专题突破练15 空间位置关系、空间角的向量方法1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.求证:(1)AP∥平面EBD;(2)BE⊥PC.2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.(1)求证:MN∥BD;(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.
3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求证:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.4.(2021·全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.
5.(2021·湖南长郡中学高三模拟)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,点G为弧CD的中点,且C,E,D,G四点共面.(1)证明:平面BFD⊥平面BCG;(2)若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为,求直线DF与平面ABF所成角的大小.6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求证:AC⊥BD.(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为.请你从中选择一个作为条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
专题突破练15 空间位置关系、空间角的向量方法1.证明(1)连接AC交BD于点O,连接OE,因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.又E为PC的中点,所以AP∥OE.又AP⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以AP∥平面EBD.(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD⊂平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BD.又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.又BE⊂平面BDE,所以BE⊥PC.2.(1)证明因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,又EF⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,所以EF∥平面PBD.
又EF⊂平面α,平面α∩平面PBD=MN,所以EF∥MN,所以MN∥BD.(2)解因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=BD.又EF=2MN,所以BD=4MN.由(1)知MN∥BD,所以PM=PB.如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),所以=(-1,1,2),=(-1,-1,0),=(1,1,-2),=(0,1,0),所以,所以设平面α的法向量为n=(x,y,z),则令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=,所以直线PA与平面α所成角的正弦值为3.(1)证明如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,,0),C1(1,,1),A1(-1,,1),所以=(-1,,0),=(1,0,1),=(2,0,0),=(0,,0).设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则令y=1,则x=,z=-,所以m=(,1,-)为平面CDC1的一个法向量.因为=0,=0,所以=(0,,0)为平面A1DC1的一个法向量.设二面角C-DC1-A1的大小为θ,则|cosθ|=|cos<m,>|=,所以sinθ=所以二面角C-DC1-A1的正弦值为
4.解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽Rt△ABM,,BC2=1,∴BC=(2)如图,以D为原点,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(,0,0),B(,1,0),M,P(0,0,1),=(-,0,1),=-,1,0,=-,0,0,=(-,-1,1).设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则令x1=,则y1=1,z1=2,可得m=(,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则cos<m,n>=设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sinθ=5.(1)证明如图,连接CE,
由题意得∠ECD=∠DCG=45°,所以∠ECG=90°,CE⊥CG,因为BC∥EF,BC=EF,所以四边形BCEF为平行四边形,BF∥EC,BF⊥CG,因为BC⊥平面ABF,BF⊂平面ABF,所以BC⊥BF,因为BC∩CG=C,所以BF⊥平面BCG,因为BF⊂平面BFD,所以平面BFD⊥平面BCG.(2)解如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设AF=2,AD=t,则A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,t),G(-1,1,t),=(0,2,0),=(-1,1,t),=(-2,2,0),=(-2,0,t),设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则n=(t,t,2),设平面ABG的一个法向量为m=(x',y',z'),则令z'=1,则m=(t,0,1),因为平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为,所以|cos<m,n>|=,解得t=2,即AD=2,因为DA⊥平面ABF,所以∠DFA即直线DF与平面ABF所成的角,在△ADF中,因为∠DAF=90°,AD=AF=2,所以∠DFA=45°,故直线DF与平面ABF所成的角为45°.6.(1)证明如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以OA⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO⊂平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.
由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=所以P,C,0,0,D,B,所以设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|=因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以OP=OC=所以P,C,D,B0,-,0,所以=0,-.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|=因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM.由PO⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,可知PO⊥CD.又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO为二面角A-CD-B的平面角.所以cos∠PMO=,所以tan∠PMO=因为OM=,所以OP=OMtan∠PMO=所以P,C,D,B0,-,0,所以设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|=因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为
