专题过关检测六 解析几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2021·广东潮州高三二模)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,则双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.2.(2021·浙江宁波三模)“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021·陕西宝鸡三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-10y=0截得的线段长等于8,则双曲线C的离心率为( )A.B.C.3D.4.(2021·广东肇庆高三第三次检测)已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.5.(2021·宁夏银川二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=( )A.4B.6C.8D.126.(2021·广东茂名二模)已知点P是双曲线C:=1右支上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点.若△PF1F2的周长为16,点O为坐标原点,则=( )A.20B.-20C.40D.-407.(2021·四川成都石室中学一模)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,动圆C满足与C1外切且与C2内切,若M为C1上的动点,且=0,则||的最小值为( )A.B.C.2D.8.(2021·北京石景山一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为( )A.2B.3C.4D.6二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·湖南师大附中月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则( )A.|PQ|的最小值为4B.已知曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,则线段ST的中点的横坐标是4C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥D.过M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条10.(2021·湖南衡阳高三二模)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过F的直线与C分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则( )A.y1y2为定值B.∠AOB可能为直角C.以AF为直径的圆与y轴有两个交点
D.对于确定的直线AB,在C的准线上存在三个不同的点P1,P2,P3,使得△ABPi(i=1,2,3)为直角三角形11.(2021·新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3D.当∠PBA最大时,|PB|=312.(2021·辽宁部分重点中学协作体联考)若双曲线C:=1,F1,F2分别为左、右焦点,设点P在双曲线上且是第一象限内的动点,点I为△PF1F2的内心,点G为△PF1F2的重心,则下列说法正确的是( )A.双曲线C的离心率为B.点I的运动轨迹为双曲线的一部分C.若|PF1|=2|PF2|,=x+y,则y-x=D.存在点P,使得IG∥F1F2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·全国乙,文14)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 . 14.(2021·广东湛江高三二模)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积为a2,则双曲线C的渐近线方程为 . 15.(2021·北京八一中学期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地,他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆Γ:=1(a>b>0),A,B为椭圆Γ长轴的端点,C,D为椭圆Γ短轴的端点,动点M满足=2,△MAB的面积的最大值为8,△MCD的面积的最小值为1,则椭圆Γ的离心率为 . 16.(2021·山东青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为P,直线l:x=t(0<t<m)与抛物线Z的交点为A,直线l与圆F在第一象限的交点为B,则m= ;△FAB周长的取值范围为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021·四川达州二模)已知点F,直线l:x=-,动点P到点F与到直线l的距离相等.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过C上一点M(3,)作圆(x-2)2+y2=1的两条切线,分别与轨迹C交于异于M点的A,B两点,求|AB|.18.(12分)(2021·广东揭阳高三一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点A.设椭圆
C的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一个动点(异于椭圆C的左、右顶点).(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作椭圆C的切线l,过点F1作l的垂线,垂足为Q,求△QF1F2面积的最大值.19.(12分)(2021·江苏泰州模拟)已知椭圆P:+y2=1的右顶点为A,点M(x0,y0)是椭圆P上异于A的一点,MN⊥x轴于点N,B是MN的中点,过动点M(x0,y0)的直线l:x0x+4y0y=4与直线AB交于点C.(1)当x0=时,求证:直线l与椭圆P只有一个公共点;(2)求证:点C在定直线上运动.20.(12分)(2021·安徽马鞍山二模(理))已知双曲线x2-=1(b≠1)的左焦点为F,右顶点为A,过点F向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为P,直线AP与双曲线的左支交于点B.(1)设O为坐标原点,求线段OP的长度;(2)求证:PF平分∠BFA.
21.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)和直线l:=1,椭圆的离心率e=,坐标原点到直线l的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线m过点P(0,2),且与椭圆相交于C,D两点,试判断是否存在直线m,使以CD为直径的圆过点E?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021·湖南衡阳八中月考)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为,且过点P(4,2).(1)求双曲线C的方程;(2)过F1的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A,B和C,D,M,N分别为AB,CD的中点,连接MN,过坐标原点O作MN的垂线,垂足为H,是否存在定点G,使得|GH|为定值?若存在,求此定点G;若不存在,请说明理由.
