14.3因式分解14.3.2公式法(第2课时)人教版数学八年级上册\n我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？导入新知\n2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．1.理解完全平方公式的特点．素养目标3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．\n1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)用完全平方公式分解因式知识点3.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2探究新知回顾旧知\n你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbabababa²b²ab探究新知\n这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：探究新知\na2+2ab+b2a2–2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.探究新知\n完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式:探究新知\n简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.探究新知\n3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²–6m+9=()²–2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm–33x2m3探究新知试一试\n下列各式是不是完全平方式？(1)a2–4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有两项；不是4b²与–1的符号不统一；不是不是是ab不是a与b的积的2倍.探究新知说一说\n例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.素养考点1利用完全平方公式分解因式探究新知解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+32(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.\n把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2;(2)16a4+24a2b2+9b4;解：(1)x2–12xy+36y2=x2–2·x·6y+(6y)2=(x–6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2;巩固练习\n(3)–2xy–x2–y2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.解：(3)–2xy–x2–y2=–(x2+2xy+y2)=–(x+y)2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2=［2–3(x–y)］2=(2–3x+3y)2.巩固练习\n例2如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.素养考点2利用完全平方公式求字母的值探究新知\n方法点拨本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究新知\n如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8巩固练习\n例3把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.素养考点3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解探究新知\n利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.探究新知\n因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．巩固练习\n例4把下列完全平方式分解因式：(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=(100–99)²(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.素养考点4利用完全平方公式进行简便运算探究新知\n计算:7652×17–2352×17.解：7652×17–2352×17=17×(7652–2352)=17×(765+235)(765–235)=17×1000×530=9010000.巩固练习\n例5已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.素养考点5利用完全平方公式和非负性求字母的值探究新知\n解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=0∴2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7探究新知方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．\n已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，∴x–2＝0，y–5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.巩固练习\n1.因式分解：a2–2ab+b2=．2.若a+b=2，ab=–3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．解析：∵a+b=2，ab=–3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，=ab(a+b)2，=–3×4=–12．(a–b)2–12链接中考\n1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2–6a＋9C．x2＋5yD．x2–5y2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y2–x2)D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________．±4课堂检测基础巩固题\n5.把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1–x2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).课堂检测\n(2)原式1.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.能力提升题课堂检测\n2.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2–2x＋3.(2)原式＝(x2–6x＋9)＝(x–3)2解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2小聪:小明:××课堂检测\n(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，拓广探索题课堂检测\n完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.课堂小结\n课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
