？【分析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为2054(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4624(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：205646(米/秒)，小红的速度为：6410(米/秒)【超常班学案4】甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时后两车相遇，相遇后两车继续按各自的原速度向前行驶了3小时，这时甲车距B地还有135千米，乙车距A地还有30千米，乙车比甲车每小时多行多少千米？【分析】由题意可知：甲7个小时走了全程-135，乙7个小时走了全程-30，所以甲乙7个小时所走的路程差为135-30=105千米，故甲乙的速度差为105÷7=15千米/时。第7级上超常体系教师版9\n超常123班学案【超常123班学案1】A、B两地相距20千米，一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发同向而行，经过几小时两车相距30千米？【分析】有两种情况：两辆车方向是从A到B和从B到A，前一种情况时速50千米的车要追上另一辆并超过30千米，要203050405小时，后一种情况只要再拉开10千米距离就可以了，需要302050401小时。【超常123班学案2】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程．【分析】根据题意画出线段图：？千米乙AB乙2小时行从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为：34268(千米),追及时间为：68（3834）17(小时),A、B两地的路程为：3817646(千米).【超常123班学案3】甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？【分析】甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍乙甲终点起点128100米由图可知，甲跑1001288(米)，乙跑88896(米)，所以当乙跑8100108(米)时，甲跑：108968899(米)，即当乙跑到终点时，甲离终点还有100991(米)【超常123班学案4】某城市东西路与南北路交汇于路口A.甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A.甲向北，乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等.问：甲、乙二人的速度各是多少？（图1）10第7级上超常体系教师版\n第5讲北E·乙DFA东···A560米C·BB·甲图1图2【分析】甲速每分钟80米，乙速每分钟60米.理由：行走4分钟甲到C、乙到D.ACAD，可见甲、乙二人4分钟共行AB560米.（图2）（甲速乙速）4560米，所以甲速乙速140米/分（1）再行走24分钟甲到E，乙到F已知AEAF，所以甲28分钟行BE，乙28分钟行AF.因此甲28分钟比乙28分钟多行AB560米.即（甲速乙速）28560米甲速乙速20米/分（2）由（1），（2）知：甲速80米/分，乙速60米/分．第7级上超常体系教师版11