专题过关检测六 解析几何1.D 解析:因为双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,所以-=-,所以=e2-1=,由e>1,解得e=2.B 解析:命题p:点(a,b)在圆x2+y2=1外等价于a2+b2>1,命题q:直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交等价于<1⇔a2+b2>4,从而有pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.3.D 解析:双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即ay±bx=0.圆的方程x2+y2-10y=0可化为x2+(y-5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,圆心到渐近线的距离为d=,由弦长公式可得8=2,化简可得b2=a2,∴c2=a2+b2=a2,则e=4.A 解析:过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为的直线方程为y=x-b,即x-y-b=0,F(c,0),由点到直线距离公式及直线与圆相切,得c=,即c2=-bc+b2,(2c-b)(c+2b)=0,又c+2b>0,则2c-b=0,b=2c.又a2=b2+c2,即a2=(2c)2+c2=5c2,解得5.B 解析:抛物线y2=8x中,p=4,其焦点F(2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,R(图略).由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.而P恰好为AB的中点,故PR是梯形ABNM的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|,又P(1,1),故|PR|=1+=3,所以|AF|+|BF|=2×3=6.6.B 解析:因为|F1F2|=2c=6,△PF1F2的周长为16,所以|PF1|+|PF2|=10.因为|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=7,|PF2|=3,所以)·()=)=(32-72)=-20.7.B 解析:易知圆C1的圆心C1(-2,0),圆C1的半径为r1=1.圆C2的圆心C2(2,0),半径为r2=7.|C1C2|=4<|r1-r2|,所以圆C1内含于圆C2.设圆C的半径为R,则故|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=4,
故圆心C的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为C1,C2.设该椭圆的方程为=1(a>b>0),焦距为2c(c>0),则2a=8,可得a=4;由2c=4,可得c=2;b==2,所以点C的轨迹方程为=1.由=0,得CM⊥C1M,且||=1,由椭圆的几何性质可得||min=a-c=2,故||min=8.A 解析:因为在△ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以D因为直线BC的斜率为=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1.所以BC的垂直平分线方程为y-=x-,即x-y-1=0.因为“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心(a,a-3)到“欧拉线”的距离为=r,可得r=因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为=3,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3=29.ABC 解析:由题意知,=1,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.对于A,当PQ⊥x轴时,|PQ|取得最小值,最小值为2p=4,所以A正确;对于B,曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,所以点S,T的横坐标之和为10-2=8,则线段ST的中点横坐标为4,所以B正确;对于C,设M(0,1),则|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|FM|=,当且仅当M,P,F三点共线时取等号,所以C正确;对于D,当直线过点M(0,1)且与x轴平行时,直线与抛物线有且只有一个公共点.过点M(0,1)且与抛物线相切的直线有两条,此时直线与抛物线有且只有一个公共点,所以过点M(0,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条,所以D错误.10.AD 解析:设lAB:x=ty+1,与y2=4x联立消去x,得y2-4ty-4=0,Δ>0恒成立,y1y2=-4,故A对;因为x1x2==1,所以kOA·kOB=-1,所以∠AOB,故B错;设AF的中点M,,则以AF为直径的圆与y轴相切,故C错;设AB的中点N,N到C准线的距离为+1,因为+1,故有以AB为直径的圆与C的准线相切,对于确定的直线AB,当P1为直角,此时P1为切点;当A或B为直角,此时P2为过点A的AB的垂线与准线的交点,P3为过点B的AB的垂线与准线的交点,故D正确.11.
ACD 解析:如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.又-4<2,+4<10,故A正确,B错误;过点B分别作圆的两条切线BP3,BP4,切点分别为点P3,P4,则当点P在P3处时∠PBA最大,在P4处时∠PBA最小.又|BP3|=|BP4|==3,故C,D正确.故选A,C,D.12.ACD 解析:由题意,双曲线C:=1,可得a=2,b=,c==3,则离心率为e=,所以A正确;设|PF1|=m,|PF2|=n,△PF1F2的内切圆与边PF1切于点S,与边PF2切于点K,与边F1F2切于点T,可得|PS|=|PK|,|F1S|=|F1T|,|F2T|=|F2K|.由双曲线的定义可得m-n=2a,即|F1S|-|F2K|=|F1T|-|F2T|=2a.又由|F1T|+|F2T|=2c,解得|F2T|=c-a,则T的横坐标为a,由I与T的横坐标相同,可得I的横坐标为a=2,可得I在定直线x=2上运动,所以B不正确;由|PF1|=2|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2a=4,解得|PF1|=8,|PF2|=4,又|F1F2|=2c=6,所以cos∠PF1F2=,可得sin∠PF1F2=,所以tan∠PF1F2=,同理可得tan∠PF2F1=-设直线PF1:y=(x+3),直线PF2:y=(x-3),联立求得P(4,).设△PF1F2的内切圆的半径为r,则8×6(8+4+6)·r,解得r=,即有I,可得=-2,-,=(-7,-),=(-1,-),由=x+y,可得解得x=,y=,可得y-x=,所以C正确;设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则G设△PF1F2的内切圆半径为r,则|F1F2|×y0=(m+n+2c)·r,于是cy0=(m+n+2c)·r,可得r=若IG∥F1F2,可得,即m+n=4c=12.又由m-n=2a=4,联立可得n=4,因此解得
即存在点P(4,),使得IG∥F1F2,所以D正确.13 解析:由双曲线方程可得c==3,即双曲线的右焦点为F(3,0).则点F到直线x+2y-8=0的距离d=14.x±y=0 解析:因为||PF1|-|PF2||=2a,=4c2,则2|PF1|·|PF2|==4c2-4a2=4b2,所以|PF1|·|PF2|=2b2.因为∠F1PF2=,所以|PF1||PF2|=b2=a2,可得a=b.所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.15 解析:设点M(x,y),设点A(-a,0),B(a,0),由=2可得|MA|=2|MB|,即=2整理可得x2+y2-x+a2=0,即+y2=a2,所以,点M的轨迹是以点为圆心,以a为半径的圆.点M到x轴的距离的最大值为a,则△MAB的面积的最大值为2aa==8,解得a=点M到y轴距离的最小值为,则△MCD的面积的最小值为2b=1,可得b=c=,因此,椭圆Γ的离心率为e=16.2 (4,6) 解析:如图所示.由解得故m=2.由解得所以A由解得所以B(t,1+).由抛物线的定义,知AF=AC,△FAB的周长=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=+4.因为t∈(0,2),所以+4∈(4,6).17.解(1)设点P(x,y),根据题意得,化简得动点P的轨迹方程为y2=x.(2)∵M(3,),(x-2)2+y2=1,∴x=3即圆的一条切线,A(3,-).设过M的另一条切线斜率为k,k≠0,则切线方程为y-=k(x-3),又设B(x1,y1).由方程组得y2-y+-2=0,+y1=,y1=∵直线为y-=k(x-3),其与圆相切,=1,∴k=∴y1=B满足y2=x,∴B,∴|AB|=||=18.解(1)由椭圆C的离心率,可得,即有a2=4c2.再结合a2=b2+c2,可得b2=3c2.椭圆C的方程可化为=1,将点A代入上述椭圆方程可得=1.
