2021年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）9的算术平方根是（ ）A．3B．﹣3C．±3D．2．（4分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．3．（4分）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）A．0.55×108B．5.5×107C．5.5×106D．55×1064．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）A．45°B．60°C．75°D．80°5．（4分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．6．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．a+b＞0B．﹣a＞bC．a﹣b＜0D．﹣b＜a7．（4分）计算的结果是（ ）A．m+1B．m﹣1C．m﹣2D．﹣m﹣28．（4分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“第23页（共23页）,低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）A．B．C．D．9．（4分）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（ ）A．B．C．D．10．（4分）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A．188mB．269mC．286mD．312m11．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）A．BE＝DEB．DE垂直平分线段ACC．D．BD2＝BC•BE12．（4分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）A．﹣2≤n′≤2B．1≤n′≤3C．1≤n′≤2D．﹣2≤n′≤3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案）13．（4分）因式分解：a2﹣9＝ ．第23页（共23页）,14．（4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．15．（4分）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝ ．16．（4分）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 ．17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．t（min）…1235…h（cm）…2.42.83.44…18．（4分）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 ．第23页（共23页）,三、解答题（本大题共9个小题，共78分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．20．（6分）解不等式组：并写出它的所有整数解．21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．22．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．不完整的统计图表：方便筷使用数量统计表组别使用数量（双）频数A0≤x＜514B5≤x＜10C10≤x＜15D15≤x＜20aEx≥2010合计50请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝ ；（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 度；（3）C组数据的众数是 ；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 ；（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．第23页（共23页）,23．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？25．（10分）如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形AB﹣PQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第23页（共23页）,26．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．27．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．第23页（共23页）,2021年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（4分）9的算术平方根是（ ）A．3B．﹣3C．±3D．【解答】解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．故选：A．2．（4分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．3．（4分）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）A．0.55×108B．5.5×107C．5.5×106D．55×106【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：B．4．（4分）如图，AB∥CD，∠A＝30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）A．45°B．60°C．75°D．80°【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝30°，∴∠ADC＝∠A＝30°，∠CDE＝∠DEB，∵DA平分∠CDE，∴∠CDE＝2∠ADC＝60°，∴∠DEB＝60°．故选：B．5．（4分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）第23页（共23页）,A．B．C．D．【解答】解：A．是轴对称图形，又是中心对形，符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．a+b＞0B．﹣a＞bC．a﹣b＜0D．﹣b＜a【解答】解：∵b＜0＜a，且|b|＞|a|∴a+b＜0，选项A错误；﹣a＞b，选项B正确；a﹣b＞0，选项C错误；﹣b＞a，选项D错误；故选：B．7．（4分）计算的结果是（ ）A．m+1B．m﹣1C．m﹣2D．﹣m﹣2【解答】解：原式＝＝＝＝m﹣1．故选：B．8．（4分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，故选：C．第23页（共23页）,9．（4分）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，∴k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象在第一、三、四象限，故选：D．10．（4分）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A．188mB．269mC．286mD．312m【解答】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，在Rt△AON中，tanN＝＝tan43°，∴NO＝≈150m，在Rt△BOM中，tanM＝＝tan35°，∴MO＝≈135.7（m），∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286（m）．故选：C．11．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）第23页（共23页）,A．BE＝DEB．DE垂直平分线段ACC．D．BD2＝BC•BE【解答】解：由题意可得∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，AP为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠BAE＝∠DAE＝30°，∴△AEC是等腰三角形，∵AB＝AD，AC＝2AB，∴点D为AC的中点，∴DE垂直平分线段AC，故选项A，B正确，不符合题意；在△ABC和△EDC中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∵，DC＝，∴，∴，∴，故选项C错误，符合题意；在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠DBE＝∠BDE＝30°，在△BED和△BDC中，∠DBC＝∠EBD＝30°，∠BDE＝∠C＝30°，∴△BED∽△BDC，∴，∴BD2＝BC•BE，故选项D正确，不符合题意．故选：C．12．（4分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）A．﹣2≤n′≤2B．1≤n′≤3C．1≤n′≤2D．﹣2≤n′≤3【解答】解：由题意可知，第23页（共23页）,当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴当﹣1≤m＜0时，﹣2≤n′≤3，综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案）13．（4分）因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．14．（4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，所以P（飞镖落在黑色区域）＝＝．故答案为：．15．