第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝( )A.B.C.D.解析 由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以sinα＝＝＝.故选A.答案 A2.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝( )A.B.2C.4D.8解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan∠ABD＝＝＝，所以tan∠ABC＝＝4.故选C.答案 C3.(2020·新高考山东、海南卷)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b\n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝sinB，C＝，________？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②csinA＝3，解得c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sinA＝sinB及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.4.(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积.\n条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.解 (从条件①②中任选一个即可)选条件①：c＝7，cosA＝－，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝＝＝－，解得a＝8.(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝＝＝.在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝＝＝.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6.选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝.在△ABC中，由正弦定理，可得＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝＝.\n∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝.(2)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.(2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.(3)三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.热点一 三角恒等变换【例1】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝( )A.－2B.－1C.1D.2(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )A.B.C.D.\n解析 (1)2tanθ－tan＝2tanθ－＝7，解得tanθ＝2.故选D.(2)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.由α∈知cosα≠0，则2sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，又α∈，所以sinα＝.答案 (1)D (2)B探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知先求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.【训练1】(1)(2020·深圳统测)已知tanα＝－3，则sin＝( )A.B.－C.D.－(2)(2020·江南名校联考)已知α，β均为锐角，且α＋β≠，若sin(2α＋β)＝sinβ，则＝________.解析 (1)由题意，得sin＝sin＝cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选D.(2)因为sin(2α＋β)＝sinβ，则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]∴2[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝3[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]从而sin(α＋β)cosα＝5cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝5tanα，故＝5.答案 (1)D (2)5热点二 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2】(2020·青岛质检)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).\n(1)求角C；(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cosB＝.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 (1)已知2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).由余弦定理，得2b2＝2bccosA·(1－tanA)，所以b＝c(cosA－sinA).由正弦定理，得sinB＝sinC(cosA－sinA)，所以sin(A＋C)＝sinCcosA－sinCsinA，所以sinAcosC＝－sinCsinA，又sinA≠0，所以tanC＝－1，又C∈(0，π)，所以C＝π.(2)若选择条件①：S△ABC＝4且B>A.因为S△ABC＝4＝absinC＝absin，所以ab＝8.由余弦定理，得c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos，所以a2＋b2＋ab＝40.由解得或因为B>A，所以b>a，所以所以CD＝.在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cosC＝16＋2－2×4×cos＝26，所以AD＝.若选择条件②：cosB＝.因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝.因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB＝，所以结合正弦定理＝，得a＝＝2.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝(2)2＋()2\n－2×2××＝26，解得AD＝.探究提高 1.高考的热点是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】(2020·日照联考)在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcosC＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.(1)求tanB的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 选择条件①：(1)由题意得8acsinB＝3(a2＋c2－b2)，即4sinB＝3·，整理可得3cosB－4sinB＝0.又sinB>0，所以cosB>0，所以tanB＝＝.(2)由tanB＝，得sinB＝.又S＝42，a＝10，所以S＝acsinB＝×10c×＝42，解得c＝14.将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.选择条件②：(1)已知5bcosC＋4c＝5a，由正弦定理，得5sinBcosC＋4sinC＝5sinA，即5sinBcosC＋4sinC＝5sin(B＋C)，即sinC(4－5cosB)＝0.在△ABC中，因为sinC≠0，所以cosB＝.所以sinB＝＝，所以tanB＝.(2)由S＝acsinB＝×10c×＝42，解得c＝14.\n又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.热点三 正、余弦定理与其它知识的交汇问题角度1 正、余弦定理与三角函数的结合命题【例3】已知m＝(2cosx＋2sinx，1)，n＝(cosx，－y)，且满足m·n＝0.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x∈R)的最大值是f，且a＝2，求b＋c的取值范围.解 (1)由m·n＝0，得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1，所以f(x)＝2sin＋1，其最小正周期为π.(2)由题意得f＝3，所以A＋＝2kπ＋(k∈Z)，因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理，得b＝sinB，c＝sinC，则b＋c＝sinB＋sinC＝sinB＋sin＝4sin，又因为B∈，所以sin∈，所以b＋c∈(2，4]，所以b＋c的取值范围是(2，4].角度2 正、余弦定理与向量的结合命题【例4】(2020·潍坊模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sinB)，n＝(b－a，sinA＋sinC)，且m∥n.(1)求C；(2)若c＋3b＝3a，求sinA.解 (1)因为m∥n，\n所以(c－a)(sinA＋sinC)＝(b－a)sinB.由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝＝.因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)由(1)知B＝－A.由题设及正弦定理得sinC＋3sin＝3sinA，即＋cosA＋sinA＝sinA，可得sin＝.