江苏专用2022高考数学二轮复习专题五解析几何考点整合理

【创新设计】（江苏专用）2022高考数学二轮复习专题五解析几何考点整合理第1讲　直线与圆高考定位　高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．多为B级或C级要求．真题感悟1．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案　(x－1)2＋y2＝22．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得＝1，解得k＝0或－，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.41\n设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围是.考点整合1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝；对于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．41\n(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.热点一　直线与圆有关问题[微题型1]　求圆的方程【例1－1】(2022·广州模拟)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为________．解析　因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，∴b2＝3，b＝±.答案　(x－2)2＋(y±)2＝4探究提高　圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．[微题型2]　圆的切线问题【例1－2】(2022·重庆卷改编)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________．解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，AB＝＝＝6.答案　6探究提高　(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．[微题型3]　与圆有关的弦长问题【例1－3】(2022·泰州调研)若圆上一点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是________．解析　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x41\n－y＋1＝0相交的弦长为2，故r2－＝2，依据上述方程，解得或所以，所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.答案　(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244探究提高　涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋＝r2求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x1－x2|.【训练1】(2022·全国Ⅰ卷改编)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝________．解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4.答案　4热点二　直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】(2022·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求MN.解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为直线l与圆C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.41\n所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆C的圆心(2，3)在l上，所以MN＝2.探究提高　根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．【训练2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)．(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交．(1)解　设点P的坐标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得PC－r＝PC－r，即[(x0－3)2＋(y0＋2)2]－4＝[(x0＋m)2＋(y0＋m＋5)2]－(2m2＋8m＋10)，化简得x0＋y0＋1＝0，因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，－1)或(－1，0)．(2)证明　依题意可设直线l的方程为：y＋2＝k(x－3)，k＞0，化简得kx－y－3k－2＝0，则圆心C2(－m，－m－5)到直线l的距离为，又圆C2的半径为，所以“直线l与圆C2总相交”等价于“∀m≠－3，＜”，即＜，①记y＝，整理得(y－2)m2＋2(3y－4)m＋9y－10＝0，当y＝2时，m＝－2；41\n当y≠2时，判别式Δ＝[2(3y－4)]2－4(y－2)(9y－10)≥0，解得y≥1；综上得y＝，m≠－3的最小值为1，所以①式⇔＜1⇔k＞0，即证．热点三　直线、圆与其他知识的交汇【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，＝.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解　(1)因为＝且A(3，0)，所以BP＝DA＝2，而B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1，2)，B(－1，2)，所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2)线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1，所以圆C的圆心为(0，－1)，且圆C的半径为r＝，又圆心(0，－1)到直线BD的距离为d＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2＝4.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PA的垂直平分线y＝x－1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PM＝PN.设M(0，b)，则N(2，4－b)，根据N(2，4－b)在直线y＝x－1上，解得b＝3.所以M(0，3)，N(2，1)，PM＝PN＝，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.探究提高　求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．41\n【训练3】(2022·四川卷)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋.请将n表示为m的函数．解　(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0，得k2＞3.所以，k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则OM2＝(1＋k2)x，ON2＝(1＋k2)x.又OQ2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.由＝＋，得＝＋，即＝＋＝.由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，所以m2＝.因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，得5n2－3m2＝36.由m2＝及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(－，0)∪(0，)．根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝＝.于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，))．41\n1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.一、填空题1．(2022·广东卷改编)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________．解析　设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案　2x＋y±5＝02．(2022·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．解析　因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案　(x－1)2＋(y－1)2＝23．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，41\n所以弦长为2＝2＝.答案　4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．解析　配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3，4)，半径为r＝5，则过点(3，5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.答案　205．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．解析　x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a，0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有－＝，解得a＝1或－1(舍去)．答案　16．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，设圆心C(4，0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.