专题二 不等式备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系,会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.从近几年高考情况来看,是高考的热点,以容易题为主,主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分;本专题内容在高考试题中多以函数、不等式等知识为载体,用基本不等式解决求最值问题(如2020新高考Ⅰ卷第11题、2020天津卷第14题).在与集合的交、并、补运算结合的问题中,一般是求出不等式的解集.主要命题点有:(1)不等式的性质及应用,常与函数相结合考查,注意不等式的等价变形;(2)不等式的解法,常与集合的基本运算相结合考查;(3)一元二次不等式恒成立问题,常与函数结合考查;(4)考查线性目标函数的最值,借助数形结合的思想,将直线在纵轴上的截距弄清楚,准确作图是解题关键,要清楚目标函数的最值、最优解的概念,若目标函数不是线性的,则常与线段的长度、直线的斜率等有关;(5)考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等,常与函数结合命题,解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.二、简单的线性规划1.会从实际问题中抽象出二元一次不等式(组).2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.掌握二元一次不等式组表示的平面区域的判断方法.4.了解线性规划的意义,并会简单应用.5.了解与线性规划有关的概念(约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解).6.会用图解法解决线性目标函数的最值问题.7.掌握线性规划实际问题的解决方法.三、基本不等式与不等式的综合应用了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【真题探秘】命题立意
(1)必备知识:不等式的性质、基本不等式、指数、对数的运算性质与指数、对数函数的性质.(2)思想方法:化归转化法,数形结合法.(3)核心素养:逻辑推理、数学运算.解题指导运用消元法与配方法得选项A正确,运用不等式的性质与指数函数的性质得选项B正确,运用基本不等式、对数运算的性质与对数函数的性质得选项C错误,用基本不等式及不等式性质得选项D正确.解题过程∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤=.对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2+≥,当且仅当a=b=时,取等号,A正确;对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正确;对于C选项,∵0<ab≤,a>0,b>0,∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确;对于D选项,∵(+)2=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,∴+≤成立,D正确.故选ABD.易错警示①统一变量时,忽略变量的范围.②用基本不等式求最值时,忽略等号成立的条件.知能拓展(1)方法拓展:求解两个变量的最值问题,其中一种方法就是统一成一个变量,需要注意变量的范围,另一种方法就是通过拆、添项或配凑法构造出基本不等式的形式,利用基本不等式求解.(2)总结提升:利用基本不等式求最值,设a,b∈(0,+∞),则a+b≥2(当且仅当a=b时,取等号).一般地,①已知a,b∈(0,+∞),若a+b=P(定值),当且仅当a=b时,积ab有最大值,是P2;②已知a,b∈(0,+∞),若ab=S(定值),当且仅当a=b时,和a+b有最小值,是2.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养
2020新高考Ⅰ,115多项选择题中不等式的概念和性质比较大小逐项判断法数学运算2020课标Ⅰ,文13,理135填空题中简单的线性规划求线性目标函数的最值数形结合法数学运算2020天津,145填空题易基本不等式利用基本不等式求最值配凑法公式法数学运算2.命题规律与探究1.从近几年高考情况来看,本章内容的考题以容易题为主,主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分.2.本章内容在高考试题中多以函数、不等式等知识为载体,用基本不等式解决求最值问题(如2020年新高考Ⅰ卷第11题、2020年天津卷第14题).3.在与集合的交、并、补集运算结合的问题中,常需要求出不等式的解集,如2020年课标Ⅰ卷理数第2题.4.本章重点考查的核心素养为数学运算.3.命题变化与趋势1.考查不等式的性质、不等式的解法、基本不等式,形式比较稳定,新高考中,本章内容变化较大,删除了简单的线性规划(新课程标准),因此高考对不等式的概念和性质以及不等式的解法的考查力度会加大.2.建议复习时以基础题为主,同时要注意不等式与其他章节知识的综合,这部分难度相对较大,比较有区分度,但从近几年考题分析,总体上高考在这一章考查形式比较稳定,复习有章可循.4.真题典例核心考点 不等式的性质及基本不等式的应用.储备知识 1.基本不等式.2.二次函数求最值.3.指数、对数的运算性质.易错警示 1.在统一一个变量时,忽略变量的范围.2.在用基本不等式求最值时,忽略等号成立的条件.方法总结 利用基本不等式求最值时,要熟悉利用拆、添项或配凑因式,构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.
思想方法 求解有两个变量的最值问题,其中一个方法就是统一成一个变量,需要注意变量的范围;另一个方法就是通过拆、添项或配凑法构造出基本不等式的形式.§2.1 不等式及其解法基础篇【基础集训】考点一 不等式的性质1.若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.> B.< C.> D.<答案 D2.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定答案 B
3.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是( )A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|答案 C考点二 不等式的解法4.不等式x2+2x-3≥0的解集为( )A.{x|x≤-3或x≥1} B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x≤-1或x≥3} D.{x|-3≤x≤1}答案 A5.若关于x的不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx2+ax-1<0的解集是( )A. B.C. D.答案 C6.(多选题)下列说法正确的是( )A.不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},则a的值是3D.若关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为-1答案 BCD7.(多选题)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0),则下列说法正确的是( )A.若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},则k=-
B.若不等式的解集为,则k=C.若不等式的解集为R,则k<-D.若不等式的解集为⌀,则k≥答案 ACD[教师专用题组]【基础集训】考点一 不等式的概念和性质1.(2019福建厦门期末,3)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是( )A.<1 B.2-x<2-yC.lg(x-y)>0 D.x2>y2答案 B 由x>y,得-x<-y,指数函数y=2x是定义域R上的单调递增函数,所以2-x<2-y,故选B.2.已知实数a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c答案 B ∵b-a=-==>0,∴b>a;又a-c=-==>0,∴a>c,∴b>a>c,即c<a<b.选B.3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),5)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中不一定成立的是( )A.< B.-c>-c
C.> D.ac2<bc2答案 D 因为y=在(0,+∞)上是增函数,所以<.因为y=-c在(0,+∞)上是减函数,所以-c>-c.因为-=>0,所以>.当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立,选D.4.(2019广东清远期末,10)已知<<0,给出下列三个结论:①a2<b2;②+>2;③lga2>lg(ab).正确结论的序号是( )A.①② B.①③ C.②③ D.①②③答案 A 因为<<0,所以b<a<0.①a2-b2=(a+b)(a-b)<0,所以a2<b2,正确;②因为a,b同号,且a≠b,所以+>2,正确;③a2-ab=a(a-b)<0,所以a2<ab,所以lga2<lg(ab),错误.5.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 . 答案 p≤q解析 -(a+b)=+=(b2-a2)=,又a<0,b<0,所以b+a<0,ab>0,(b-a)2≥0,所以-(a+b)≤0,所以p≤q.
