14.3因式分解14.3.2公式法(第1课时)人教版数学八年级上册\na米b米b米a米(a–b)如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2–b2=(a+b)(a–b)导入新知\n1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．素养目标\n用平方差公式进行因式分解多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式))((baba–+=22ba–))((22bababa–+=–整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：探究新知知识点想一想\n√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2–()2的形式.两数是平方，减号在中央．(1)x2+y2(2)x2–y2(3)–x2–y2–(x2+y2)y2–x2(4)–x2+y2(5)x2–25y2(x+5y)(x–5y)(6)m2–1(m+1)(m–1)探究新知\n例1分解因式：aabb(+)(–)a2–b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式=[（x+p）+（x+q）]×[（x+p）-（x+q）]整体思想ab素养考点1利用平方差公式分解因式的应用探究新知\n方法点拨公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.探究新知\n分解因式：(1)(a＋b)2–4a2；(2)9(m＋n)2–(m–n)2.＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)＝(b–a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.巩固练习\n例2分解因式：解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2＝(x2+y2)(x2–y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止.＝(x2+y2)(x+y)(x–y);(2)原式＝ab(a2–1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a–1).素养考点2多次因式分解探究新知\n方法点拨分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．探究新知\n分解因式：(1)5m2a4–5m2b4；(2)a2–4b2–a–2b.＝(a＋2b)(a–2b–1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；解：(1)原式＝5m2(a4–b4)＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)巩固练习\n例3已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．∴x–y＝–2②.解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得：素养考点3利用因式分解求整式的值探究新知方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.\n已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.解：由题意得：(x+y)(x–y)=8，x–y=2，2(x+y)=8，x+y=4.巩固练习\n例4计算下列各题：(1)1012–992；(2)53.52×4–46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；(2)原式＝4×(53.52–46.52)＝4×(53.5＋46.5)(53.5–46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.素养考点4利用因式分解进行简便运算探究新知\n巩固练习用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37²(2)213²–87²(3)229²–171²(4)91×89解：(1)38²–37²=(38+37)(38–37)=75(2)213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800(3)229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200(4)91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099\n例5求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．素养考点5利用因式分解进行证明探究新知\n若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.解：∵a2–2bc=c2–2ab，∴(a2–c2)+2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.巩固练习分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.\n1.多项式4a–a3分解因式的结果是()A．a(4–a2)B．a(2–a)(2+a)C．a(a–2)(a+2)D．a(2–a)22.若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为．解析：∵a+b=4，a–b=1，∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)=4×(1+2)=12．B12链接中考\n1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(–b)2B．5m2–20mnC．–x2–y2D．–x2＋9D2.将多项式x–x3因式分解正确的是()A．x(x2–1)B．x(1–x2)C．x(x+1)(x–1)D．x(1+x)(1–x)D3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为()A．–21B．21C．–10D．10A课堂检测基础巩固题\n4.把下列各式分解因式：(1)16a2–9b2=_________________;(2)(a+b)2–(a–b)2=_________________;(3)因式分解：2x2–8=_________________;(4)–a4+16=_________________.(4a+3b)(4a–3b)4ab(4+a2)(2+a)(2–a)5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.42(x+2)(x–2)课堂检测\n1.已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．原式=–40×5=–200．解：原式=(m+2n+3m–n)(m+2n–3m+n)=(4m+n)(3n–2m)=–(4m+n)(2m–3n)，当4m+n=40，2m–3n=5时，能力提升题课堂检测\n2.如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82–4×1.62＝6.82–(2×1.6)2＝6.82–3.22＝(6.8＋3.2)(6.8–3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.课堂检测\n(1)992–1能否被100整除吗？解：(1)因为992–1=(99+1)(99–1)=100×98，所以，(2n+1)2–25能被4整除.(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？所以992–1能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)=(2n+6)(2n–4)=2(n+3)×2(n–2)=4(n+3)(n–2).拓广探索题课堂检测\n平方差公式分解因式公式a2–b2=(a+b)(a–b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课堂小结\n课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
