小学数学讲义暑假五年级第12讲分组与配对超常体系

第12讲第十二讲分组与配对知识站牌五年级春季五年级秋季从反面情况考虑几何计数进阶五年级暑假分组与配对四年级春季统筹与最优化四年级秋季等差数列进阶高斯求和；分组配对思想；计算，数论，计数等问题中的分组与配对漫画释义第9级上超常体系教师版1\n课堂引入我国历史上有许多以弱胜强的著名战例，齐魏马陵之战就是其中之一．公元前344年，魏国大举进攻韩国，齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国．孙膑并不直接出兵韩国，却采取了“围魏救赵”的策略，驱军直逼魏国的都城．魏将庞涓不得不回师迎战齐军．魏军一路追击齐军，庞涓看见齐军宿营地的灶一天天在减少，根据灶的数目可以推算出齐军的数目，断定齐军已经严重减员．便轻骑冒进，猛打穷追．殊不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计，结果庞涓中了齐军的埋伏，全军覆灭．如果不是孙膑制造假象设下陷阱，庞涓的思想是正确的．例如若一口灶供10人造饭，齐军有3万灶，便可推知齐军有30万人．生活中，我们习惯将牙刷与牙膏放在一起、将菜刀和砧板放在一起、将茶具和茶叶放在一起，当我们要使用这些东西的时候就会非常方便；而在数学中，我们习惯把1和9加到一起，把3和7加到一起，把2和5先相乘，那么计算起来也会非常便捷．其实上面这些例子体现了我们数学中一个非常重要的思想——分组与配对．之前学习等差数列的时候，我们曾经介绍过高斯将1至100按照（1,100），（2,99），…，（50,51）分成50组，每组相加都为101，再通过50×101＝5050来得出1＋2＋…＋100的和，高斯其实就是利用了分组配对的思想快速解决了复杂的计算．教学目标1.掌握分组与配对的思想2.灵活运用分组与配对，解决计数，数论等问题．经典精讲1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．例题思路模块1：例1-4：计算与计数中的分组配对．模块2：例5：应用题中的分组配对．模块3：例6-8：数论中的分组配对．2第9级上超常体系教师版\n第12讲例1计算：(1)1000999-998-997996995-994-993108107-106-105104103-102-101(2)（1351989-2）（461988）222222222222(3)10099989796959493432122222222(4)1005099499848511(学案对应：超常1)【分析】(1)原式=（1000999998997）（996995994993）（104103102101）900(2（)1351989-2）（461988）1（3-2）（5-4）（1989-1988）11（1989-1）21994995222222222222(3)原式=100999897969594934321=100999897969594934321=4×25=100(4)法1：直接配公式2222222222原式=100999851504912504911001012015051101=2=338350－85850=25250066法2：配对思想22222222原式=1005099499848511=100505099+495098485051150=(10099981)50505050252500法3：配对思想2222222222原式=10099198-297351-4950=100298100961009410021002500=(1009896942)1002500=255000－2500=252500例2如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965(学案对应：带号1)【分析】法1：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比较慢，这里不写具体过程）第9级上超常体系教师版3\n法2：先算出1到65的自然数和，再减去数列6，12，18，，60的和：（165）652（660）10221453301815法3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数．⑴第6列作为中间项，求和再乘以项数：（3132333435）111815⑵第3行为中间数列，求和再乘以项数：（39152127333945515763）51815法4：分组与配对．(1，65)，(2，64)，…，(32，34)，(33)，每组的平均数均为33，因此和33551815．例3由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个没有重复数字的四位数？这些四位数的和是多少？(学案对应：超常2，带号2)【分析】9个数字共可构成9×8×7×6=3024个不同的四位数．当存在符合条件的四位数abcd时，也一定存在另一符合条件的四位数(10a)(10b)(10c)(10d)，而这两个数之和为11110，因此所有符合条件的数之和为3024÷2×11110=16798320高斯的恩人在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要。当舅舅去世后，高斯不无伤感地说:“舅舅去世使我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。