专题过关检测二 三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·江西临川期中)已知角θ的终边经过点P(,a),若θ=-,则a=( ) A.B.C.-D.-2.(2021·北京房山区一模)将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为( )A.x=-B.x=-C.x=D.x=3.(2021·湖南株洲高三二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosC-3bcosC=3ccosB,则角C的大小为( )A.B.C.D.4.(2021·山西吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)部分图象如图所示,则f=( )A.B.C.-D.5.(2021·北京海淀区模拟)已知sin+cosα,则sin=( )A.-B.-C.D.6.(2021·福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=,已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为( )A.5-5B.5C.D.57.(2021·浙江宁波模拟)在△ABC中,“tanAtanB>1”是“△ABC为钝角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2021·安徽淮北一模)函数f(x)=2sinx++cos2x的最大值为( )A.1+B.C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为10.(2021·河北秦皇岛高三二模)已知函数f(x)=cosωx-sinωx(ω>0)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )A.ω=2B.函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-(k∈Z)C.函数f(x)的图象关于,0中心对称D.函数f(x)的图象可由y=2cosωx的图象向右平移个单位长度得到11.(2021·辽宁沈阳二模)关于f(x)=sinx·cos2x的说法正确的为( )A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定义域内有偶数个零点D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=012.(2021·湖南益阳箴言中学高三月考)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象上,对称中心与对称轴x=的最小距离为,则下列结论正确的是( )A.f(x)+f-x=0B.当x∈时,f(x)≥-C.若g(x)=2cos2x,则gx-=f(x)D.若sin4α-cos4α=-,α∈0,,则fα+=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·安徽合肥期中)已知cos=-,则sin2α=.14.(2021·河北石家庄二中高三月考)已知偶函数f(x)=cosωx+φ-cosωx+φ+ω>0,φ∈0,的最小正周期为π,则ω= ;φ= . 15.(2021·广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120cm,AE=100cm,EF=80cm,FC=60cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为 cm2.(答案如有根号可保留)
16.(2021·湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 m2. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021·江西上饶一模)已知f(x)=2cosx·sinx+-sin2x+sinxcosx.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若x∈,求y=f(x)的值域.18.(12分)(2021·湖南长沙高三模拟)某市一湿地公园建设项目中,拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩,并在A,B,C,D四个位置建四座观景台,在凸四边形ABCD中,AB=千米,AD=BC=CD=1千米.(1)用cosA表示cosC;(2)现要在A,C之间连接一根水下直管道,已知cosA=,问最少应准备多少千米管道.19.(12分)(2021·广东韶关一模)在①cosC+(cosA-sinA)cosB=0;②cos2B-3cos(A+C)=1;③bcosC+csinB=a这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1, ,求角B和b的最小值.
20.
(12分)(2021·山东枣庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,f(0)=,f=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角△ABC中,若A>B,f,求cos,并证明sinA>.21.(12分)(2021·福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.
