专题四 导数及其应用备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、导数的概念及运算1.理解导数的几何意义,了解导数概念的实际背景,会用导数方法求切线的斜率及方程.2.熟练掌握导数的运算,能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.考查内容及题型:从近几年高考情况来看,本专题的内容在选择题、填空题、解答题中均有出现,如2020年新高考Ⅰ卷第21题,课标全国Ⅰ卷理数第21题,天津卷第20题等;2.考查重点是导数的运算、利用导数的几何意义求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性,同时与不等式结合考查恒成立问题、函数零点等,用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2020年新高考Ⅰ卷第21题第(1)问求曲线切线与坐标轴围成的三角形面积;第(2)问是通过恒成立问题求参数的取值范围,考查利用导数判断函数单调性及处理含参数问题的解题方法.1.要夯实基础知识,会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法;掌握求函数极值与最值的方法.2.能熟练利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式.二、导数的应用1.利用导数研究函数的单调性.2.会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值.3.利用导数解决与函数、不等式等相关的综合性问题.【真题探秘】命题立意高考对导数考查分三个层次:一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义(本题第(1)问的要求);二是运用导数求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,研究函数零点、证明不等式、解恒成立问题、求参数的取值范围等.本题就是将导数与不等式恒成立、函数单调性有机结合,综合设计的综合题,考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.思路分析第(1)问先求出导函数,利用几何意义求出切线方程,求出切线与坐标轴交点,得到三角形的面积;第(2)问可以先通过特殊值探索出a的范围,比如取自变量x=1,得到a+lna≥1,即a≥1,再讨论验证a<1时不恒成立,及a>1时恒成立,使问题解决.拓展延伸1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,并注意函数f(x)的定义域.求单调区间应遵循定义域优先的原则.
2.含参函数的单调性要注意分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.4.求函数的极值、最值,通常转化为对函数的单调性的分析讨论,所以,研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.5.借助数形结合的方法研究函数的性质有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数值的正负;函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点;函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020课标Ⅰ理,65选择题易导数的概念及几何意义求切线方程定义法数学运算2020课标Ⅰ文,155填空题易导数的概念及几何意义求切线方程定义法数学运算2020北京,1915解答题中导数与函数的极值、最值利用函数的单调性求最值分类讨论、构造函数法数学运算逻辑推理数学抽象2020天津,2016解答题难导数的综合应用求曲线切线方程、函数的单调性、极值、证明不等式分类讨论、构造函数法数学运算逻辑推理数学抽象2020课标Ⅰ理,2112解答题难导数的综合应用利用导数研究函数的单调性、求参数范围分类讨论、构造函数法数学运算逻辑推理数学抽象2020新高考Ⅰ,2112解答题难导数的综合应用求曲线切线方程、讨论函数的单调性、解恒成立问题定义法、分类讨论数学运算逻辑推理数学抽象2020课标Ⅰ文,2012解答题难导数的综合应用利用导数研究函数的单调性、根据函数零点个数求参数取值范围分类讨论、构造函数法数学运算逻辑推理数学抽象2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度覆盖难、中、易,选择题、填空题和解答题均有可能出现,分值约为17分.2020年新高考Ⅰ卷第21题第(2)问,通过恒成立问题求参数的取值范围,2020年课标Ⅰ卷理数第21题考查利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则,这两个题都综合考查了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.2.本章内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体,利用导数研究函数的单调性、
极值、最值、零点问题,同时与不等式关联紧密.3.导数应用题目很灵活,解题方法较多,多采用定义法、公式法、综合法,必要时还要使用放缩法.4.本章重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.3.命题变化与趋势1.高考对本章内容的考查较为稳定,考查方式及题目难度在近两年中变化不大.2.考查内容主要体现在以下方面:①考查函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合,考查不等式的证明问题.3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用,知识交汇处是出题点,在综合问题中渗透学科素养.§4.1 导数的概念及运算基础篇【基础集训】考点一 导数的概念及几何意义1.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.e2 B.4e2 C.2e2 D.e2答案 A2.已知函数f(x)=(x2+x-1)ex,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=3ex-2e B.y=3ex-4eC.y=4ex-5e D.y=4ex-3e答案 D3.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a= ,切线方程为 .
答案 ;x-2ey+e2=0考点二 导数的运算4.函数f(x)=cosx(sinx+1)的导数是( )A.f'(x)=cos2x+sinx B.f'(x)=cos2x-sinxC.f'(x)=cos2x+cosx D.f'(x)=cos2x-cosx答案 B5.求下列各函数的导数.(1)y=ln(3x-2);(2)y=sin;(3)y=+;(4)y=x2·e2-x;(5)y=x-sincos;(6)y=.[教师专用题组]【基础集训】考点一 导数的概念及几何意义1.(2018江西重点中学盟校第一次联考,3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在答案 C 函数y=x3的导数为y'=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0,故选C.2.(2017四川名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图,f'(x)是f(x)的导函数,
则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)答案 C f(3)-f(2)可写为,表示过点(2,f(2)),(3,f(3))连线的斜率,f'(2),f'(3)分别表示曲线f(x)在点(2,f(2)),(3,f(3))处切线的斜率,设过点(2,f(2)),(3,f(3))的直线为m,曲线在点(2,f(2)),(3,f(3))处的切线分别为l,n,画出它们的图象,如图:由图可知0<kn<km<kl,故0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2),故选C.3.(2020安徽合肥八校高三第一次联考,5)曲线y=(x3+x2)ex在x=1处的切线方程为( )A.y=7ex-5e B.y=7ex+9eC.y=3ex+5e D.y=3ex-5e答案 A y'=(3x2+2x)ex+(x3+x2)ex,所以y'|x=1=7e,又x=1时,y=2e,所以所求切线方程为y-2e=7e(x-1),即y=7ex-5e.故选A.4.(2019安徽宣城八校联考期末,6)若曲线y=alnx+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是,则a=( )A. B. C. D.
