专题13排列组合与二项式定理一、选择题部分1.(2021•河南开封三模•理T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）A．126B．360C．600D．630【答案】D．【解析】第一类，上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A42＝360种，第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，乙，故有A62A41A21＝240第三类，上下午共安排2个活动，（上午1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A62＝30种，根据分类计数原理，共有360+240+30＝630种．2.(2021•河南开封三模•理T6)（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝（ ）A．4B．3C．2D．1【答案】B．【解析】∵（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，设f（x）＝（a﹣x）（x+1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a6x7，令x＝1，则f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（a+1）（1﹣1）5＝64（a﹣1），①令x＝﹣1，则f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，解得a＝3．3.(2021•河南焦作三模•理T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）A．24种B．36种C．48种D．64种【答案】B．【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C32种分组方法，若甲乙两人与另外一人在同一组，有C31种分组方法，-10-,则有C31+C32＝6种分组方法；②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个小区，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的派遣方案．4.(2021•河北张家口三模•T7)（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（ ）A．﹣32B．﹣16C．10D．64【答案】A．【解析】在（x+2y﹣3z）7的展开式中，通项公式为．若展开式中的项不含y，则r＝65展开式中的所有项．令x＝z＝1，得这些项的系数之和为（﹣3）5＝﹣32．5.(2021•江西上饶三模•理T10．)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（ ）A．78B．126C．148D．150【答案】D．【解析】根据题意，分2步进行分析：①将6本书分为3组，要求语文和数学在同一组，若分为2、2、2的三组，有C42＝3种分组方法，若分为3、2、1的三组，有C41+C41C32＝16种分组方法，若分为4、1、1的三组，有C42＝6种分组方法，则有3+16+6＝25种分组方法；②将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种安排方法．6.(2021•重庆名校联盟三模•T5．)已知（2x2+1）（﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）A．﹣10B．﹣7C．9D．10【答案】C．【解析】（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，则（）5，即，它的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x2r﹣10，令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，-10-,故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展开式中常数项是2﹣＝9．7.(2021•辽宁朝阳三模•T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数n＝＝36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：m＝+＝26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P＝＝＝．8.(2021•辽宁朝阳三模•T6．)下列各项中，是（）6展开式中的项为（ ）A．15B．﹣20x2C．15y4D．﹣20【答案】C．【解析】（）6展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，由＝0且＝0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；由＝2且＝0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；由＝0且＝4，此时r＝2，故T3＝（﹣1）2y4＝15y4，故C正确；由＝0且＝，此时r无解，故展开式中不含项，故D错误．9.(2021•湖南三模•T9．)在（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）A．二项式系数和为64B．各项系数和为64C．常数项为﹣135D．常数项为135-10-,【答案】ABD．【解析】（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为2n+2n＝128，∴n＝6，故二项式系数和为26＝64，二项式系数和之和为2n＝26＝64，故A、B正确；故展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，故常数项为•32＝135，故D正确．10.(2021•福建宁德三模•T7)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给右图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为( )A.36B.48C.72D.96【答案】C．【解析】根据题意，分2步进行分析：①对于区域ABE，三个区域两两相邻，有A43=24种涂色的方法，②对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，则区域CD有2+1=3种涂色的方法，则有24×3=72种涂色的方法，故选：C.根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。11.(2021•安徽宿州三模•理T6．)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有A、B、C、D、E、F六个班排队吃饭，A班必须排在第一位，且D班、E班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）A．20种B．56种C．72种D．40种【答案】C．【解析】根据题意，A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置即可，分2步进行分析：①将BCF三个班级全排列，排好后有4个空位，有A33＝6种排法，-10-,②在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有A42＝12种排法，则有6×12＝72种不同的方案．12.(2021•安徽宿州三模•理T7．)（x+2y）（2x+y）5的展开式中x3y3项的系数为（ ）A．80B．160C．200D．240【答案】C．【解析】（x+2y）（2x+y）5＝（x+2y）（•（2x）5+•（2x）4y+•（2x）3y2+•（2x）2y3+•（2x）•y4+•y5），故展开式中x3y3项的系数为•22+2•23＝200．13.(2021•安徽马鞍山三模•理T6．)的常数项为25，则实数a的值为（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】D．【解析】（2x﹣1）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣r，所以的常数项为（﹣1）5•2•a+（﹣1）6•20＝﹣12a+1＝25，解得a＝﹣2．14.(2021•河北邯郸二模•理T6．)（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（ ）A．﹣9B．9C．﹣21D．21【答案】A．