老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,并且求得ω=.(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);(2)老张如能在今天以点D处的价格买入该股票3000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?22.(12分)(2021·深圳实验学校月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域;(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在区间上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
专题过关检测二 三角函数与解三角形1.C 解析:由题意,角θ的终边经过点P(,a),可得|OP|=(O为坐标原点),又由θ=-,根据三角函数的定义,可得cos,且a<0,解得a=-2.C 解析:将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到y=g(x)=sin=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)的图象的一条对称轴方程为x=3.A 解析:因为2acosC-3bcosC=3ccosB,由正弦定理得2sinAcosC-3sinBcosC=3sinCcosB,所以2sinAcosC=3sin(C+B)=3sinA,因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=,又C∈(0,π),所以C=4.D 解析:由题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象知,A=2,T==3π,所以T=4π=,所以ω=又f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin故f=2sin=2sin5.D 解析:由sin+cosα可得sincosα-cossinα=+cosα,cosα-sinα=+cosα,sinα+cosα=-,∴sin=-,∴sin=sin=cos=1-2sin26.C 解析:在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin,又S△CDE=DE·h=CD·CEsin,即5DE=CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,所以DE2DE,则DE,故DE的最小值为7.D 解析:因为tanAtanB>1,所以>1,因为0<A<π,0<B<π,所以sinAsinB>0,cosAcosB>0,故A,B同为锐角,因为sinAsinB>cosAcosB,所以cosAcosB-sinAsinB<0,即cos(A+B)<0,所以<A+B<π,因此0<C<,所以△ABC是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足.反之,若△ABC是钝角三角形,也推不出“tanAtanB>1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.8.B 解析:因为f(x)=2sin+cos2x,所以f(x)=2sin+sin=2sinx++2sincos令θ=x+,g(θ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ,则g'(θ)=2cosθ+2cos2θ=2(2cos2θ-1)+2cosθ=4cos2θ+2cosθ-2,令g'(θ)=0,得cosθ=-1或cosθ=,当-1≤cos时,g'(θ)≤0;当cosθ≤1时,g'(θ)≥0,所以当(k∈Z)时,g(θ)单调递减;当(k∈Z)时,g(θ)单调递增,所以当θ=+2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sinθ=,
所以f(x)max=2+29.ACD 解析:因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,又cosC=>0,所以C为锐角,所以B中结论错误;由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cosA=,所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cosC.由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C,所以2A=C,所以C中结论正确;由正弦定理,得2R=(R为△ABC外接圆半径),又sinC=,所以2R=,解得R=,所以D中结论正确.10.AC 解析:f(x)=cosωx-sinωx=2cosωx+.由图象可知--=,所以T=π=,所以ω=2,故A正确;函数f(x)的解析式为f(x)=2cos2x+,令2kπ-π≤2x+2kπ(k∈Z)得kπ-x≤kπ-,故f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-(k∈Z),故B错误;因为f=0,故C正确;f(x)图象可由y=2cos2x图象向左平移个单位长度得到,故D错误.故选AC.11.BD 解析:对于A,当x=时,f-f=sincos-sincos=-0,故A错误.对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sinxcos2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sinxcos2x=sinxcos2x-sinxcos2x=0,故D正确.12.BD 解析:∵对称中心与对称轴x=的最小距离为,,即T=π.而T=,∴ω=2.∵直线x=为对称轴,∴2+φ=kπ,即φ=kπ-,又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=2cos2x-.∵f-x=2cos2-x-=2cos-2x=-2sin2x,∴f(x)+f-x=2cos2x--2sin2x=2cos2x+≠0,故A错误;
