高考原生态满分练4 立体几何(本题满分12分)(2021·全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?学生解答教师批阅
分析1:在利用几何法证明(1)时,需要先运用线面垂直的判定定理来证明线面垂直,关键是证明BF⊥MB1,因此这一过程不能省略,应根据平面几何中的三角形全等证得.分析2:A1B1与MB1两条相交直线所确定的平面是A1B1M,也就是平面A1B1ME,但应根据确定平面的依据加以说明,即应证明A1,B1,M,E四点是共面的,缺少这个步骤时证明过程就是不严密的.分析3:建立空间直角坐标系时,应首先说明三条直线两两互相垂直,此处没有证明BA,BC,BB1两两互相垂直显然是不完整的.分析4:设参数时,一定要注明参数的取值范围,缺少范围时,容易导致后续结论出错.此处由于D在A1B1上,所以0≤t≤2.分析5:由于二面角的大小与其两个面的法向量的夹角不是完全相等的关系,也可能互补,即它们的余弦值的绝对值是相等的,因此应有|cosθ|=|cos<n1,n2>|.由于法向量不唯一,有时由于法向量取的巧合,不加绝对值与加绝对值时得到的式子是相同的,但理论上应该加绝对值,否则有时候就会出现错误.分析6:解题结束时,一定要对照原问题的要求作出相应的完整的结论.满分答题高考原生态满分练4 立体几何解∵四边形AA1B1B为正方形,∴A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,∴A1B1⊥平面BB1C1C.
又AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.又BB1⊥平面ABC,∴AB,BC,BB1两两互相垂直.以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.2分则B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),得=(0,2,1),=(-1,1,1).设D(λ,0,2)(0≤λ≤2),则=(1-λ,1,-2).4分(1)证明:=0+2-2=0,,∴BF⊥DE.6分(2)∵AB⊥平面BB1C1C,∴n=(1,0,0)为平面BB1C1C的一个法向量.设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),则取x=3,则y=1+λ,z=2-λ.∴m=(3,1+λ,2-λ)为平面DFE的一个法向量.8分∴cos<m,n>=.设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的平面角为θ,则sinθ=10分要使sinθ最小,只需最大,又0≤λ≤2,∴当λ=时,最大,即sinθ最小,此时B1D=故当B1D=时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小.12分