答案　7．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析　由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0，1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN41\n＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．答案　[－1，1]8．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为________．解析　根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，根据勾股定理得AB＝，∴OC＝AB＝.∴圆心到直线的距离为＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d＝＝＝.设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1.答案　－1二、解答题9．(2022·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.41\n(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意可得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝.由得此时，圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.10.已知双曲线x2－＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2，3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0，9)时，求这个圆的方程．解　(1)∵双曲线焦点为(±2，0)，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．则∴a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为＋＝1.(2)由已知，A(－4，0)，B(4，0)，F(2，0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t＞0)．∵AM＝MN，∴M.由点M在椭圆上，得t＝6.故所求的点M的坐标为M(2，3)．41\n所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.cos∠AMB＝＝＝－.(3)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将A、F、N三点坐标代入，得得圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y2－y－8＝0.设P(0，y1)，Q(0，y2)，则y1，2＝.由线段PQ的中点为(0，9)，得y1＋y2＝18，t＋＝18，此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.11.如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝2时，求直线l的方程；(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解　(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.41\n∵MN＝2，∴AQ＝＝1.由AQ＝＝1，得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴·＝0，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.当直线l与x轴垂直时，得P.则＝，又＝(1，2)，∴·＝·＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P.∴＝.∴·＝·＝－＝－5.综上所述，·是定值，且·＝－5.第2讲　圆锥曲线的基本问题高考定位　圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆有关知识为B级要求，双曲线的有关知识为A级要求．41\n真题感悟1．(2022·江苏卷)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．解析　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±x.答案　y＝±x2．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析　建立关于m的方程求解．∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.答案　23．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析　法一　x＝3代入－＝1，y＝±，不妨设M(3，)，右焦点F(4，0)．∴MF＝＝4.法二　由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝＝1的距离比为离心率e＝＝2，∴＝2，MF＝4.答案　44．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.答案　41\n考点整合1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)；(2)双曲线：|MF1－MF2|＝2a(2a<F1F2)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝＝；(2)双曲线：①e＝＝.②渐近线方程：y＝±x或y＝±x.4．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝|x2－x1|或P1P2＝|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.热点一　圆锥曲线的定义和标准方程【例1】(1)(2022·福建卷改编)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2等于________．(2)(2022·天津卷改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，41\n)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为________．解析　(1)由双曲线定义|PF2－PF1|＝2a，∵PF1＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴PF2－PF1＝6，∴PF2＝9.(2)由题意可得＝，c＝，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3.故双曲线方程为－＝1.答案　(1)9　(2)－＝1探究提高　(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟悉记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，画出合理草图．【训练1】(1)(2022·广东卷改编)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝________．(2)(2022·安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析　(1)由4＝(m＞0)⇒m＝3.(2)设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由AF1＝3F1B，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案　(1)3　(2)x2＋y2＝1热点二　圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2022·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．41\n(2)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析　(1)抛物线y2＝－4x的焦点坐标是(－1，0)，即双曲线的一个顶点坐标是(－1，0)，设双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝1，又＝，因此c＝2，b＝＝，故其渐近线方程是y＝±x.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p·x，∴x＝，y＝，∴A.设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴·＝－1，∴＝.设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.答案　(1)y＝±x　(2)探究提高　解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【训练2】(1)(2022·临沂模拟)已知对称中心为坐标原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，其左、右焦点都在x轴上，分别设为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，若PF2＝3，且椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为________．41\n(2)(2022·镇江期末)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．解析　(1)如图，设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，F1F2＝2c，则PF1＝F1F2＝2c.在椭圆中，由离心率的定义可知，e1＝＝＝＝，解得c＝3，即PF1＝F1F2＝6.在双曲线中，2a2＝|PF1－PF2|＝6－3＝3，故其离心率e2＝＝＝2.(2)设左焦点F(－c，0)，A点坐标为(x0，y0)，则解得：x0＝，y0＝c，又点A在椭圆C上．∴＋＝1，又b2＝a2－c2，整理得：c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，解得：e2＝4±2，∴e＝－1(e＝＋1舍去)．