2012年山东省济南市中考数学试卷

2012年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1.−12的绝对值是（）11A.12B.−12C.D.−1212【答案】A2.如图，直线a//b，直线c与a，b相交，∠1=65∘，则∠2=()A.115∘B.65∘C.35∘D.25∘【答案】B3.2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法表示为（）A.1.28×103B.12.8×103C.1.28×104D.0.128×105【答案】C4.下列事件中必然事件的是（）A.任意买一张电影票，座位号是偶数B.正常情况下，将水加热到100∘C时水会沸腾C.三角形的内角和是360∘D.打开电视机，正在播动画片【答案】B5.下列各式计算正确的是（）A.3x−2x=1B.a2+a2=a4C.a5÷a5=aD.a3⋅a2=a5【答案】D6.下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（）试卷第1页，总12页,A.B.C.D.【答案】C7.化简5(2x−3)+4(3−2x)结果为()A.2x−3B.2x+9C.8x−3D.18x−3【答案】A8.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（）1111A.B.C.D.2369【答案】B9.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）112A.B.C.D.3322【答案】A10.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.一组邻边相等的四边形是菱形C.四个角是直角的四边形是正方形D.对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】试卷第2页，总12页,D11.一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为（）A.x＝2B.y＝2C.x＝−1D.y＝−1【答案】C12.已知⊙O和⊙O的半径是一元二次方程x2−5x+6=0的两根，若圆心距OO=12125，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B13.如图，∠MON＝90∘，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）1455A.2+1B.5C.D.52【答案】A14.如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第试卷第3页，总12页,2012次相遇地点的坐标是（）A.(2,0)B.(−1,1)C.(−2,1)D.(−1,−1)【答案】D15.如图，二次函数的图象经过(−2,−1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A.y的最大值小于0B.当x＝0时，y的值大于1C.当x＝−1时，y的值大于1D.当x＝−3时，y的值小于0【答案】D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）分解因式：________2−1＝________．【答案】a,(a+1)(a−1)计算：2sin30∘−16=________．【答案】−32x−4<0不等式组的解集为________．x+1≥0【答案】−1≤x<2如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于________．试卷第4页，总12页,【答案】8如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是________．【答案】48如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．【答案】36三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（1）解不等式3x−2≥4，并将解集在数轴上表示出来．a−1a2−2a+1（2）化简：÷．a−22a−4【答案】试卷第5页，总12页,解：（1）移项得，3x≥6，系数化为1得，x≥2，在数轴上表示为．a−12(a−2)（2）原式=×，a−2(a−1)22=．a−1（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40∘，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠A=∠C，AE=CF∴△ADE≅△CBF(SAS)，∴DE=BF；（2）解：∵AB=AC，∠A=40∘，180∘−40∘∘∴∠ABC=∠C==70，2又BD是∠ABC的平分线，1∘∴∠DBC=∠ABC=35，2∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠C=75∘．冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？【答案】油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．试卷第6页，总12页,济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：节11.52.53水量（米3）户508010070数（1）300户居民5月份节水量的众数，中位数分别是多少米3？（2）扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为________度；（3）该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3？【答案】该小区300户居民5月份平均每户节约用水2.1米3．如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)如图2，将一个足够大的直角三角板60∘角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60∘角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE)，求CG的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，试卷第7页，总12页,11∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=3．22在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=12+(3)2=2．(2)①△AEF是等边三角形．理由如下：∵由(1)知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60∘.又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60∘，∴∠BAE=∠CAF．在△ABE与△ACF中，∠BAE=∠CAF，∵AB=AC=2，∠EBA=∠FCA，∴△ABE≅△ACF(ASA)，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形.又∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形．②∵BC=2，E为四等分点，且BE>CE，13∴CE=，BE=．22由①知△ABE≅△ACF，3∴CF=BE=．2∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180∘，∠AEG=∠FCG=60∘，∠EGA=∠CGF，∴∠EAC=∠GFC．在△CAE与△CFG中，∠EAC=∠GFC，∵∠ACE=∠FCG，∴△CAE∼△CFG，3CGCFCG2∴=，即1=，CEAC223解得CG=.8试卷第8页，总12页,k如图，已知双曲线y=经过点D(6,1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作xCA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【答案】k∵双曲线y=经过点D(6,1)，xk∴=1，6解得k＝6；设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6,1)，DB⊥y轴，∴BD＝6，1∴S△BCD=×6⋅h＝12，2解得h＝4，∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1−4＝−3，6∴=−3，x解得x＝−2，∴点C的坐标为(−2,−3)，设直线CD的解析式为y＝kx+b，−2k+b=−3则，6k+b=11k=解得2，b=−21所以，直线CD的解析式为y=x−2；2AB//CD．6理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为(c,)，点D的坐标c为(6,1)，试卷第9页，总12页,∴点A、B的坐标分别为A(c,0)，B(0,1)，设直线AB的解析式为y＝mx+n，mc+n=0则，n=11m=−解得c，n=11所以，直线AB的解析式为y=−x+1，c设直线CD的解析式为y＝ex+f，6ec+f=则c，6e+f=11e=−c解得，c+6f=c1c+6∴直线CD的解析式为y=−x+，cc1∵AB、CD的解析式k都等于−，c∴AB与CD的位置关系是AB//CD．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A(−3,0)，B(−1,0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A(−3,0)，B(−1,0)，9a−3b+3=0∴，a−b+3=0试卷第10页，总12页,a=1解得，b=4∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3．由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+4x+3，∵令x＝0，得y＝3，∴C(0,3)，∴OC＝OA＝3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45∘，2∴cos∠CAB=．2在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=12+32=10．如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝90∘，1∴△BO1C为等腰直角三角形，2∴⊙O1的半径O1B=BC=5．2抛物线y＝x2+4x+3＝(x+2)2−1，∴顶点P坐标为(−2,−1)，对称轴为x＝−2．又∵A(−3,0)，B(−1,0)，可知点A、B关于对称轴x＝−2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C(0,3)关于对称轴对称，∴D(−4,3)．又∵点M为BD中点，B(−1,0)，53∴M(−,)，2252323∴BM=[−−(−1)]+()=2；222在△BPC中，B(−1,0)，P(−2,−1)，C(0,3)，由两点间的距离公式得：BP=2，BC=10，PC=25．∵△BMN∽△BPC，3BMBNMN22BNMN∴==，即==，BPBCPC210253解得：BN=10，MN=35．2设N(x,y)，由两点间的距离公式可得：2232(x+1)+y=(10)2，52322(x+)+(y−)=(35)2271x1=x2=22解之得，，，39y1=−y2=−227319∴点N的坐标为(,−)或(,−)．2222试卷第11页，总12页,试卷第12页，总12页