解得c2=1,所以c=1,a=2,b=椭圆C的方程为=1.(2)设直线l:y=kx+m,联立直线l与椭圆C的方程消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.若直线l与椭圆C相切,可得上述方程的Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简可得m2=4k2+3,(*)设点Q的坐标为(x,y),过点F1作l的垂线为l1:y=-(x+1),联立l1与l求得x=,y=由上式可得x2+y2=,将(*)代入上式可得x2+y2=4,故可知点Q的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆.∵P是椭圆C上的异于椭圆左右顶点的动点,故该轨迹应去掉点(±2,0),∴△QF1F2的面积为|F1F2|·|yQ|=|yQ|≤2,即△QF1F2面积的最大值为2.19.证明(1)不妨设y0>0,当x0=时,由=1得y0=,所以直线l的方程为x+4y=4,即y=-x+由解得故直线l与椭圆P的交点坐标为,所以直线l与椭圆P只有一个公共点.(2)因为M(x0,y0)(不妨取y0>0),MN⊥x轴,B是MN的中点,所以B因为y0>0,所以x0≠2,所以直线AB的方程为y=(x-2),即y=(x-2),联立得(+2-2x0)x=4x0-8+4又因为=1,所以=1-,因此x=4x0-8+4,即(x0-2)2x=-(x0-2)2,所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.20.(1)解不妨设B在第二象限,则渐近线OP的方程为y=-bx,则直线PF的方程为y=(x+c).由得xP=-=-,yP=,故P故|OP|==1.(2)证明设直线PF的倾斜角为θ,则tanθ=,tan2θ=又A(1,0),故直线AP的斜率为=-,则直线AP的方程为y=-(x-1).由得(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0,xB=xAxB=-,yB=-(xB-1)=又F(-c,0),故直线BF的斜率为=tan2θ,故PF平分∠BFA.21.解(1)由直线l:=1,,即4a2b2=3a2+3b2.①∵e=,得,即c2=a2.又a2=b2+c2,∴b2=a2.②将②代入①得,即a4=4a2,∴a2=3,c2=2,b2=1.故所求椭圆的方程是+y2=1.(2)①当直线m的斜率不存在时,直线m方程为x=0,
则直线m与椭圆的交点为(0,±1),∵E(-1,0),∴∠CED=90°,即以CD为直径的圆过点E.②当直线m的斜率存在时,设直线m方程为y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),由得(1+3k2)x2+12kx+9=0.由Δ=144k2-4×9(1+3k2)=36k2-36>0,得k>1或k<-1,∴x1+x2=,x1x2=∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.∵以CD为直径的圆过点E,∴EC⊥ED,即=0.由=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),得(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.+(2k+1)+5=0,解得k=>1,即m的方程:y=x+2.综上所述,当以CD为直径的圆过定点E时,直线m的方程为x=0或y=x+2.22.解(1)由题可知双曲线C的方程是=1.(2)存在定点G(-2,0),使得|GH|为定值,理由如下:由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则H点为(0,0),直线MN的方程为y=0,当直线AB和CD都有斜率时,因为点F1(-2,0),设直线AB的方程为y=k(x+2),设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),联立方程组得(1-2k2)x2-8k2x-16(3k2+1)=0,所以xA+xB=,xAxB=,故xM=,yM=k设直线CD的方程为y=-(x+2),设C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN),同理可得xC+xD=,xCxD=,故xN=,yN=-,所以kMN==-由y-yM=kMN(x-xM),得直线MN的方程为y-k=-,化简得y=-,可知直线MN过定点P(-4,0).又因为OH⊥MN,所以点H的运动轨迹是以点(-2,0)为圆心,以|OP|=2为直径的圆,所以存在定点G(-2,0),使得|GH|为定值2