例4从1，2，3，4，5，6这6个不同的数中选出1个或若干个数，使选出的所有数的和为3的倍数．共有多少种不同的选法．【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和为6的方法与和为15的方法相同；和为9的选法与和为12的方法相同．(1)和为3的选法有1+2，3共2种；(2)和为6的选法有1+2+3，1+5，2+4，6共4种；(3)和为9的选法有1+2+6，1+3+5，2+3+4，3+6，4+5共5种；(4)和为21的选法有1种．共2×(2+4+5)+1=23种不同的选法．【铺垫】用30枚2分的硬币和8枚5分硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？4第9级上超常体系教师版\n第12讲【分析】30×2+8×5=100分．最多能构成100分的．在1到100中，若不能构成a分，则同样不能构成(100-a)分．因此只需要考虑50以内不能构成的币值即可．显然1，3两种币值不能构成．50以内的偶数均可构成．而这些数加5后可构成5，7，9，…，49中间的所有奇数．因此50以内不能构成的币值为1，3分．50以上不能构成的币值为100-1=99和100-3=97分．共有4种不能构成的币值．【巩固】从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有____种不同选法.【分析】因为1239192945，所以这9个数的和是3的倍数，因此，只需要剩下2个数之和是3的倍数即可.①从3、6、9中任选2个有3种不同选法.②从1、2、4、5、7、8中选2个，其和为3的倍数的有12，、15，、18，、24，、27，、45，、48，、57，、78，，即有9种不同选法.例5有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别99、113、125、130、144.其中有两人没有一起称过，那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克？(学案对应：超常3)【分析】本题考查配对思想.设四个人的体重为abcd,,,不妨设abcd，则(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)注意到99144113130243，由于四人两两称重最多称出6个体重（前提是4人体重两两不同），于是第六次称重的结果为243125118ab144ac130，还剩ad与bc的取值，由前面的方程组得，ad31为奇数，所以bd113cd99ad125，解得a78,d47，从而b66,c52，两人没一起称过，显然是和为118的两人，这只能是bc,，所以，这两人中较重的那人的体重是66千克.例6某大型活动共发行了100万张彩票，编号分别从000000至999999，如果彩票的前三位数字之和与后三位数字之和相等，则称这张彩票是“幸运的”．如：123006.证明：所有“幸运的”彩票编号之和是13的倍数．(学案对应：带号3)【分析】设abcdef是“幸运的”，则(9a)(9b)(9c)(9d)(9e)(9f)也是“幸运的”，而这两个数的和为999999.另外999999不能拆成2个相同的数之和，即不存在同组中的两个数相等的情况．因此所有“幸运的”编号之和为999999的倍数．999999是13的倍数．因此所有“幸运的”彩票之和是13的倍数．第9级上超常体系教师版5\n例7分母为328的所有最简真分数之和是多少？a328a【分析】当为最简分数时，也是最简分数．而这两个数之和为1.因此此题变为先求出3283283分子与328互质的数有多少个，再除以2即可．328241,与328互质且小于328的数328328有160个．所以和为160÷2=80.2241例8m111已知有一个最简分数可以写成1，试说明m是质数137的倍数.n23131(学案对应：超常4，带号4)m1111111【分析】我们要凑到137.于是我们想到1n234567131m137111111类似的n60613171306869m137137137137进而我们有，等式两边同时乘以131!n.n60613171306869131!m137nM，其中M是自然数.由于137是一个质数，且(131!,137)1，所以m是137的倍数.高斯智断瓶中线卡尔•弗利德里希•高斯（1777－1855年）是德国19世纪著名的数学家、物理学家。高斯不到20岁时，在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯接二连三的成功，邻居的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。一个阳光明媚的中午，小伙子们聚到一起冥思苦想，终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你一天到晚捧着书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”你知道高斯是怎么弄到瓶中线吗？答案：高斯无意地看到明媚的阳光，又望了望那个瓶子，从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟.人们好奇地睁大了眼，随着钱币“铛”的一声掉落瓶底，大家发现棉线被烧断了。