答案　(1)2　(2)－1热点三　有关圆锥曲线的弦长问题【例3】(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；41\n(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C的坐标为，且AB＝＝＝.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，则P点的坐标为，从而PC＝.因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.探究提高　(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的41\n问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．【训练3】设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB＝，求椭圆C的方程．解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，得离心率e＝＝.(2)因为AB＝|y2－y1|，所以·＝，由＝，得b＝a，所以a＝，得a＝3，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.1．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB41\n＜0时表示双曲线．2．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．3．在椭圆焦点三角形PF1F2，∠F1PF2＝α，则＝c|y0|＝b2·tan.4．求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e＝；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.5．通径：过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短.一、填空题1．(2022·南通·泰州调研)双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．解析　由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.答案　92．(2022·安徽卷改编)双曲线－x2＝1的渐近线方程为________．解析　焦点在y轴上的渐近线方程为y＝±x＝±2x.答案　y＝±2x3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．解析　由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.答案　5x2－y2＝14．(2022·湖南卷)设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．41\n解析　不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.答案　5．(2022·江苏五市模拟)已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与A，B两点，若AF2＋BF2的最大值为10，则m的值为________．解析　已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)中，a2＝9，b2＝m.AF2＋BF2＝4a－AB≤10，∴AB≥2，ABmin＝＝＝2，解得m＝3.答案　36．(2022·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．解析　直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以①－②得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.答案　＋＝17．(2022·天津卷改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________．解析　因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB41\n的面积为××p＝，又p>0，所以p＝2.答案　28．(2022·青岛模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．解析　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3，0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.答案　－＝1二、解答题9．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若MN＝4，求直线l的方程．解　(1)由题意得PA＝PB，故＝化简得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即为所求．(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.将x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝±2，所以MN＝4，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－k＋2，由圆心到直线的距离d＝2＝，解得k＝0，此时直线l的方程为y＝2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x＝1或y＝2.41\n10．(2022·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.11．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.41\n(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.41\n第3讲　圆锥曲线的综合问题高考定位　圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．真题感悟(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．解　(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝，由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，解得b2＝1，于是c2＝a2－1，又点在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1，解得a2＝2.因此，所求椭圆的方程是＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，y2＞0.41\n由，得(m2＋2)y－2my1－1＝0，解得y1＝，故AF1＝＝＝.①同理，BF2＝.②(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，解＝得m2＝2，注意到m＞0，故m＝.所以直线AF1的斜率为＝.(ⅱ)证明　因为直线AF1与BF2平行，所以＝，于是＝，故PF1＝BF1.由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2，从而PF1＝(2－BF2)．同理PF2＝·(2－AF1)．因此，PF1＋PF2＝(2－BF2)＋·(2－AF1)＝2－.又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝，所以PF1＋PF2＝2－＝.因此，PF1＋PF2是定值．考点整合1．定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．(1)椭圆中的最值F1、F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①OP∈[b，a]；41\n②PF1∈[a－c，a＋c]；③PF1·PF2∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①OP≥a；②PF1≥c－a.3．求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一　定点与定值问题[微题型1]　定点的探究与证明【例1－1】(2022·苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足＝λ且·＝0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0，3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1·k2＝－9.求证：直线EF过定点．41\n(1)解　由＝λ且·＝0可知，N，P，M三点共线且PM⊥QN.过点Q作QN⊥PM，垂足为N，设N(x，y)．因为OP＝3，OQ＝1，由相似比可知P(3x，y)．因为P在圆x2＋y2＝9上，所以(3x)2＋y2＝9，即＋x2＝1，所以点N的轨迹方程为＋x2＝1.(2)证明　设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由得(k＋9)x2＋6k1x＝0，①解得x＝0或x＝－，所以xE＝－，yE＝k1＋3＝，所以E.因为k1k2＝－9，所以k2＝－，用－替代①中的k1，同理可得F.显然E，F关于原点对称，所以直线EF必过原点O.探究提高　如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法．[微题型2]　定值的探究与证明【例1－2】(2022·南京、盐城模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1，0)，点H(1，)在椭圆上．(1)求此椭圆方程；(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝b2上，M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，问F2P＋F2Q＋PQ是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．解　(1)∵右焦点为F2(1，0)，∴c＝1，41\n∴左焦点为F1(－1，0)．