§6.3 等比数列专题检测1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列{an}的首项为a1,公差d≠0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 由a1,a3,a9成等比数列,得=a1a9,从而(a1+2d)2=a1(a1+8d),又d≠0,所以a1=d;若a1=d,则a3=3a1,a9=9a1,从而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比数列.故“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的充要条件,故选C.2.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=( )A. B.- C. D.-答案 A 由题意知a2>0,a6>0,所以2a2+a6≥2=2=8,当且仅当q4=2时取等号,所以log2q=log2=,选A.3.(20195·3原创冲刺卷三,5)已知数列{an}为正项等比数列,a2=,a3=2a1,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )A.(2+)[1-] B.(2+)[-1]C.(2n-1) D.(1-2n)答案 C 由{an}为正项等比数列,且a2=,a3=2a1,可得a1=1,公比q=,所以数列{anan+1}是以为首项,2为公比的等比数列,则a1a2+a2a3+…+anan+1==(2n-1).故选C.4.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 A 解法一:依题意,a1=S1=4+λ,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,因为{an}是等比数列,所以=a1·a3,所以8(4+λ)=42,解得λ=-2.故选A.解法二:Sn=2n+1+λ=2×2n+λ,易知q≠1,因为{an}是等比数列,所以Sn=-qn,据此可得λ=-2.故选A.5.(20195·3原创冲刺卷八,5)已知等比数列{an}满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1·a2·…·an取到最大值时,n的值为( )A.3 B.4 C.3或4 D.5答案 C 设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=12,a1-a3=6,可得解得∴an=8×=(n∈N*),∴a1·a2·…·an==,令f(n)=n(n-7)=(n2-7n)=-,当n=3或n=4时,f(n)有最小值,且f(n)min=-6,故当n=3或4时,a1·a2·…·an取得最大值,故选C.6.已知各项均为正数的等比数列{an},a1>1,0<q<1,其前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )A.数列{lnan}为等差数列B.若Sn=Aqn+B,则A+B=0C.Sn·S3n=D.记Tn=a1·a2·…·an,则数列{Tn}有最大值答案 ABD 由题意可知,an=a1qn-1,Sn=.A
选项,lnan=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq,lnan+1=ln(a1qn)=lna1+nlnq,∴lnan+1-lnan=lnq,故{lnan}为等差数列,故A正确;B选项,Sn==-qn+,又Sn=Aqn+B,则A+B=-+=0,故B正确;C选项,Sn=,S3n=,Sn·S3n=,S2n=,=.明显Sn·S3n≠,故C错误;D选项,Tn=a1·a2·…·an,由于a1>1,0<q<1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项开始使得ak=a1qk-1∈(0,1),故Tk-1=a1·a2·…·ak-1为最大值,故D正确.故选ABD.7.(2020浙江金丽衢十二校联考,19)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.(1)证明:数列{an-n}是等比数列;(2)记bn=(an-n)n,求数列{bn}的前n项和Sn.解析 本题考查等比数列的概念以及数列求和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)证明:an+1-n-1=4an-4n=4(an-n),则=4,a1-1=2-1=1≠0,所以数列{an-n}是以1为首项,4为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=(an-n)n=n·4n-1.解法一:Sn=1×40+2×4+3×42+…+n·4n-1,①
4Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,②①-②得-3Sn=1+4+42+43+…+4n-1-n·4n=-n·4n=-,故Sn=.解法二:令f(x)=x+x2+…+xn,则f'(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1,又(x+x2+…+xn)'='=,所以1+2x+3x2+…+nxn-1=,由题意求bn=n·4n-1的和,只需令x=4即可,即1+2×4+3×42+…+n·4n-1==.8.(20205·3原创题)数列{an}满足a1=7,且当n≥2时,总有an=λan-1+μ成立(其中λ,μ为常数).(1)试写出λ,μ满足的关系式,使得数列{an-3}是等比数列;(2)记bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,若λ=2,μ=-3,不等式Sn<K恒成立,求K的取值范围.解析 (1)由题意知,对任意n≥2,an=λan-1+μ①,若{an-3}是等比数列,则必存在q≠0,对任意n≥2,有an-3=q(an-1-3),整理得an=qan-1+3-3q②,由①②得消去q,得3λ+μ=3(λ≠1且λ≠0).(2)显然λ=2,μ=-3满足(1)中求得的关系式,
此时{an-3}是以7-3=4为首项,2为公比的等比数列,故an-3=4×2n-1,an=2n+1+3,则bn===·=,因此Sn=b1+b2+…+bn=++…+=+--=--,显然{Sn}是递增数列,因此,当n∈N*时,Sn∈,因为Sn<K恒成立,故K≥.