6第9级上超常体系教师版\n第12讲知识点总结1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中，将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．家庭作业1.100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,…,第99个(按从小到大的顺序取),再把这50个数相加,和是多少？【分析】连续自然数中相邻两数差为1，100个数可以分成50组，第2，4，6，…，100个数之和比第1，3，5，…，99个数之和大50，由和差问题可知，第奇数个数之和为(8450-50)÷2=42002.下列数阵中有100个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【分析】法1：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比较慢，这里不再写具体过程）法2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列求和计算．首项111220（1120）102155，末项202129（2029）102245或者155（101）10245．这100个数之和（155245）1022000．按列算同上．法3：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和201002000．3.将自然数1，2，3，…，100依次无间隔地写成一个多位数：12345…99100，求这个多位数的所有数字之和．【分析】求数字和时，凑“9”是个关键的想法．分组如下：(1，98)，(2，97)，(3，96)，…，(49，50)，(99)，(100)．这样前50组每组的数字和均为18，最后一组和为1，数字之和为50×18+1=9014.从1，2，3，4，5，6中选取若干个数（至少选一个），使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数．因此选出和为3的方法与选出和为18的方法相同；和为6的方法与和为15的方法相同；和为9的选法与和为12的方法相同．(1)和为3的选法有1+2，3共2种；(2)和为6的选法有1+2+3，1+5，2+4，6共4种；第9级上超常体系教师版7\n(3)和为9的选法有1+2+6，1+3+5，2+3+4，3+6，4+5共5种；(4)和为21的选法有1种．但要求不是5的倍数．因此共2(2+5)+4+1=19种不同的选法．5.有五个重量都互不相同的箱子，每个的重量都小于100kg，将这些箱子两两组合一起称重，得到的结果分别为113,116,110,117,112,118,114,121,120与115kg.请问最重的箱子的重量为多少kg？【分析】设五个箱子的重量分别为a,b,c,d,e，且abcde．因为每个箱子都被算了4次，因此1131161101171121181141211201151156五个箱子的重量之和为289．44ab110另外，由题意可知ce120，因此c=289-110-121=58,进而得e=120-58=62．de121因此最重的箱子重量为62kg.6.某大型活动共发行了9999张彩票，编号分别从0001至9999，如果彩票的编号能被99整除，则称这张彩票是“幸运的”．如：0198.求所有“幸运的”彩票编号之和．9999【分析】在1-9999中共有101个99的倍数．其中0099+9900=0198+9801=…=4999+5000=9999.99因此所以“幸运的”彩票编号之和为(50+1)×9999=5099497.分母为1996的所有最简真分数之和是多少？a1996a【分析】当为最简分数时，也是最简分数．而这两个数之和为1.因此此题变为先求出19961996分子与1996互质的数有多少个，再除以2即可．1996含有的质因数有2和499.与1996互质的数为奇数，且不能是499和499×3，因此共有1996÷2-2=996个．所以此题结果为996÷2=498.m1118.已知有一个最简分数可以写成1，试说明m是质数2011的倍数.n232010【分析】把分数首尾两两结合，使得相加后分子为2011.即：m111111n20102200910051006201120112011201112010220093200810051006等式两边同时乘以2010!n，可得m2010!2011nM，其中M是一个自然数.由于2011是一个质数，且(2010!,2011)1，所以m是2011的倍数.超常班学案baba【超常班学案1】定义如下运算：ab,ab=，那么baba(12)(34)(56)(20112012)(12)(34)(56)(20112012)=___8第9级上超常体系教师版\n第12讲baba【分析】由题中定义的运算我们可以得到(ab)(ab)1，那么根据乘法可以交换顺baba序，我们将所要求的算式中形如(ab)，(ab)的配成一对，先相乘，可以得到原式=(12)(12)(34)(34)(56)(56)(20112012)(20112012)每个中括号中的结果都是1，那么原式的结果也为1．【超常班学案2】将自然数1，2，3，…，369依次无间隔地写成一个多位数：12345…368369，求这个多位数的所有数字之和.