§6.3 等比数列基础篇【基础集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=( )A.2 B.3 C.1 D.6答案 A2.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为( )A. B.- C. D.-答案 B3.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=( )A. B.31 C. D.7答案 A4.已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= . 答案 2n+1-25.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.6.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-2(n∈N*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列{b2n}的前n项和Tn.
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.考点二 等比数列的性质8.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18.若a1am=9,则m的值为( )A.8 B.13 C.10 D.11答案 C9.在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )A.2 B.- C. D.-或答案 D10.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则( )A.a1<0,0<q<1 B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1 D.a1>0,q>1答案 A[教师专用题组]【基础集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.在数列{an}中,满足a1=2,=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )A.126 B.256 C.255 D.254答案 D 数列{an}中,满足=an-1an+1(n≥2),则数列{an}为等比数列,设其公比为q,又由
a1=2,a6=64,得q5==32,则q=2,则S7==28-2=254,故选D.2.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=( )A. B.31 C. D.7答案 A 设等比数列{an}的公比为q,∵a6=8a3,∴q3=8,解得q=2.∴an=2n-1.∴=.∴数列是首项为1,公比为的等比数列,则T5==.故选A.考点二 等比数列的性质1.已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为( )A. B.- C.± D.-答案 A ∵数列{an}为等比数列,∴a1a13==a2a12.再由a1a13+2=4π,可得a2a12=,∴tan(a2a12)=tan=tan=.2.(2020河北邯郸检测,8)已知{an}是首项为1的等比数列,若4an,2an+1,an+2成等差数列,则an= . 答案 2n-1解析 设等比数列的公比为q,由题意得4an+1=4an+an+2,故有4q=4+q2,∴q=2,∴an=2n-1.3.(2020浙江镇海中学期中,15)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a4的最大值为 . 答案 解析 本题考查等比数列的概念、性质以及基本不等式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.∵25=a2a4+2a3a5+a4a6=2+a4(a2+a6)≥2+2=4,
∴≤.∵a4>0,∴0<a4≤,∴a4的最大值为.综合篇【综合集训】考法一 等比数列基本量运算的解题技巧1.(2020河北武邑中学期中,3)已知等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值为( )A.1 B.- C.1或- D.-1或答案 C2.(2020重庆直属校(重庆第八中学等)3月月考)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16,则log2a9=( )A.15 B.16 C.17 D.18答案 C3.(2021届浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an,Sn,Sn-1成等比数列,则a5=( )A. B.- C. D.-答案 D考法二 等比数列的判定与证明4.(2020新教材地区第一次月考)若Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a8=2,则a2+a5=( )A.-12 B.-4 C.4 D.12答案 C5.(2019河南濮阳重点高中联考,17)设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.[教师专用题组]【综合集训】考法一 等比数列基本量运算的解题技巧1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为( )A. B.4 C.2 D.答案 A 数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,∴=a1·a7,可得(a1+2d)2=a1(a1+6d),即a1=2d≠0.∴公比q====2,则==.故选A.2.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=( )A. B. C. D.2答案 A 由题意知等比数列{an}的公比q≠1,∵9S3=S6,a2=1,∴=,a1q=1,∴q=2,a1=.故选A.方法指导 在等比数列基本量的计算中,对于高次方的计算,常用作商的方法或整体消元法求解.3.(2020浙江杭州二中期中,20)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),-2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4=.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=-(n+2)log2|an|,求数列的前n项和Tn.
解析 本题考查等比数列的概念、通项公式以及数列的前n项和;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)设等比数列的首项为a1,公比为q,由题意得解得故an=.(2)由(1)得bn=n(n+2),故=,所以Tn=+++…+===-.考法二 等比数列的判定与证明1.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c依次成公比为的等比数列,且a=
D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c=答案 D 由题意可知b=a,c=b,∴=,=.∴a、b、c成等比数列且公比为.∵1斗=10升,∴5斗=50升,∴a+b+c=50,又易知a=4c,b=2c,∴4c+2c+c=50,∴7c=50,∴c=,故选D.2.(多选题)(2020山东青岛三模,10)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,bn=,对于数列{an},{bn},下列选项中正确的为( )A.b10=8b5 B.{bn}是等比数列C.a1b30=105 D.=答案 BD 由题意知{an}为等差数列,a1=5,S30=390,设公差为d,则S30=30×5+d,∴d=.对于B,{bn}中,===2d,故{bn}为等比数列,故B正确.对于A,=25d=≠8,故A错误.对于C,a1b30=5×32×=5×32×216≠105,故C错误.对于D,==,故D正确.3.(2020福建泉州适应性线上测试,14)已知数列{an}的各项均为正数,且=6an+an+1(n∈N*),则= . 答案 9
解析 由=6an+an+1可得-an+1an-6=0,即(an+1-3an)(an+1+2an)=0,因为an>0,所以an+1=3an,所以{an}是公比为3的等比数列,所以==q2=9.4.(2020山东菏泽一中2月自测,18)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1,n∈N*.(1)证明:{Sn+1}为等比数列,求出{an}的通项公式;(2)若bn=,求{bn}的前n项和Tn,并判断是否存在正整数n使得Tn·2n-1=n+50成立.若存在,求出所有n的值;若不存在,说明理由.解析 (1)∵Sn+1-2Sn=1,∴Sn+1+1=2(Sn+1),n∈N*,∴{Sn+1}为等比数列,且公比为2,又∵S1+1=2,∴Sn+1=2n,∴Sn=2n-1,∴当n≥2时,Sn-1=2n-1-1,则an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1也满足此式,∴an=2n-1,n∈N*.(2)由(1)得bn==,则Tn=++…+,Tn=++…+,两式相减得:Tn=++…+-=2-,∴Tn=4-,代入Tn·2n-1=n+50得2n-n-26=0.令f(x)=2x-x-26(x≥1),则f'(x)=2xln2-1>0在x∈[1,+∞)上恒成立,∴f(x)=2x-x-26在x∈[1,+∞)上为增函数,又有f(5)·f(4)<0,∴不存在正整数n,使得Tn·2n-1=n+50成立.