（4分）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝ 18° ．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵四边形AMNP为正方形，∴∠PAM＝90°，∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．故答案为：18°．16．（4分）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，m+2＝﹣1，∴m＝﹣3，故答案为﹣3，17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．t（min）…1235…第23页（共23页）,h（cm）…2.42.83.44…【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，解得k＝0.4，b＝2，∴h＝0.4t+2，将h＝8代入得，t＝15．故答案为：15．18．（4分）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 ．【解答】解：连接EG，则∠OEP＝90°，第23页（共23页）,由题意得，小正方形的边长为1，∴OP＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴＝＝＝，∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，在△QBM和△MAN中，，∴△QBM≌△MAN（AAS），∴AM＝QB＝，∴AB＝BM+AM＝+＝．故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．【解答】解：＝4+1+3﹣2×1＝8﹣2＝6．20．（6分）解不等式组：并写出它的所有整数解．第23页（共23页）,【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB＝BC，∠A＝∠C，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴AD﹣AE＝CD﹣CF，∴DE＝DF．22．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．不完整的统计图表：方便筷使用数量统计表组别使用数量（双）频数A0≤x＜514B5≤x＜10C10≤x＜15D15≤x＜20aEx≥2010合计50请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝ 9 ；（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 72 度；（3）C组数据的众数是 12 ；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 10 ；（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．第23页（共23页）,【解答】解：（1）方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据有17个，∴a＝50﹣14﹣17﹣10＝9，故答案为：9；（2）360°×＝72°，故答案为：72；（3）将方便筷使用数量在10≤x＜15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，由上述数据可得C组数据的众数是12，B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，∴第25，26个数均为10，∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是＝10．故答案为：12，10；（4）2000×＝760（人），答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．23．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠DAB＝∠AOC，第23页（共23页）,由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，即＝，∵BC＝4，∴AC＝2，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【解答】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，依题意得：﹣＝50，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，则2x＝8，答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，解得：m≤87.5，答：最多购进87个甲种粽子．25．（10分）如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形AB﹣PQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第23页（共23页）,【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BC+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BC+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），第23页（共23页）,∴OB＝＝，∴＝，∴a＝，∴点P1的坐标为（，0）；②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，∴△BON∽△P2OB，∴＝，即＝，∴b＝，∴点P2的坐标为（0，）；综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．26．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；第23页（共23页）,②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，∵BD＝BC，∴DE＝BD＝BC，∴BD＝DE＝EC，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝∠BAC＝90°，∵∠ECF＝∠BCA＝45°，∴△ABC∽△FEC，∴＝＝，∴＝＝，∵BC＝AC，∴＝＝，∴＝，即＝＝，∴＝•＝×＝；（2）①＝仍然成立.理由如下：如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，＝，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝45°，＝，∴∠ECF＝∠BCA，＝，∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠ACF＝∠BCE，∵＝，∴△CAF∽△CBE，∴＝＝，∴＝仍然成立．②四边形AECF是平行四边形．第23页（共23页）,理由如下：如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BD＝BC，∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，∴△BDG∽△BCF，∴＝＝＝，∵BD＝DE，DG⊥BE，∴BG＝EG，∴BG＝EG＝EF，∵EF＝CF，∴CF＝BG＝BF，由①知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠CAF＝∠ACE，∴AF∥CE，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．27．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；第23页（共23页）,（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点C（1，4）．（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C做CE⊥x轴于点E，∵A（﹣1，0），C（1，4），∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．∴OA＝OE，AC＝＝2．∵FO⊥AB，CE⊥AB，∴FO∥CE，∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，∴DF⊥AC．∵FO⊥AD，∴△AFO∽△FDO．∴．∴．第23页（共23页）,∴OD＝4．∴D（4，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+m，∴，解得：．∴直线CD的解析式为y＝﹣．∴，解得：，．∴P（）．（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，则OH＝，PH＝，∵OD＝4，∴HD＝OD﹣OH＝，∴PD＝＝．∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．由（2）知：AC＝2．设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．∵DA＝DC，∴∠DAB＝∠C．∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，又∵∠PEF＝∠CAB，∴∠CEP＝∠AFE．∴△CEP∽△AFE．第23页（共23页）,∴．∴．∴x＝﹣+y＝﹣+．∴当y＝时，x即AF有最大值．∵OA＝1，∴OF的最大值为﹣1＝．∵点F在线段AD上，∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/147:32:10；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第23页（共23页）