【分析】求数字和时，凑“9”是个关键的想法．此题中可将数分成两部分，1—29单独计算，分组如下(1，28)，(2，27)，(3，26)，…，(14，15)，(29)；30--369分组如下：(30，369)，(31，368)，(32，367)，…，(199，200).这样所有数字之和为15×11+21×170=3735【超常班学案3】有四人的体重都是整千克数,他们两两合称体重,共称了6次,称得的千克数分别88、121、129、143、154、187.但是其中有一个数计错了,那么这四人的体重从小到大分别是多少?请写出所有可能．2【分析】设这四人的体重分别是ABCD,,,,任取两人称量的方法数为C6种.恰好为4ABACADBCB,,,,DC,D这六个数就是88、121、129、143、154、187（但其中有一个是错误的）.我们发现ABCDADBCACBD.所以,88、121、129、143、154、187中应有两对数的和是相等的,经检验88187121154275.不妨设ABCD,则有：AB88CD187AC121BD154从上面可发现C-B=121-88=33,所以C+B必为奇数．进而可知129,143中必有一个是C+B的和(若129或143错,则对的数为偶数,奇偶矛盾)．以下分两种情况考虑：若B+C=129,由和差可得到B=48,C=81,进而可得A=40,D=106.若B+C=143,由和差可得到B=55,C=88,进而可得A=33,D=99.综上所述,一共有两种可能：40、48、81、106或33、55、88、99.111m【超常班学案4】试说明：将和1写成一个最简分数时，m不会是5的倍数.2340n【分析】我们将原式通分发现公分母中只有25能被52整除，因此通分后，公分母是52A，A是不能被5整除的自然数（事实上A253371113171923293137），并且除去其1A中的通分之后变为，其他的分数的分子都是5的倍数.2525A5x5x5xA5x5x于是原式12242640，其中xi1,2,,40.i25不是i25A25A25A25A25A25A24个15个5的倍数.5BA进而有原式，其中B是一个自然数.而A是不能被5整除的自然数，所以25A5BA化简之后的m也不能被5整除.第9级上超常体系教师版9\n123班学案【超常123班学案1】下面方阵中所有数的和是多少？1901190219031904195019021903190419051951190319041905190619521948194919501951199719491950195119521998【分析】法1：我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，通过观察，每一列的相邻两个数都相差1，由于每一行都有50个数，所以每行的和构成公差为50的等差数列．第一行的和我们可以求出，为：（19011950）50296275一共有（194919011）行，每行的和构成首项为96275，公差为50，项数为49的等差数列，那么最后一行的和为：9627550（491）98675，所以，方阵中所有数的总和为（9627598675）4924776275．法2：此题是49×50的方阵．将(1901，1998)，(1902，1997)，…，(1949，1950)当成一组，则每组的和均为3899，这样原来所有数的和为49×50÷2×3899=4776275【超常123班学案2】从自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9中每次取出所有可能的1个数，2个数，3个数，…，9个数，先求每次取出数的和，再求出所有和的总和．则这个总和是多少？【分析】当取出1个数时,还剩下8个数,这8个数会在之后取出,因此可以将取1个数与取8个数分组配对．这样每取一次,和为45.分组配对如下：(取0个数仅为和取9个数配对,方便计算)(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)从取0个数到取9个数,共取了01234567899C9C9C9C9C9C9C9C9C9C92(193684126)512(或2512)次．总和为512÷2×45=11520【超常123班学案3】某大型活动共发行了100万张彩票，编号分别从000000至999999，如果彩票的前三位数字与后三位数字相同(包括顺序)，则称这张彩票是“幸运的”．如：125125.求所有“幸运的”彩票编号之和．【分析】设abcabc是“幸运的”，则(9a)(9b)(9c)(9a)(9b)(9c)也是“幸运的”，而这两个数的和为999999.另外999999不能拆成2个相同的数之和，即不存在同组中的两个数相等的情况．因此所有“幸运的”编号之和为999999的倍数．abc可以从000到999共1000种选择，因此所有“幸运的”彩票之和是999999×1000÷2=499999500m111【超常123班学案4】设p为奇质数，正整数m、n满足1.证明：pm.n23p1m11111【分析】1np12p21111pp222210第9级上超常体系教师版\n第12讲pppp12p21111pp2222kpp1kp1kp22p1!p1!p1!Kp=p1!p1其中k表示通分后除去p以外的乘数（1i）.i2而设Kkkk.这样可得mp1!nKp12p12由于p是一个奇质数，那么p与p1!互质，则有pm第9级上超常体系教师版11