考点二 不等式的解法1.(2019上海复旦附中4月模拟,13)下列不等式中,与不等式≥0同解的是( )A.(x-3)(2-x)≥0 B.(x-3)(2-x)>0C.≥0 D.≥0答案 D 不等式≥0等价于=≥0,故选D.2.(2019湖北黄冈元月调研,3)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案 C ∵关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,∴不等式的解集为{x|1<x<2}.故选C.3.(2020黑龙江哈尔滨三中第二次调研,8)已知函数f(x)=,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( )A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)答案 B 因为函数f(x)=在定义域R上为减函数,所以由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).故选B.综合篇【综合集训】
考法一 不等式性质的应用1.(2020山东日照校际联考,3)已知a>b>0,c>1,则下列不等式成立的是( )A.lna<lnb B.ac<bc C.ca>cb D.<答案 C2.(多选题)(2020山东滨州三校联考,4)设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是( )A.< B.> C.a>b2 D.a2>b2答案 CD3.(2020北京顺义期末检测,5)若b>a>1,则下列不等式一定正确的是( )A.ab>2 B.a+b<2 C.< D.+>2答案 D考法二 不等式的解法4.(2020北京昌平高考模拟,5)已知关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是( )A.(-∞,-3)∪(2,+∞) B.(-3,2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3)答案 A5.(2019广东梅州3月模拟,6)关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数,则实数m的取值范围为( )A.(5,6] B.(5,6) C.(2,3] D.(2,3)答案 A6.(2020浙江慈溪期中,13)已知a,b,c∈R,若{x|ax2+bx+c>0}={x|1<x<2},则a 0(填“<”“>”
或“=”).若记{x|cx2+bx+a<0}=P,则∁RP= (用描述法表示集合). 答案 <;[教师专用题组]【综合集训】考法一 不等式性质的应用1.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b>0 B.>C.ab<b2 D.a3-b3<0答案 D 对于A,当a<b<0时,a+b<0,∴A错误.对于B,当a<0<b时,<,∴B错误.对于C,当a<b<0时,ab>b2,∴C错误.对于D,∵f(x)=x3在R上是增函数,且a<b,∴a3<b3,即a3-b3<0,∴D正确.故选D.2.(2019新疆昌吉教育共同体联考,3)若a<b<0,则下列不等式关系中,不能成立的是( )A.> B.> C.> D.>答案 D ∵a<b<0,∴>,故A项正确;∵a<b<0,∴a-b<0,a-b>a,将a<a-b两边同时除以a(a-b)可得>,故B项正确;根据幂函数的单调性可知,C项正确;∵a<b<0,∴a2>b2,故>不成立.故选D.3.(2018河北衡水中学十五模)已知<<0,则下列选项中错误的是( )A.|b|>|a| B.ac>bcC.>0 D.ln>0
答案 D <<0,当c<0时,>>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,∴ln<0.同理,当c>0时,D错误.故选D.4.(2019北京杨镇一中月考文,4)已知a,b∈R,若a<b,则 ( )A.a<2b B.ab<b2C.< D.a3<b3答案 D a,b∈R,且a<b,选项A中,若b=0,则a<b=2b;若b>0,则a<b<2b;若b<0,则b>2b,a与2b的大小关系无法确定,故A错误.选项B中,若b=0,则ab=b2;若b>0,则ab<b2;若b<0,则ab>b2,故B错误.选项C中,若0<a<b,则<,若a,b中有负的,则不成立,故C错误.选项D中,函数y=x3在R上单调递增,若a<b,则a3<b3,故D正确.故选D.评析 本题考查两式的大小比较,考查作差法和函数的单调性的运用,考查运算能力,属于基础题.5.(2019浙江高考数学仿真卷,2)已知a=log23,b=8-0.7,c=sinπ,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a答案 B 由题意得a>1,0<b<1,c<0,所以a>b>c,故选B.6.(2018北京东城一模,3)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2-b2>0 B.cosa-cosb>0C.-<0 D.e-a-e-b<0答案 D ∵a>b,∴-a<-b.由y=ex在R上单调递增可知,e-a<e-b,∴e-a-e-b<0,故选D.7.若<<0,则下列结论正确的是( )A.a2>b2 B.1>>
C.+<2 D.aeb>bea答案 D 由题意可得b<a<0,则a2<b2,A错误;函数y=在R上为减函数,则>>1,B错误;+>2,C错误;∵b<a<0,∴ea>eb>0,-b>-a>0,由不等式同向同正可乘性可知-bea>-aeb,∴bea<aeb,D正确,故选D.
