专题突破练13 空间几何体的结构、表面积与体积一、单项选择题1.(2021·湖北武汉月考)某圆锥的母线长为2,底面半径为,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( ) A.2B.C.D.12.(2021·山东德州期末)阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切,球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其中圆柱的表面积为12π,则该模型中球的体积为( )A.8πB.4πC.D.3.(2021·河北保定一中高三月考)在三棱锥P-ABC中,底面ABC是面积为3的正三角形,若三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上,且点O恰好在平面ABC内,则三棱锥P-ABC体积的最大值为( )A.B.2C.4D.64.(2021·山东济南一模)在菱形ABCD中,AB=BD=2,将△ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的大小为60°,则三棱锥A-BCD的体积为( )A.B.C.D.25.(2021·广东东莞光明中学高三月考)利用3D打印技术制作如图所示的模型,该模型为在圆锥内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10cm,母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为1g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为(取π≈3.14,精确到0.1)( )A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g6.(2021·全国甲,理11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( )A.B.C.D.7.(2021·广东广州二模)某学生用薄铁皮制作一个圆柱,圆柱的表面积为8π,则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.4(-1)πB.8(-1)πC.4(+1)πD.8(+1)π二、多项选择题8.
(2021·河北沧州高三三模)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,是古人用于祭祀的一种礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长为2,外径长为3,筒高为4,中部是棱长为3的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则( )A.该玉琮的体积为18+B.该玉琮的体积为27-C.该玉琮的表面积为54+πD.该玉琮的表面积为54+9π9.(2021·河北保定二模)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是( )A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2三、填空题10.(2021·广东佛山二模)将一个边长为2的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积为 . 11.(2021·湖南雅礼中学高三月考)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其表面积与体积的数值相等,则该圆锥的底面半径为 ,该圆锥的内切球体积为 . 12.(2021·山东烟台二模)在一次综合实践活动中,某手工制作小组利用硬纸板做了一个几何模型如图所示,底面ABCD是边长为4的正方形,半圆面APD⊥底面ABCD.经研究发现,当点P在半圆弧上(不含点A,D)运动时,三棱锥P-ABD的外接球始终保持不变,则该外接球的表面积为 . 专题突破练13 空间几何体的结构、表面积与体积
1.A 解析:如图,设截面为△SMN,P为MN的中点,O为底面圆的圆心,OP=x(0≤x<),由题意可知SB=2,OB=,则SO=1,SP=,MN=2,所以S△SMN=MN·SP=因为0≤x<,所以当x2=1,即x=1时,(S△SMN)max=2.故选A.2.D 解析:由题意可知球的表面积为12=8π,设球的半径为r,则4πr2=8π,解得r=,所以球的体积为r3=()3=故选D.3.B 解析:底面ABC是正三角形,S△ABC=AB2·sin60°=3,则边长为2因为三棱锥P-ABC外接球的球心O恰好在平面ABC内,三角形ABC的外接圆半径为2sin60°=2,所以球O的半径为2,所以当PO⊥平面ABC时,三棱锥P-ABC的体积最大.所以三棱锥P-ABC体积的最大值为32=24.A 解析:如图,取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=,∠AEC=60°,所以△AEC为等边三角形.作AF⊥CE于点F,则AF=因为BD⊥AE,BD⊥CE,AE∩CE=E,所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥AF.又BD∩CE=E,所以AF⊥平面BCD.又S△BCD=22=,所以V三棱锥A-BCD=S△BCD·AF=故选A.5.C 解析:∵圆锥底面直径为10cm,∴半径为5cm,∵母线与底面所成角的正切值为,∴圆锥的高为10cm,设正方体的棱长为a,则,解得a=5.∴该模型的体积V=(5)2×10-53=-125≈398.3(cm3).∴制作该模型所需原料的质量约为398.3×1=398.3(g).6.A 解析:如图,AC⊥BC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=,由题意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=,则三棱锥O-ABC的体积为1×17.B 解析:设圆柱的高为h,底面半径为r,该圆柱的外接球的半径为R,由题意可得2πrh+2πr2=8π,则rh+r2=4,所以h=-r.由-r>0,r>0,得0<r<2.又R2=r2+-2,所以该圆柱的外接球的表面积S=4πR2=44π(2-2)=8(-1)π,当且仅当,即r=时,等号成立.故选B.8.BD 解析:由图可知,组合体的体积V=π×4×2-12+3×3×3-π×3×2=27-表面积S=21+2×3×3-π×2+3×3×4+2π×2-12+2π×4=54+9π.9.BD 解析:依题意,圆柱的底面半径为R,高为2R,则圆柱的体积为πR2·2R=2πR3,
故A错误.由已知得圆锥的底面半径为R,高为2R,母线长为R,则圆锥的侧面积为πRR=R2,故B正确.因为圆柱的侧面积为4πR2,圆锥的表面积为R2+πR2,所以C错误.因为V圆柱=2πR3,V圆锥=R2·2R=R3,V球=R3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3R3R3=3∶1∶2,故D正确,故选BD.10.4 解析:由题意可知所得几何体为两个同底的圆锥组成的组合体,圆锥的底面半径为,母线长为2,则所求表面积为22=411.3 36π 解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,内切球半径为R,如图,圆锥的轴截面是等边三角形,可得l=2r,h=r,所以32r·R=2rr,可得R=r,圆锥的表面积为S=πr2+πrl=3πr2,圆锥的体积为V=r2·h=r2r,所以3πr2=r3,解得r=3,所以R=3=3,该圆锥的内切球体积为R3=36π.12.32π 解析:取BD的中点O,连接OA,OP(图略),由题意可知OA=OB=OD=2因为AB⊥AD,平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面APD,所以AB⊥PD.又点P在半圆弧上,所以AP⊥PD.又AP∩AB=A,所以PD⊥平面APB,所以PD⊥PB.在Rt△PBD中,因为O为BD的中点,所以OP=OB=OD,所以OA=OB=OD=OP,即O为三棱锥P-ABD的外接球的球心,所以外接球的半径R=OA=2,表面积S=4πR2=32π.