又点H(1，)在椭圆上，∴2a＝HF1＋HF2＝＋＝4，∴a＝2，b＝＝，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)如图所示：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴＋＝1(|x1|≤2)，∴PF＝(x1－1)2＋y＝(x1－1)2＋3(1－)＝(x1－4)2，∴PF2＝(4－x1)＝2－x1.连接OM，OP，由相切条件知：PM2＝OP2－OM2＝x＋y－3＝x＋3(1－)－3＝x，∴PM＝x1，∴PF2＋PM＝2－x1＋x1＝2.同理可求：QF2＋QM＝2－x2＋x2＝2.所以F2P＋F2Q＋PQ＝2＋2＝4为定值．探究提高　定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】(2022·江苏高考命题原创卷)如图，过点C(0，)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于A(a，0)和B(－a，0)两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.41\n(1)当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．(1)解　由已知得b＝，＝，得a＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.椭圆的右焦点为F(1，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋.由解得x1＝0，x2＝，所以CD＝|x1－x2|＝×＝.(2)证明　当直线l与x轴垂直时，与题意不符，所以直线l与x轴不垂直，即直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0且k≠)．将其代入椭圆的方程，化简得(3＋4k2)x2＋8kx＝0，解得x1＝0，x2＝.将其代入直线l的方程，得y1＝，y2＝.所以D点的坐标为.因为B(－2，0)，kBD＝＝－·，所以直线BD的方程为y＝－(x＋2)．又直线AC的方程为＋＝1，41\n联立直线AC与直线BD的方程解得即Q.而P，所以·＝·＝4＋0＝4.所以·为定值4.热点二　最值与范围问题[微题型1]　求线段长度、三角形面积的最值【例2－1】(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解　(1)设F(c，0)，由条件知＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝.从而PQ＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·PQ＝.41\n设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.探究提高　若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值．[微题型2]　求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】(2022·青岛模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M，其离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(与椭圆C相交于点A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求OP的取值范围．解　(1)由已知可得e2＝＝，所以3a2＝4b2.又点M在椭圆C上，所以＋＝1.由以上两式联立，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当k＝0时，P(0，2m)在椭圆C上，解得m＝±，所以OP＝.当k≠0时，由消去y并化简整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)＞0，设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，由题意得x1，x2为上述一元二次方程的两根，解方程得x1，2＝，则x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由于点P在椭圆C上，所以＋＝1.从而＋＝1，化简得4m2＝3＋4k2.41\n所以OP＝＝＝＝＝.因为0＜|k|≤，所以3＜4k2＋3≤4，即≤＜1.故＜OP≤.综上，所求OP的取值范围是.探究提高　求OP的取值范围的关键是用待定系数k，m表示其大小，找到k和m的大小关系式后利用已知条件0＜|k|≤求OP的取值范围．本题利用了不等式的性质，也可以利用函数、导数来求范围．【训练2】(2022·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－，②由①②得m＜－或m＞.41\n(2)令t＝∈∪，则AB＝·.且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝AB·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.1．解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．2．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、填空题1．(2022·苏北四市调研)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)241\n＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，得1＜e≤2.答案　(1，2]2．(2022·广州模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为________．解析　在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得PB＋PC＝10，所以PA＋PB＝10＋PA－PC，因为|PA－PC|≤AC＝5，所以当点P，A，C三点共线时，PA＋PB取得最大值15.答案　153．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为________．解析　由已知可得直线l的方程为y＝kx＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.答案　∪4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．解析　由已知得A1(－1，0)，F2(2，0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.答案　－25．(2022·榆林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．41\n解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案　(1，2]6．(2022·成都模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析　由e2＝1－＝，得＝，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－.答案　－7．(2022·福建卷改编)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．解析　如图所示，设以(0，6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.答案　68．(2022·湖北卷改编)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．解析　设PF1＝r1，PF2＝r2(r1＞r2)，F1F2＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a241\n，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴＝，即＋的最大值为.答案　二、解答题9．设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．(1)解　因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明　设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝.直线F2P的斜率kF2P＝.故直线F2P的方程为y＝(x－c)．当x＝0时，y＝，41\n即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－1)，①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限．解得x0＝a2，y0＝1－a2.即点P在定直线x＋y＝1上．10．(2022·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，FM＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解　(1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有＋＝，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，41\n得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1.由PQ＝3，可得＝3.41\n又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，设△F1MN的内切圆的半径R，则△F1MN的周长为4a＝8，＝(MN＋F1M＋F1N)R＝4R，因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时也最大．＝F1F2|y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，得y1＝，y2＝，则＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，则＝＝＝.令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，≤＝3，当t＝1，m＝0时，＝3，又＝4R，∴Rmax＝.这时所求内切圆面积的最大值为π.故△F1MN内切圆面积的最大值为π，且此时直线l的方程为x＝1.41