当x∈时,2x-,∴f(x)=2cos2x-∈[-],故B正确;∵g(x)=2cos2x,∴gx-=2cos2x-=2cos2x-≠f(x),故C错误;∵sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=-cos2α=-,∴cos2α=,∵α∈0,,∴2α∈(0,π),∴sin2α=,∴fα+=2cos2α+-=-2sin2α-=-2sin2αcos+2cos2αsin=-,故D正确.故选BD.13.- 解析:由cos=-可得cos,所以(cosα-sinα)=,即cosα-sinα=,两边平方可得1-sin2α=,故sin2α=-14.1 解析:f(x)=cosωx+φ-cosωx+φ-=-cosωx+φ-sinωx+φ-=-sin2ωx+2φ-.因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,得ω=1,则f(x)=-sin2x+2φ-,因为f(x)为偶函数,所以2φ-+kπ(k∈Z),可得φ=(k∈Z).又因为φ∈0,,所以φ=15.14400 解析:连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO与△CFO相似,所以,所以EO=50cm,FO=30cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(100)2+(50)2-2×10050cos60°=22500,所以AO=150cm,同理CO=90cm,所以AC=240cm,从而BC==120cm,所以矩形ABCD的面积为14400cm2.16.(10000+25000) 解析:在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100m,OA=200m,∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,即AB=100,∴S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OB·sinθ+AB2,于是S四边形OACB=1002=1002sin(θ-φ)+(其中tanφ=2),所以当sin(θ-φ)=1时,S四边形OACB取最大值10000=10000+25000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10000+25000)m2.17.解(1)f(x)=2cosxsin(1-cos2x)+sin2x=2cosxcos2x+sin2x=sin2x+(2cos2x-1)+cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=2sin,令2kπ-2x++2kπ,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,因此,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)∵x,∴-<2x+,∴-<sin1,∴-1<f(x)≤2,因此当x时,y=f(x)的值域为(-1,2].18.解
(1)连接BD.在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=4-2cosA.在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC×CD×cosC=2-2cosC,故有4-2cosA=2-2cosC,所以cosC=cosA-1.(2)因为cosA=,所以由(1)可得cosC=-,又C∈(0,π),所以C=,而CD=CB,故∠CDB=在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=()2+12-21=3.所以BD=,所以△ABD为等腰三角形.cos∠ADB=cosA=,sin∠ADB=,cos∠ADC=cos(∠ADB+∠BDC)=cos∠ADB+=连接AC,则AC2=AD2+CD2-2AD×CD×cos∠ADC=12+12-2×1×1,所以AC=千米.19.解若选择①:在△ABC中,有A+B+C=π,则由题意可得cos[π-(A+B)]+(cosA-sinA)cosB=0,即-cos(A+B)+cosAcosB-sinAcosB=0,sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-sinAcosB=0,sinAsinB=sinAcosB,又sinA≠0,所以sinB=cosB,则tanB=又B∈(0,π),所以B=因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为若选择②:在△ABC中,有A+B+C=π,则由题意可得2cos2B-1-3cos(π-B)=2cos2B+3cosB-1=1,解得cosB=或cosB=-2(舍去),又B∈(0,π),所以B=因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为若选择③:由正弦定理可将已知条件转化为sinBcosC+sinCsinB=sinA,又sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以sinCsinB=sinCcosB,又sinC≠0,所以sinB=cosB,所以tanB=又B∈(0,π),所以B=因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为20.解(1)由f(0)=,得sinφ=,又0<φ<,所以φ=由f=0,得sin=0,
所以=kπ,k∈Z,即ω=(6k-1),k∈Z.由ω>0,结合题中函数f(x)的图象可知,所以0<ω<,所以有0<(6k-1)<,即<k<,又k∈Z,所以k=1,从而ω=(6×1-1)=2,因此,f(x)=sin(2)由f,得sin(A-B)=,又由题意可知0<A-B<,故cos(A-B)=,于是cos,sin,又A+B>,所以A=,又因为函数y=sinx在区间上单调递增,A,所以sinA>sin=21.解(1)∵点C,D关于直线l对称,∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,得②-①,得a=-3,③-①,得a=-6,∴2sin-2sinφ=sin-sinφ,∴cosφ+sinφ=cosφ+sinφ,cosφ=sinφ=sinφ,∴tanφ=-0<φ<π,∴φ=,代入②,得b=19.将φ=,b=19代入①得,a=6.于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin(68-x)++19.设点F的坐标为(xF,yF),则由(68-xF)+,解得xF=92.因此可知,当x=92时,股价见顶.(2)由(1)可知,yF=6sin+19=6sin+19=25,故这次操作老张能赚3000×(25-16)=27000(元).22.解(1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2.又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=2sin2x.令+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z,又因为x,故函数f(x)的单调递减区间为(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数y=g(x)=2sin4x-的图象,当x时,4x-,当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-时,函数g(x)取得最大值,且最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,即2sin,即sin4x-=(*)因为x,可得4x-,设θ=4x-,其中,则方程(*)可转化为sinθ=,结合正弦函数y=sinθ的图象,如图,可得方程sinθ=在区间上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=