由于0<A<，因此－<A－<，所以cos＝.故sinA＝sin＝sincos＋cos·sin＝.探究提高 1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.2.与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.【训练3】已知向量a＝，b＝(－sinx，sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.解 (1)由已知得a＝(－sinx，cosx)，又b＝(－sinx，sinx)，则f(x)＝a·b＝sin2x＋sinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x＝sin＋，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，\nf(x)取得最大值.(2)锐角△ABC中，因为f＝sin＋＝1，∴sin＝，∴A＝.因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.S△ABC＝bcsinA＝bc≤3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.A级 巩固提升一、选择题1.(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sin＝1，则sin＝( )A.B.C.D.解析 因为sinθ＋sin＝sin＋sin＝sincos－cossin＋sincos＋cossin＝2sincos＝sin＝1，所以sin＝.故选B.答案 B2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝( )A.6B.5C.4D.3解析 由正弦定理得，asinA－bsinB＝4csinC⇒a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2，又cosA＝＝－，于是可得到＝6.故选A.答案 A3.已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )A.B.C.D.\n解析 由α，β为锐角，则－<α－β<，由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.答案 C4.(多选题)(2020·菏泽六校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确的是( )A.sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为解析 由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，A正确.由c为最大边，cosC＝＝＝>0，即C为锐角，得△ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cosA＝＝＝，则cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C正确.若c＝6，则2R＝＝＝(R为△ABC的外接圆的半径)，则△ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.答案 ACD5.(多选题)(2020·北京海淀区联考)在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB\n＝2CD，cos∠CDB＝－，则( )A.sin∠CDB＝B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8＋4D.△ABC为钝角三角形解析 因为cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，A错误.设CD＝a，则BC＝2a.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，即4a2＝a2＋9－6a×，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，所以S△ABC＝S△DBC＝8，B正确.因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC＝25＋5－2×5××＝20，解得AC＝2.所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，C正确.因为cos∠BCA＝＝－<0，所以∠BCA为钝角，所以△ABC为钝角三角形，D正确.故选BCD.答案 BCD二、填空题6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________.解析 因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin2α＝.答案 7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，c＝－2(舍去)，∴a＝4，\n∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.答案 68.(2020·郑州一预)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB，则B＝________；若a＋c＝5，△ABC的面积S＝，则b＝________.解析 因为bcosC与ccosB的等差中项为acosB，所以2acosB＝bcosB＋ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sinAcosB＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.因为△ABC的面积S＝，所以acsinB＝，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝＝＝＝.答案 三、解答题9.(2020·海南新高考诊断)在①cosA＝，cosC＝；②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°；③c＝2，cosA＝三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 选①.∵cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝，∴S＝absinC＝×3××＝.选②.∵csinC＝sinA＋bsinB，∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.∵a＝3，∴b2＝c2－3.\n又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，∴c＝4，∴S＝acsinB＝3.选③.∵c＝2，cosA＝，∴结合余弦定理，得＝，即b2－－5＝0，解得b＝或b＝－2(舍去).又∵sinA＝＝，∴S＝bcsinA＝××2×＝.10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.解 (1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－.因为0<A<π，所以A＝.(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sinB，AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin.又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.B级 能力突破11.(2020·漳州适应性测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB的值为( )\nA.－B.C.D.±解析 法一 如图，因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠CAB，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理，知＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＝3c>c，所以B>C.因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝＝＝＝.故选B.法二 因为∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.\n又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.因为a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.由余弦定理，得cos∠BAD＝，即＝，所以AD2－4AD＋9＝0，所以(AD－)(AD－3)＝0.所以AD＝3或AD＝.因为b＝3c>c，所以B>C.又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝，所以AD＝3，所以cos∠ADB＝＝＝.故选B.答案 B12.(2020·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值.解 (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×cos45°＝5，所以b＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝.(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，\n所以∠ADC为钝角.而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角.故cosC＝＝，则tanC＝＝.因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－.从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.