答案 B 因为y=alnx+x2(a>0),所以y'=+2x≥2,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是,所以斜率k≥,因此=2,所以a=.故选B.5.(20205·3原创题)曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线l如图所示,则f'(-1)+f(-1)=( )A.2 B.1 C.-2 D.-1答案 C 因为切线l过点(-2,0)和(0,-2),所以f'(-1)==-1,所以切线l的方程为y=-x-2,取x=-1,则y=-1,即f(-1)=-1,所以f'(-1)+f(-1)=-1-1=-2,故选C.素养解读 本题通过图象来考查导数的几何意义,重点考查直观想象和数学运算的核心素养.考点二 导数的运算1.(多选题)(2021届广东佛山一中模拟)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是( )A.'= B.(cos2x)'=-2sin2xC.'=3x D.(lgx)'=答案 BC '=-,(cos2x)'=-2sin2x,
'=3x,(lgx)'=.故选BC.2.(2020河南八市重点高中联盟9月“领军考试”,5)已知f'(x)为函数f(x)=ax-blnx的导函数,且满足f'(1)=0,f'(-1)=2,则f'(2)=( )A.1 B.- C. D.答案 C 由f'(x)=a-,得f'(1)=a-b=0,f'(-1)=a+b=2,解得a=b=1,所以f'(x)=1-,则f'(2)=.故选C.3.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 A f(x+1)=,故f(x)=,即f(x)=2-,对f(x)求导得f'(x)=,则f'(1)=1,故所求切线的斜率为1,故选A.4.(2017山西临汾二模,3)曲线y=sinx+cosx在x=处的切线的倾斜角的大小是( )A.0 B. C. D.答案 A 由y=sinx+cosx,可得y'=cosx-sinx,所以曲线y=sinx+cosx在x=处的切线的斜率为0,故曲线y=sinx+cosx在x=处的切线的倾斜角的大小是0.故选A.5.(2018湖南株洲二模,9)设函数y=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处的切线斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是( )
答案 A 由y=xsinx+cosx可得y'=sinx+xcosx-sinx=xcosx.则g(t)=tcost,易知g(t)是奇函数,排除选项B,D;当x∈时,y>0,排除选项C.故选A.思路分析 求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象.易错警示 求导时注意不要计算错误.6.(2018安徽黄山一模,14)已知f(x)=x3+3xf'(0),则f'(1)= . 答案 1解析 由题意可得f'(x)=x2+3f'(0),令x=0,可得f'(0)=02+3f'(0),∴f'(0)=0,则f(x)=x3,∴f'(x)=x2,∴f'(1)=1.综合篇【综合集训】考法 求曲线的切线方程及参数的方法1.(2019课标Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0答案 C2.(2020山东滨州三模,4)函数y=lnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程为( )A.x+ey-1+e=0 B.x-ey+1-e=0
C.x+ey=0 D.x-ey=0答案 D3.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3答案 A4.(2020广东广州综合测试一,10)已知点P(x0,y0)是曲线C:y=x3-x2+1上的点,曲线C在点P处的切线与直线y=8x-11平行,则( )A.x0=2 B.x0=-C.x0=2或x0=- D.x0=-2或x0=答案 B5.(2020广东佛山质量检测(一),15)函数f(x)=lnx和g(x)=ax2-x的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则这条切线的方程为 . 答案 y=x-1[教师专用题组]【综合集训】考法 求曲线的切线方程及参数的方法1.(2018广东东莞二调,8)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)答案 D ∵f(x)=x3+ax2,∴f'(x)=3x2+2ax,∵曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,∴3+2ax0=-1,∵x0++a=0,∴或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).故选D.2.(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是( )A.(0,+∞) B. C.(1,+∞) D.(2,+∞)答案 C 由y=ex,得y'=ex,则切线斜率为,∴切线方程为y-y0=(x-x0),当x=0时,y=-x0+y0=-x0+=(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞).故选C.3.(2018广东深圳第一次调研,15)曲线y=ex-1+x的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为 . 答案 y=2x解析 设切点坐标为(x0,+x0),∵y'=ex-1+1,∴切线的斜率k=+1,故切线方程为y--x0=(+1)(x-x0).∵切线过原点,∴0--x0=(+1)(0-x0),解得x0=1,将x0=1代入y--x0=(+1)(x-x0),可得切线方程为y=2x,故答案为y=2x.特别提醒 必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.
4.(2020陕西榆林三模,14)若曲线y=2与函数f(x)=aex在公共点处有相同的切线,则实数a的值为 . 答案 解析 本题考查导数的几何意义和切线的求法,利用切点满足的两个条件列出方程组是本题的解题思路.考查数学运算能力和逻辑推理能力.由已知得y'=,f'(x)=aex.设两曲线的公共点为(x,y),则解得a=.易错警示 (1)有关曲线的切线问题的求解,对函数的求导是一个关键点,因此求导公式、求导法则要熟练掌握.(2)对于已知的点,应先确定其是不是曲线的切点,进而选择相应的方法求解.