【解析】因为根据（1+x）6展开式的通项Tr+1＝，所以（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项为＝﹣9x3，所以含x3项的系数﹣9．15.(2021•河北秦皇岛二模•理T10．)已知（2﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则下列选项正确的是（ ）A．a3＝﹣360B．（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝1C．a1+a2+…+a6＝（2﹣）6D．展开式中系数最大的为a2【答案】BD．【解析】令x＝0得a0＝26，令x＝1得a0+a1+a2+…+a6＝（2﹣）6，则a1+a2+…+a6＝（2﹣）6﹣26，故C错误，-10-,令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝（2+）6，则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝（a0+a1+a2+…+a6）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6）＝（2﹣）6（2+）6＝[（2﹣）（2+）]6＝1，故B正确，a3＝23（）3＝﹣480，故A错误，展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值，则系数最大的在a0，a2，a4，a6中，展开式的通项公式Tk+1＝26﹣k（x）k，则a2＝720，a4＝540，a6＝27，则系数最大的为a2．16.(2021•辽宁朝阳二模•T6．)今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）A．15B．30C．6D．9【答案】D．【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9．17.(2021•山东潍坊二模•T4．)2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）A．14B．48C．72D．120【答案】D．【解析】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A53＝60种安排方法，则有2×60＝120种不同的安排方法．18.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T8．)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）A．90B．216C．144D．240【答案】B．【解析】根据题意，分2步进行分析：-10-,①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C52﹣1＝9种分组方法，②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A44＝24种安排方法，则有9×24＝216种安排种数．二、填空题部分19.(2021•山东潍坊二模•T13．)设（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4＝ ．【答案】15．【解析】∵（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x＝1得：24＝16＝a0+a1+a2+a3+a4，令x＝0得：1＝a0，∴a1+a2+a3+a4＝16﹣1＝15．20.(2021•辽宁朝阳二模•T13．)在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如xaybz2（a，b∈N）的项的系数之和是 ．【答案】﹣21．【解析】因为（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，所以展开式中含z2的项为C，令x＝y＝z＝1，则所求系数之和为C•（1﹣2）5•12＝﹣21．21.(2021•广东潮州二模•T13．)（x﹣）6的展开式的常数项是 ．用数字作答）．【答案】﹣20．【解析】（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式的常数项为•（﹣1）＝﹣20．22.(2021•广东潮州二模•T15．)根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为 ．【答案】36．【解析】根据题意，分2步进行分析：①将4位专家分为3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种派遣方法．23.(2021•天津南开二模•T11．)的二项展开式中，x3的系数等于 ．【答案】15．【解析】的二项展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，令6﹣r＝3且，解得r＝2，所以x3的系数等于（﹣5）2＝15．-10-,24.(2021•浙江卷•T13)已知多项式，则___________，___________.【答案】(1).;(2)..【解析】，，所以，，所以.故答案为：.25.(2021•江苏盐城三模•T13)文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种．【答案】185．【考点】排列组合【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从12个景区中选3个景区，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有－＝185．26.(2021•河南郑州三模•理T14)展开式中的a与b指数相同的项的表达式为 ．【答案】﹣84a．【解析】展开式的通项公式为Tr+1＝C＝C，令6﹣，解得r＝3，所以展开式中的a与b指数相同的项的表达式为C＝﹣84a．27.(2021•四川内江三模•理T14．)二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）【答案】60．【解析】（2x2﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•27﹣r•x12﹣3r，-10-,令12﹣3r＝6，求得r＝4•22＝60．28.(2021•上海嘉定三模•T8．)展开式中的常数项为 ﹣19 ．【答案】﹣19．【解析】依题意，（1﹣x）6展开式的通项是，当r＝0时，；当r＝3时，，∴展开式的常数项是．29.(2021•四川泸州三模•理T13．)（x+1）（x﹣1）6展开式中x3项的系数为 ．【答案】﹣5．【解析】由题意可得展开式中含x3项为x+1＝（15﹣20）x3＝﹣5x3．30.(2021•江苏常数三模•T13．)的展开式中常数项为 ．【答案】﹣7．【解析】∵（1+x）4展开式的通项公式为Tr+1＝xr，故令r＝0，1，可得展开式中常数项为+×（﹣2）＝﹣7．31.(2021•福建宁德三模•T14)已知(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为64，则实数a=______；展开式中常数项为______.【答案】1；6．【解析】解：令x=1，可得(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64，则实数a=1.展开式中常数项为a×C50+C51=1+5=6，故答案为：1；6.由题意令x=1，可得二项式的各项系数和，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，求二项式的各项系数和，二项展开式的通项公式，属于中档题．32.(2021•江西九江二模•理T14．)（2x﹣）6展开式中常数项为 （用数字作答）．【答案】60．【解析】（2x﹣）6展开式的通项为＝-10-,．令得r＝4．故展开式中的常数项．33.(2021•浙江杭州二模•理T12．)已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16，则a＝ ，x4项的系数为 ．【答案】0；4．【解析】已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16（1+a）3＝16，则a＝0．故知（x+a）3（x+1）4＝x3（x+1）4，故x4项的系数为＝4．34.(2021•江西上饶二模•理T14．)若（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+a3+…+a7＝ ．【答案】2．【解析】∵（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴令x＝0，得a0＝﹣1；令x＝1，则a0+a1+a2+a3+…+a7＝1，∴a1+a2+a3+…+a7＝2．-10-
